高中數(shù)學- 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教學設(shè)計學情分析教材分析課后反思

《平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義》教學設(shè)計一、教學目標設(shè)計《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》對本節(jié)課的要求有以下三條：（1）通過物理中“功”等事例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；（2）體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；（3）能用運數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.結(jié)合“課標”要求和學生實際，我將本節(jié)課的教學目標定為：1、了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義；2、體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運算律，并能運用性質(zhì)和運算律進行相關(guān)的運算和判斷；3、體會類比的數(shù)學思想和方法，進一步培養(yǎng)學生抽象概括、推理論證的能力.本節(jié)課的重點是平面向量的數(shù)量積的概念和性質(zhì)；用平面向量數(shù)量積表示向量的模及向量的夾角；平面向量數(shù)量積的運算律的探究及應用;難點是平面向量的數(shù)量積的定義及對運算律的探究、理解；平面向量數(shù)量積的靈活應用.二、教學結(jié)構(gòu)設(shè)計：本節(jié)課是一節(jié)概念教學課，依據(jù)數(shù)學課程改革應關(guān)注知識的發(fā)生和發(fā)展過程的理念，結(jié)合本節(jié)課的知識的邏輯關(guān)系，我按照以下順序安排本節(jié)課的教學：（一）創(chuàng)設(shè)情境，由力對物體做功引出數(shù)量積，；（二）探究新知，認識數(shù)量積的定義及其幾何意義；（三）理解新知，探究數(shù)量積的性質(zhì)及其運算律；（四）運用新知，進行求解問題；（五）課堂小結(jié)，知道這節(jié)課學了什么；（六）布置作業(yè)，課下鞏固完善.三、教學過程設(shè)計：（一）創(chuàng)設(shè)情境：SFSF的學習你有什么想法？若一個物體在力的作用下產(chǎn)生的位移為，那么力所做的功等于多少？問題2：功是一個標量還是矢量，它是由哪些量來確定的？問題3：這種運算與前面學習的向量的加法、減法和實數(shù)與向量的積等線性運算一樣嗎？設(shè)計意圖：以物理問題為背景，使學生了解數(shù)量積的物理背景，問題2是讓學生知道數(shù)量積和向量的其他線性運算是一樣的，都是向量的運算，但也有不同之處，有什么不同呢？引起大家學習興趣，也為引入向量的數(shù)量積的概念做鋪墊.（二）探究新知：1、數(shù)量積的定義：問題4：你能用文字語言描述力的做功公式嗎？如果將公式中的力與位移推廣到一般的向量，其結(jié)果又該如何表述？學生不難回答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；推廣到一般向量就是：兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積.教師引導，得出向量數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量和，我們把數(shù)量叫做與數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即,其中是與的夾角.規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積都為零，即注意：（1）兩向量的數(shù)量積是一個數(shù)量；（2）是與的夾角，范圍是；（3）兩個向量的運算符號是用“”表示的，且不能省略.問題5：向量的數(shù)量積與前面我們學習的向量的加、減法和實數(shù)與向量的積等線性運算結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？引導學生完成下面表格：的范圍0°≤<90°=90°0°<≤180°·的符號設(shè)計意圖：讓學生認識到數(shù)量積與線性運算的不同之處，同時使大家注意到影響數(shù)量積大小的因素是兩向量的夾角，從而為后面的性質(zhì)與運算律的理解做鋪墊.2、數(shù)量積的幾何意義：還是由物理背景入手，在求解力對物體做功中，我們是先將力F正交分解，其在水平位移上的分力是，只有這個力做功了，同樣在向量中，給定兩個非零向量，它們的夾角為，我們也可以將分解，則OA1=,我們把叫做向量在方向上的投影.問題6:在方向上的投影是多少呢？問題7：根據(jù)投影的定義，你對數(shù)量積能有新的認識嗎？設(shè)計意圖：讓大家認識投影的物理背景，并通過類比讓學生進一步理解投影的概念，從而引出數(shù)量積的幾何意義.（三）、理解新知：教師：（口答）練習1、已知，的夾角，求（1）在方向上的投影;（2）．（口答）練習2、已知，當時，求；（2）當時，求.問題8：你能將練習2中的結(jié)果推廣到一般情況嗎？試比較與的大小，你有什么結(jié)論？設(shè)計意圖：通過練習進一步熟悉向量的數(shù)量積與投影的定義，同時通過夾角不同時數(shù)量積的運算，體會夾角與數(shù)量積符號的關(guān)系，也為后面運算性質(zhì)的探究做準備.問題8的設(shè)計是讓學生自己歸納出性質(zhì)，培養(yǎng)學習中由特殊到一般的歸納能力，也讓學生感受到發(fā)現(xiàn)規(guī)律的喜悅，提高學習的興趣.探究：設(shè)為兩個非零向量（1）；（判斷向量垂直的又一條件）（2）當與同向時，；當與反向時，特別的或；（可以用來求向量的模）（3）.（注意等號成立的條件）問題9：實數(shù)的乘法運算有哪些運算律？這些運算律對于向量是否也適用呢？通過此問題主要是想使學生在類比的基礎(chǔ)上，猜測提出數(shù)量積的運算律。已知向量、、和實數(shù)，則（1）（交換律）（2）(數(shù)乘結(jié)合律)（3）（分配率）探究1：你能推導出這些運算律嗎？對于三個運算律的證明，（1）比較簡單，讓學生口述，而對于（2）讓學生先自己推導然后，以實物展臺的形式展示部分同學的過程，學生一般都只證明時的情況，我就適當引導還有和的情況，學生課下整理，最后（3）比較麻煩，由我引導，師生共同探究完成.探究2：向量數(shù)量積滿足結(jié)合律嗎？對于任意向量、、，是否成立.學生討論，口述思路.探究3：對于任意向量、，下列等式是否成立？（1）；（2）.設(shè)計意圖：通過類比實數(shù)的完全平方式和平方差公式發(fā)現(xiàn)數(shù)量積也滿足相似的運算形式.（四）、運用新知：例1、（學生獨立完成）已知，的夾角，求(1);（2）.學生口述過程，教師規(guī)范板書.例2、已知，且與不共線.為何值時，向量與互相垂直？學生口述思路，教師用課件放映過程.課本上給出的例題有4個，容量非常大，對于例1主要是數(shù)量積的性質(zhì)和運算律的綜合運用，所以在教學時，我重點從對運算原理的分析和運算過程的規(guī)范書寫兩個方面加強示范.而對于例2，主要是教給學生如何利用數(shù)量積來判斷兩個向量的垂直，是平面向量數(shù)量積的基本應用之一，教學時重點給學生分析數(shù)與形的轉(zhuǎn)化原理.（五）、課堂小結(jié)：本節(jié)課我們學習了哪些內(nèi)容？引導學生回顧本節(jié)課所學內(nèi)容，教師適當給與點評.知識方面：（1）平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；（2）平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律;方法方面：兩直線的垂直可以借助數(shù)量積進行判斷.思想方法：特殊到一般的歸納思想，數(shù)形結(jié)合思想及其類比思想.課下探究：對于向量，我們還學過利用坐標進行表示，類比向量的線性運算的學習，我們還應該怎么研究數(shù)量積？（為下節(jié)課的學習做鋪墊）（六）、布置作業(yè)：（必做題）課本P108A組3，4（選做題）課本P108B組3，4四、板書設(shè)計2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義一、定義例1（過程）二、幾何意義三、運算性質(zhì)例2（過程）四、運算律學生在學習本章內(nèi)容之前，已經(jīng)熟知了實數(shù)的運算體系，掌握了向量的概念及其線性運算，學習過任意角的三角函數(shù)和物理學中的力做功的知識，對于力對物體做功等簡單的物理問題都能解決.而且在前面研究向量的加、減法和實數(shù)與向量的積等線性運算中就是通過其對應的物理背景和實數(shù)的運算中得到啟發(fā)從而引出向量的運算的.所以我也采用從力對物體做功這個物理知識出發(fā)引導學生，得出數(shù)量積的定義，學生也應該很容易接受.但由于數(shù)量積與前面的線性運算有本質(zhì)上的不同，兩個向量通過這種運算后，得到的是一個數(shù)量，沒有了方向，這點對于讓學生當堂理解比較困難，可以讓部分成績好的同學課上探究解決其他同學課下處理，而且由于前面已經(jīng)學習過實數(shù)乘法的性質(zhì)及運算律，在探究數(shù)量積的性質(zhì)及運算律時容易出現(xiàn)偏差，所以對于數(shù)量積的性質(zhì)及其運算律的理解應該是本節(jié)課的難點.本節(jié)課是一節(jié)概念課，通過教學，基本上能完成本節(jié)課的全部內(nèi)容，教學效果可以通過一下幾個方面來評析：一是教學效率比較高，學生思維活躍，整堂課氣氛比較熱烈.由做功公式直接引出課題，過渡自然，中間設(shè)計的幾個類比教學（與物理中的做功，線性運算的概念以及研究過程等進行類比）充分調(diào)動學生的學習積極性.大部分的問題都是讓學生自主探究思考完成，部分難度大的題又讓學生合作探究解決.二是學生受益面大，不同程度的學生在原有基礎(chǔ)上都有進步.本節(jié)課的知識、能力、思想情操目標基本都能達成，并且讓每一個學生都能有所收獲.對于數(shù)量積概念的學習從易到難，有口答的問題，全班同學都能完成，也有需要合作探究的問題，為部分成績比較好的同學提供擴展提升的空間.三是有效利用45分鐘，學生學得輕松愉快，積極性高，當堂問題當堂解決，學生負擔合理.通過課下學生的評測練習，基礎(chǔ)題型基本都能完成，綜合點的題目部分成績好的同學能夠完成，達到預期目標.存在的問題：由于對于概念的引導過快，部分同學只是死記住公式，套用公式，對公式理解上存在不足；對于數(shù)量積的運算律讓學生探究時間過長，導致學生運用公式求解例2時間不夠，部分同學課上沒能很好消化.在整個高中的數(shù)學學習階段，對于向量重點就是研究它的兩種運算，即向量的線性運算和其數(shù)量積運算.而平面向量的數(shù)量積這節(jié)課就是在研究完向量的線性運算之后的又一個重要的運算，它把向量的長度和三角函數(shù)都聯(lián)系了起來，這也為解決有關(guān)的幾何問題提供了方便，所以也是高中數(shù)學的一個重要概念.本節(jié)內(nèi)容教材共安排了兩課時，其中第一課時主要研究數(shù)量積的概念，第二課時主要研究數(shù)量積的坐標運算.本節(jié)課是第一課時，內(nèi)容上包括數(shù)量積的定義、幾何意義、性質(zhì)及運算律.是一節(jié)課內(nèi)容，它是繼向量的加、減法，實數(shù)與向量的積等線性運算之后又一新的運算，是對前面所學知識的延續(xù)，又是學好后續(xù)知識的基礎(chǔ)，起著承上啟下的作用.本節(jié)課的主要學習任務是通過物理中“功”的事例抽象出平面向量數(shù)量積的概念，在此基礎(chǔ)上探究數(shù)量積的性質(zhì)與運算律，使學生體會類比的思想方法，進一步培養(yǎng)學生的抽象概括和推理論證的能力.同時在對數(shù)量積定義的認識方式上也與前面學習的向量的幾種線性運算類比，感受它們的相似之處，并通過對比發(fā)現(xiàn)不同，從而進一步理解數(shù)量積.通過上面的分析，我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)量積的概念既是對物理背景的抽象，又是研究性質(zhì)和運算律的基礎(chǔ).同時也因為在這個概念中，既有長度又有角度，既有形又有數(shù)，是代數(shù)、幾何與三角的最佳結(jié)合點，不僅應用廣泛，而且很好的體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.所以，我覺得本節(jié)課的教學目標可分為：1、了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義；2、體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運算律，并能運用性質(zhì)和運算律進行相關(guān)的運算和判斷；3、體會類比的數(shù)學思想和方法，進一步培養(yǎng)學生抽象概括、推理論證的能力.本節(jié)課的重點是平面向量的數(shù)量積的概念和性質(zhì)；用平面向量數(shù)量積表示向量的模及向量的夾角；平面向量數(shù)量積的運算律的探究及應用;難點是平面向量的數(shù)量積的定義及對運算律的探究、理解；平面向量數(shù)量積的靈活應用.《平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義》評測練習1.已知＝6，＝3，＝－12，則向量在向量方向上的投影是()A．－4 B．4C．－2 D．22.下列各式中正確的是（）（1）若,則，（2），（3）,（4）A.（1）（3） B.（2）（4） C.（1）（4） D.（4）.3.若向量,滿足，與的夾角為，則=（）A.B.C.D.24.若||=||=|－|,則與+的夾角為（）A．30°B．60°C．150°D．120°5.如圖所示，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是邊BC上的高，則的值等于()A．0B．4C．8D．－46.已知||=1,||=，且(－)與垂直，則與的夾角為（）A．60°B．30°C．135°D．45°7.設(shè)，是相互垂直的單位向量，并且向量，，如果，那么實數(shù)x等于.8.等邊三角形ABC的邊長為1，，則=______.9.已知兩單位向量與的夾角為，若，,試求（1）||；（2）與的夾角.10.已知||=5,||=4，且與的夾角為60°，求k為何值時,向量與互相垂直.參考答案1.A2.D3.B4.A5.B6.D7.8.9.解：（1）（2）,,,故與的夾角為10.解：（1）與互相垂直的條件是=0，即，也就是說，當時，向量與互相垂直.《平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義》教后反思本節(jié)課最大的亮點就在于對于平面向量數(shù)量積的運算律的研究非常透徹，當然這也導致了本節(jié)課最大的不足，講到最后時間上有點不足，我在設(shè)計的時候緊扣課題，平面向量數(shù)量積的定義及其幾何意義都是從物理中的做功得到的啟示從而得到的，所以引入全部圍繞著物理做功層層深入，并且也充分利用了類比的思想，與向量的線性運算相類比來認識數(shù)量積，又通過它們的不同來理解概念，性質(zhì)與運算律也都是與實數(shù)的內(nèi)容進行類比，在講解時很多東西都需要學生自己去對比，去探究，去練習，所以盡量教師別講解的太多，給出一個線索，然后讓學生大膽探究，盡量借組實物展臺展示學生的過程，而教師主要進行引導和點評；由于內(nèi)容比較多時間上很不好把握，盡可能合理分配，而且重點（平面向量數(shù)量積的概念）占用時間較少，難點內(nèi)容（運算律）占用時間太多，導致后面處理例1和例2時時間不夠，整體來說，是前后都緊中間松，還有在學習數(shù)量積的幾何意義的時候分析的過于單調(diào)，沒有結(jié)合圖形讓大家數(shù)形結(jié)合的進行理解，有些地方語言過度的也不是很自然，這些都應該是我以后教學中重點注意的地方.《平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義》課標分析向量是近代數(shù)學中非常重要的數(shù)學概念之一，它是聯(lián)系幾何、代數(shù)與三角函數(shù)的一個橋梁，不僅其本身有著豐富的內(nèi)容，更由于它在數(shù)學、