三角函數(shù)應(yīng)用題

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假使一個(gè)三角形能夠知道某些角或邊，可以通過正弦余弦定理將其余角和邊求出

正弦定理

例題：某企業(yè)有兩個(gè)生產(chǎn)車間分別在A，B兩個(gè)位置，A車間有100名員工，B車間有400

名員工，現(xiàn)要在馬路AC上找一點(diǎn)D，修一條馬路BD，并在D處建一個(gè)食堂，使得所有員工均在此食堂用餐，已知A，B，C中任意兩點(diǎn)間的距離均有1km，設(shè)∠BDC＝α，所有員工從車間到食堂步行的總路程為S．

（1）寫出S關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式，并指出α的取值范圍；（2）問食堂D建在距離A多遠(yuǎn)時(shí)，可使總路程S最少？

CBDA例題：(2023蘇州第一次調(diào)研)在路邊安裝路燈，燈柱AB與地面垂直，燈桿BC與燈柱AB所在平面與道路垂直，且?ABC?120，路燈C采用錐形燈罩，射出的光線如圖中陰影部分所示，已知?ACD?60，路寬AD?24米，設(shè)燈柱高AB?h（米），?ACB??（30???45）

（1）求燈柱的高h(yuǎn)（用?表示）；

（2）若燈桿BC與燈柱AB所用材料一致，記此用料長(zhǎng)度和為S，求S關(guān)于?的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最小值．

C

BAD練習(xí)：(2023XX高考)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑。一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C。現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50米/分鐘。在甲出發(fā)2分鐘后，乙從A乘坐纜車到B，在B處停留1分鐘后，再從B勻速步行到C。假設(shè)纜車速度為130米/分鐘，山路AC的長(zhǎng)為1260米，經(jīng)測(cè)量，

cosA?123,cosC?。135（1）求索道AB的長(zhǎng)；

（2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？

余弦定理

例題：如圖，公園有一塊邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的邊角地，現(xiàn)修成草坪，圖中DE把草坪

分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上.

（1）設(shè)AD?x，ED＝y(tǒng)，求用x表示y的函數(shù)關(guān)系式，寫出x的取值范圍；（2）假使DE是澆灌水管，為儉約成本，希望它最短，DE的位置應(yīng)在哪里？假使DE是參觀線路，則希望它最長(zhǎng)，DE的位置又應(yīng)在哪里？請(qǐng)予證明

A

xEyDCB

練習(xí)：1.某建筑的金屬支架如下圖，根據(jù)要求AB至少長(zhǎng)2.8m，C為AB的中點(diǎn)，B到D的距離比CD的長(zhǎng)小0.5m，?BCD?600，已知建筑支架的材料每米的價(jià)格一定，問怎樣設(shè)計(jì)AB,CD的長(zhǎng)，可使建造這個(gè)支架的成本最低？

ACB

D地面

2.為進(jìn)行科學(xué)試驗(yàn)，觀測(cè)小球A、B在兩條相交成60?角的直線型軌道上運(yùn)動(dòng)的狀況，如圖（乙）所示，運(yùn)動(dòng)開始前，A和B分別距O點(diǎn)3m和1m，后來它們同時(shí)以每分鐘4m的速度各沿軌道l1、l2按箭頭的方向運(yùn)動(dòng)。問：

（1）運(yùn)動(dòng)開始前，A、B的距離是多少米？（結(jié)果保存根號(hào)）。（2）幾分鐘后，兩個(gè)小球的距離最??？

l2B’BAA’Ol1圖（乙）

角度互補(bǔ)問題

例題（2023南京2模）某單位設(shè)計(jì)一個(gè)展覽沙盤，現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi)，布設(shè)一個(gè)對(duì)角線在l上的四邊形電氣線路，如下圖，為充分利用現(xiàn)有材料，邊BC,CD用一根5米長(zhǎng)的材料彎折而成，邊BA,AD用一根9米長(zhǎng)的材料彎折而成，要求?A和?C互補(bǔ)，且AB=BC,(1)設(shè)AB?x米，cosA=f(x),求f(x)的解析式，并指出x的取值范圍．(2)求四邊形ABCD面積的最大值。

課后作業(yè)

1.如下圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的長(zhǎng)．

2.如圖，在海岸線l一側(cè)C處有一個(gè)美麗的小島，某旅游公司為便利游客，在l上設(shè)立了A、B兩個(gè)報(bào)名點(diǎn)，滿足A、B、C中任意兩點(diǎn)間的距離為10千米。公司擬按以下思路運(yùn)作：先將A、B兩處游客分別乘車集中到AB之間的中轉(zhuǎn)點(diǎn)D處（點(diǎn)D異于A、B兩點(diǎn)），然后乘同一艘游輪前往C島。據(jù)統(tǒng)計(jì)，每批游客A處需發(fā)車2輛，B處需發(fā)車4輛，每輛汽車每千米花費(fèi)2元，游輪每千米花費(fèi)12元。設(shè)∠CDA??，每批游客從各自報(bào)名點(diǎn)到C島所需運(yùn)輸成本S元。

⑴寫出S關(guān)于?的函數(shù)表達(dá)式，并指出?的取值范圍；⑵問中轉(zhuǎn)點(diǎn)D距離A處多遠(yuǎn)時(shí)，S最??？

3.某公司為了加大產(chǎn)品的宣傳力度，準(zhǔn)備立一塊廣告牌，在其后面制作一個(gè)形如△ABC的支架，要求∠ACB＝60°，BC的長(zhǎng)度大于1米，且AC比AB長(zhǎng)0.5米．為節(jié)省材料，要求AC的長(zhǎng)度越短越好，求AC的最短長(zhǎng)度，且當(dāng)AC最短時(shí)，BC的長(zhǎng)度為多少米？

A

BC

4.如圖，點(diǎn)P在?ABC內(nèi)，AB?CP?2,BC?3,?P??B?π，記?B??．（1）試用?表示AP的長(zhǎng)；