高中數(shù)學-楊輝三角中的一些秘密教學設(shè)計學情分析教材分析課后反思

“楊輝三角”一、【教學目標】重點:探索“楊輝三角”中所蘊含的數(shù)學規(guī)律，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題并運用所學知識解決問題的能力。難點:結(jié)合楊輝三角，理解增減性與最大值時，根據(jù)奇偶性確定分界點，利用賦值法研究二項式系數(shù)的性質(zhì)。知識點:1.“楊輝三角”;2．二項式系數(shù)的性質(zhì)。能力點:．在探索過程中培養(yǎng)學生的觀察、分析、概括的能力。教育點:體驗“發(fā)現(xiàn)規(guī)律，尋找聯(lián)系，探究證明，性質(zhì)運用”的學習過程。自主探究點:通過寫出時的二項式系數(shù),探究出二項式系數(shù)的性質(zhì);以已知探求未知，從特殊到一般的數(shù)學思想方法．考試點:解決與二項式系數(shù)有關(guān)的問題．易錯易混點:二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別.拓展點:求項的系數(shù)的最大項的方法.二、【復(fù)習引入】【創(chuàng)設(shè)情景】上節(jié)課我們學習了二項式定理,即:.二項展開式中的二項式系數(shù)指的是那些?共有多少個?下面我們來研究二項式系數(shù)有些什么性質(zhì)?我們先通過觀察為特殊值時,二項式系數(shù)有什么特點?探究1:試計算下列各展開式中的二項式系數(shù):展開式的二項式系數(shù)11121213133141464151510105161615201561通過計算你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢?【設(shè)計意圖】當二項式的次數(shù)不大時,可直接寫出各項的二項式系數(shù).通過計算填表,使學生建立“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)之間關(guān)系的直覺,讓學生發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律．分析:從表中可以發(fā)現(xiàn),每一行的系數(shù)具有對稱性.為了更好地研究系數(shù)的關(guān)系,我們將上表寫成如下形式:類似上面的表,早在我國南宋數(shù)學家楊輝年所著的《詳解九章算法》一書里就已經(jīng)出現(xiàn)了,這個表稱為楊輝三角.在書中,還說明了表里“一”以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和,楊輝指出這個方法出于《釋鎖》算書,且我國北宋數(shù)學家賈憲（約公元世紀）已經(jīng)用過它.在歐洲,這個表被認為是法國數(shù)學家帕斯卡（BlaisePascal,1623-1662）首先發(fā)現(xiàn)的,他們把這個表叫做帕斯卡三角.楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右,由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的.楊輝三角模型楊輝楊輝三角模型楊輝【設(shè)計意圖】了解“楊輝三角”的歷史背景、地位和作用,探究與發(fā)現(xiàn)“楊輝三角”包含的規(guī)律.讓學生感受我國古代數(shù)學成就及其數(shù)學美,激發(fā)學生的民族自豪感.三、【探究新知】我們結(jié)合楊輝三角,很容易得到二項式系數(shù)的性質(zhì):（1）對稱性.與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等..（2）增減性與最大值.當是偶數(shù)時,中間一項取得最大值;當是奇數(shù)時,中間兩項,相等,且同時取得最大值.（3）各二項式系數(shù)和.,這就是說,展開式的各個二項式系數(shù)的和等于.（4）（5）【設(shè)計意圖】由于二項式系數(shù)組成的數(shù)列是一個離散函數(shù),所以我們應(yīng)該引導(dǎo)學生從特殊值的角度研究二項式系數(shù)的性質(zhì).學生觀察分析圖象性質(zhì),這樣處理便于建立知識的前后聯(lián)系。使學生知識研究問題的方法,體會由特殊到一般的化歸思想,提高學生合作意識.四、【理解新知】1.由“楊輝三角”可直觀地看出二項式系數(shù)的性質(zhì),同時當二項式乘方次數(shù)不大時,可借助于它直接寫出各項的二項式系數(shù).2.如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù),中間一項的二項式系數(shù)最大;如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù),中間兩項的二項式系數(shù)相等并且最大.3.各二項式系數(shù)的和為,即,其推導(dǎo)方法為“賦值法”.（4）（5）【設(shè)計意圖】使學生對知識的理解提升一個高度.為準確地運用新知，作必要的鋪墊.五、【運用新知】題型一:二項式系數(shù)的性質(zhì)例1．在的展開式中,(1)若第3項的二項式系數(shù)與第13項的二項式系數(shù)相等，求n;(2)若只有第10項的二項式系數(shù)最大，求n.(3)若第10項的二項式系數(shù)最大，求n.分析:求二項式系數(shù)最大的項,根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì),當為奇數(shù)時,中間兩項的二項式系數(shù)最大;當為偶數(shù)時,中間一項的二項式系數(shù)最大.【設(shè)計意圖】通過本例一是讓學生進一步體會對稱性的應(yīng)用,二是明確展開式中二項式系數(shù)最大的項.變式訓練:在的展開式中,求:(1)二項式系數(shù)最大的項;(2)系數(shù)絕對值最大的項是第幾項?題型二:二項式系數(shù)奇偶項關(guān)系例1．．在的展開式中,證明(1)(2)奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和.3）求奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和分析:奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為;偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和為.由于中的可以取任意實數(shù),因此我們可以通過對適當賦值來得到上述兩個系數(shù)和.教師板書求解過程:在展開式中,令,則，即，所以,，【設(shè)計意圖】本例題是在二項式系數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上,進一步探討二項式系數(shù)奇項偶像的關(guān)系,并體現(xiàn)了賦值法的應(yīng)用.變式訓練:證明:(為偶數(shù)).題型三:求二項展開式中系數(shù)的和例2．已知,求:(1);(2);(3);.分析：本例主要是借助賦值法,求解二項式系數(shù)之間的關(guān)系.常用的賦值有等.要把“二項式系數(shù)的和”與“各項系數(shù)和”,“奇(偶)數(shù)項系數(shù)和與奇(偶)次項系數(shù)和”嚴格地區(qū)別開來,“賦值法”是求系數(shù)和的常規(guī)方法之一,它適用于恒等式.教師板書求解過程:(1)當時,,展開式右邊為所以,;(2)令,①令,②由①②得:,所以.(3)由①+②得.(4)當時,,所以.(5)解法一:由,令,得,所以,.解法二:由展開式知:均為負,均為正,由(2)中①+②得:,所以,，因此,方法小結(jié):“賦值法”是解決二項式系數(shù)問題常用的方法,根據(jù)題目要求,靈活賦給字母所取得不同值,一般的要使展開式中的項的關(guān)系轉(zhuǎn)化成系數(shù)的關(guān)系,令可得出常數(shù)項,令可得所有項系數(shù)之和,令可得偶次項系數(shù)之和與奇次項系數(shù)之和的差.變式訓練:若.求:(1)(2)六、【課堂小結(jié)】教師引導(dǎo)師生共同總結(jié):1．“楊輝三角”的性質(zhì):(1)在同一行中,每行兩端都是,與這兩個等距離的項的系數(shù)相等;(2)在相鄰的兩行中,除外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和.（3）二項式系數(shù)的性質(zhì).即:對稱性、單調(diào)性與最值、二項式系數(shù)的和.（4）二項展開式中的二項式系數(shù)都是一些特殊的組合數(shù),它有三條性質(zhì),要理解和掌握好,同時要注意“系數(shù)”與“二項式系數(shù)”的區(qū)別,不能混淆,只有二項式系數(shù)最大的才是中間項,而系數(shù)最大的不一定是中間項,尤其要理解和掌握“取特值”法,它是解決有關(guān)二項展開式系數(shù)的問題的重要手段.2．數(shù)學思想：轉(zhuǎn)化與化歸思想、特殊與一般的思想．3.數(shù)學方法：賦值法?！驹O(shè)計意圖】通過課堂的整理、總結(jié)與反思,使學生更好的掌握主干知識,體會探究過程中滲透的數(shù)學思想方法,再次感受我國古代數(shù)學成就,激勵自己努力學習.七、【布置作業(yè)】必做題：1．填空:（1）的展開式中,二項式系數(shù)最大的項所在的項數(shù)是______;（2）若的展開式中各項系數(shù)的和等于的展開式中二項式系數(shù)的和,則的值為______;（3）,則的值等于______.2.若對任意實數(shù),有,求的值.3.在的展開式中,求:（1）二項式系數(shù)的和;（2）各項系數(shù)的和;（3）所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和;（4）各項系數(shù)絕對值的和.必做題答案：1．（1）;（2）;（3）.2．;3.（1）;（2）;（3）;（4）.選做題：1．的展開式中第六項與第七項的系數(shù)相等,求展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項.2．的展開式中不含的項的系數(shù)之和是?3．,求的值選做題答案：1．二項式系數(shù)最大的項為;系數(shù)最大的項為;2．;3．.【設(shè)計意圖】體現(xiàn)了分層、有梯度的教學，學生動手練習,加強學生的應(yīng)用意識.同時由于此題難度不太大，對基礎(chǔ)中下的學生還可起到激發(fā)信心的作用，拓展智能.八、【教后反思】1．本節(jié)課的亮點:本節(jié)課將二項式系數(shù)性質(zhì)的討論與“楊輝三角”結(jié)合起來,主要是因為“楊輝三角”蘊含了豐富的內(nèi)容,由它可以直接看出二項式系數(shù)的性質(zhì).這個過程中既讓學生獲得了關(guān)于新知的內(nèi)容,更可貴的是讓學生體會到如何研究一個新問題,即探究方法的體驗與感知.同時也滲透了賦值法、歸納推理的數(shù)學思想方法,培養(yǎng)了學生的探索精神,積累了探究經(jīng)驗.通過例題的講解,變式訓練的加強,作業(yè)的鞏固,絕大多數(shù)同學已經(jīng)掌握了二項式系數(shù)性質(zhì)的相關(guān)內(nèi)容.2．不足之處：一是本教案容量較大,對于一些題目的運算有些同學一時還達不到,課下在了解方法的前提下學生多訓練一下運算能力.盡量達到會而不錯的境界.九、【板書設(shè)計】1.3.2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)一、引入新課二、探究新知1.對稱性2.單調(diào)性與最值3.二項式系數(shù)和三、理解新知：四、運用新知例1:變式訓練例2:變式訓練例3:變式訓練五、課堂小結(jié)1．知識：2．思想：六、布置作業(yè)必做題：1.2.3.選做題：1.2.3.學生學情分析學生是學習的主體，教師只有全面了解學生，關(guān)注學生的需求，才能在教學上做到有的放矢，游刃有余。本節(jié)課授課班級為普通理科班,一部分學生本身自制力差，學習習慣不好，學習興趣不濃。不愿思考問題，上課開小差，依賴老師講解，依賴同學的幫助，作業(yè)抄襲等等不良現(xiàn)象。少部分學生有主動學習的行為，比較喜歡上數(shù)學課，學習熱情也很高，和老師常交流。我認為改變學生應(yīng)該首先抓學生的學習習慣。幫助學生培養(yǎng)良好的學習習慣和學習方法。讓學生先認識數(shù)學的重要性，數(shù)學會提高大家對問題思維能力，分析判斷能力，解決問題的能力。再教學生怎樣學習數(shù)學，一次慢慢提高數(shù)學學習能力。激發(fā)學習興趣，養(yǎng)成自主學習的習慣和方法。其次加強基礎(chǔ)知識教學。了解到學生目前的學習情況，大部分學生對初中的相關(guān)知識掌握不好，加強基礎(chǔ)知識學習。多表揚、多鼓勵。對于課堂上踴躍發(fā)言和積極進步的學生要及時表揚。并鼓勵其他同學向他學習，增加自信心。效果分析對于這節(jié)課的效果，我做以下分析，本節(jié)成功方面有：教師為主導(dǎo)。本節(jié)教師的導(dǎo)，學生的嘗試，都能遵循學生的認識規(guī)律。通過教師的引導(dǎo)學生積極、主動地獲的知識。以舊拓新，激發(fā)興趣，啟迪思維，引導(dǎo)學生自己探索知識，正確處理教與學的關(guān)系。如分析楊輝三角時，給出圖表，問可以發(fā)現(xiàn)哪些性質(zhì)。學生通過對舊知識的認識，可以嘗試得出結(jié)論。又如分析二項式的性質(zhì)2時，通過對圖表和圖象的認識，得出結(jié)論———先增后減。那么，最大值就是關(guān)鍵，如何求最大值。學生可以根據(jù)以有的知識，嘗試結(jié)論，并驗證結(jié)論，最后總結(jié)規(guī)律。完成學習要求。學生為主體。教學中每一步都充分激發(fā)了學生的內(nèi)部動機，有利于在新舊知識的聯(lián)結(jié)點上展開教育。因而注意在關(guān)鍵處提出一些問題，且內(nèi)容恰當，難易適度，并富于思考性，易調(diào)動學生思維的積極性。讓學生主動探索出解決問題的一般規(guī)律，同時注意培養(yǎng)學生的歸納思維能力。練習為主線，習題的多樣性,為學生設(shè)計多層次習題，讓所有學生嘗試思維情景，讓學生看有所思，練有所想。本節(jié)課的不足之處也有很多，主要有以下幾點：讓學生更多的參與進來。如例題的回答過程，板書過程，可以讓學生上黑板來完成。習題設(shè)計再多樣化，，讓所有學生都有所收獲.加強基本功練習，普通話，板書。教姿，教態(tài)，改變自己的隨意性。教材分析

1．“楊輝三角”的內(nèi)涵實際上就是二項式系數(shù)的性質(zhì)，其內(nèi)容豐富，值得學生深入探討。對于楊輝三角所蘊含的規(guī)律，學生不難發(fā)現(xiàn)，而難點就在于如何把學生通過觀察發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行歸納，進而推理論證，揭示其數(shù)學本質(zhì)。本節(jié)課利用了轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學思想，把對觀察得到的規(guī)律的證明化歸為組合數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用上。

2．本節(jié)課的教學內(nèi)容屬于事實性知識，其特點是易懂難記，難于上升到理性的解釋。

3．本節(jié)課是在學生學習了兩個計數(shù)原理、組合及組合數(shù)的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，又具體學習了二項式定理、二項式系數(shù)等概念的基礎(chǔ)上進行的。4．從知識發(fā)生發(fā)展過程的角度上看，學生可以從直觀上很好地觀察發(fā)現(xiàn)楊輝三角中蘊含的數(shù)字規(guī)律，但對于高二的學生，他們思考問題的思維已經(jīng)不僅僅滿足于“知其然”，他們更渴望的是“知其所以然”，在老師適當?shù)狞c撥下，學生能很自然地聯(lián)系到上位知識，即組合數(shù)的性質(zhì)與二項式系數(shù)的聯(lián)系，通過師生合作完成知識發(fā)展過程的探究，這符合學生的認知規(guī)律，也體現(xiàn)了互助學習的價值觀教育。必做題：1．填空:（1）的展開式中,二項式系數(shù)最大的項所在的項數(shù)是______;（2）若的展開式中各項系數(shù)的和等于的展開式中二項式系數(shù)的和,則的值為______;（3）,則的值等于______.2.若對任意實數(shù),有,求的值.3.在的展開式中,求:（1）二項式系數(shù)的和;（2）各項系數(shù)的和;（3）所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和;（4）各項系數(shù)絕對值的和.必做題答案：1．（1）;（2）;（3）.2．;3.（1）;（2）;（3）;（4）.選做題：1．的展開式中第六項與第七項的系數(shù)相等,求展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項.2．的展開式中不含的項的系數(shù)之和是?3．,求的值選做題答案：1．二項式系數(shù)最大的項為;系數(shù)最大的項為;2．;3．.【設(shè)計意圖】體現(xiàn)了分層、有梯度的教學，學生動手練習,加強學生的應(yīng)用意識.同時由于此題難度不太大，對基礎(chǔ)中下的學生還可起到激發(fā)信心的作用，拓展智能.1．本節(jié)課的亮點:本節(jié)課將二項式系數(shù)性質(zhì)的討論與“楊輝三角”結(jié)合起來,主要是因為“楊輝三角”蘊含了豐富的內(nèi)容,由它可以直接看出二項