矩陣?yán)碚摰诙v方陣的對角化

矩陣?yán)碚摰诙v方陣的對角化第1頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一回顧與復(fù)習(xí)矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用背景；矩陣、數(shù)域、映射、直積集、代數(shù)運(yùn)算、集合對運(yùn)算封閉、矩陣運(yùn)算、負(fù)矩陣、零矩陣、方陣、對角陣、單位陣、轉(zhuǎn)置矩陣、分塊矩陣、分塊矩陣的相等、伴隨矩陣（adjointmatrix,NOTadjacentmatrix）、逆矩陣、逆的性質(zhì)、矩陣的秩、秩的性質(zhì)等矩陣運(yùn)算：矩陣加法、矩陣減法、數(shù)乘矩陣、矩陣乘法、方陣的冪線性空間：非空集定義了加法，滿足4條有關(guān)加法的規(guī)律（加法交換群）；定義了數(shù)乘，滿足4條有關(guān)數(shù)乘的規(guī)律；第2頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一回顧與復(fù)習(xí)（Continue）線性映射（線性算子、線性變換）同一數(shù)域上的線性空間到線性空間的映射線性泛函線性空間到數(shù)域的映射線性子空間非空子集、加法與數(shù)乘的定義與原空間相同子空間的維數(shù)不超過其全空間的維數(shù)子空間的維數(shù)=生成元（列向量）構(gòu)成的矩陣（向量組）的秩第3頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一回顧與復(fù)習(xí)（Continue）單獨(dú)一個(gè)就已經(jīng)線性相關(guān)了，所以規(guī)定零子空間的維數(shù)為0，并且規(guī)定它的基為空集X是線性子空間，，集合是子空間，當(dāng)時(shí)，是由x生成的一維子空間YXZbac第4頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一回顧與復(fù)習(xí)（Continue）YXZ不相關(guān)第5頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一回顧與復(fù)習(xí)（Continue）線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次非齊次第6頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一回顧與復(fù)習(xí)（Continue）方陣的特征值與特征向量特征矩陣第7頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一回顧與復(fù)習(xí)（Continue）特征多項(xiàng)式特征方程第8頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一特征值與特征向量（Continue）特征值的代數(shù)重?cái)?shù)若是的k重特征值，則稱λ的代數(shù)重?cái)?shù)為k特征值的幾何重?cái)?shù)的解空間稱為A的屬于特征值λ的特征子空間，記為。特征子空間的維數(shù)稱為A的特征值λ的幾何重?cái)?shù)特征值的幾何重?cái)?shù)不超過它的代數(shù)重?cái)?shù)：若是的k重特征值，則第9頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一特征值與特征向量（Continue）矩陣的多項(xiàng)式設(shè)f(λ)是λ的多項(xiàng)式：運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)對，定義為矩陣A的多項(xiàng)式：運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)上的矩陣矩陣的多項(xiàng)式的特征值和特征向量若是的特征值，是A的屬于λ的特征向量，那么x也是的屬于特征值的特征向量：(對A的任一特征值λ）第10頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一特征值與特征向量（Continue）證明:由方陣的冪的定義，有那么如果第11頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一特征值與特征向量（Continue）屬于不同特征值的線性無關(guān)的特征向量組，組合起來仍線性無關(guān)設(shè)是的互異特征值，是分別與對應(yīng)的個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則線性無關(guān)推論：屬于不同特征值的特征向量必線性無關(guān)證明：對特征值的個(gè)數(shù)用歸納法。當(dāng)k=1時(shí)，顯然成立。設(shè)時(shí)成立，需要證明k=m時(shí)也成立。第12頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一特征值與特征向量（Continue）為此，設(shè)有F上的常數(shù)：使得：用乘以上式兩邊：用A左乘（1）式兩端，并注意到：又有(2)式與(3)式相減(1)(2)(3)第13頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一特征值與特征向量（Continue）即：又因?yàn)榛ギ?，故：將上式代?1)式，得即k=m時(shí)，定理也成立的線性無關(guān)的特征向量第14頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一特征值與特征向量（Continue）方陣的跡設(shè)，定義為方陣A的跡定理有且僅有n個(gè)特征值，且若是A的n個(gè)特征值，則的特征值是，而的特征值為第15頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一特征值與特征向量（Continue）證明對A的階數(shù)用歸納法。A的階數(shù)為1時(shí)，，定理成立。設(shè)A的階數(shù)為n–1時(shí)定理成立，需要證明A的階數(shù)為n時(shí)，定理也成立。由行列式的性質(zhì)第16頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一特征值與特征向量（Continue）第17頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一特征值與特征向量（Continue）第18頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一特征值與特征向量（Continue）上式中再令上式中λ＝0，則又因?yàn)槭堑膎個(gè)根，所以比較上式中的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：第19頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一特征值與特征向量（Continue）由上式可以立即得到兩條推論：滿秩A的所有的特征值都異于零對，0是A的特征值證明也是的特征值證明是的特征值：第20頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一特征值與特征向量（Continue）用數(shù)學(xué)歸納法證明第21頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一方陣乘積的跡定理設(shè)，則證明：設(shè)，，則AB的對角線元素為而BA的對角線元素為于是改變求和順序

第22頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一方陣的相似方陣相似的定義設(shè)，若使得則稱A與B相似，記作相似矩陣的性質(zhì)自反性對稱性傳遞性，保秩性行列式相等矩陣函數(shù)相似特征多項(xiàng)式、特征值相同第23頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一方陣的相似（Continue）設(shè)因?yàn)椋允沟媚敲吹?4頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一方陣的對角化方陣可對角化的定義對，若，則稱方陣A可對角化問題：如何判定一個(gè)方陣可對角化？可對角化的方陣如何實(shí)現(xiàn)可對角化？方陣可對角化的充要條件可對角化A有n個(gè)特征值，且每個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)等于其代數(shù)重?cái)?shù)證明：（充分性）設(shè)有n個(gè)特征值：第25頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一方陣的對角化方陣可對角化的定義對，若，則稱方陣A可對角化問題：如何判定一個(gè)方陣可對角化？可對角化的方陣如何實(shí)現(xiàn)可對角化？方陣可對角化的充要條件可對角化A有n個(gè)特征值，且每個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)等于其代數(shù)重?cái)?shù)，即：

第26頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一方陣的對角化（Continue）可對角化方陣的對角化方法由的基構(gòu)成的矩陣可使證明：先證充分性。設(shè)有n個(gè)特征值：且第27頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一方陣的對角化（Continue）為的基，因互異，根據(jù)“屬于不同特征值的線性無關(guān)的特征向量組，組合起來仍線性無關(guān)”，A的n個(gè)特征向量線性無關(guān)，因此注意到于是第28頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一方陣的對角化（Continue）于是r1列r1行第29頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一方陣的對角化（Continue）再證必要性，即可對角化A有n個(gè)特征值且每個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)等于其代數(shù)重?cái)?shù)。不失一般性，設(shè)A相似于F上的一個(gè)n階對角陣根據(jù)相似的定義，使得上式右邊的對角陣以為其重特征值，“相似方陣有相同的特征值”，所以，A有n個(gè)特征值：下證第30頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一方陣的對角化（Continue）對T的n個(gè)列向量進(jìn)行如下編號：那么比較上式兩邊矩陣的列向量，可得第31頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一方陣的對角化（Continue）由線性無關(guān)?！耙唤M向量線性無關(guān)，則其一部分也線性無關(guān)”也線性無關(guān)?！熬€性無關(guān)向量的最大個(gè)數(shù)不超過其所在空間的維數(shù)”又由“特征值的幾何重?cái)?shù)不超過它的代數(shù)重?cái)?shù)”綜合上兩式推論1：若有n個(gè)互異的特征值，則A可對角化推論2：若的特征值都是單重的，則A可對角化第32頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一方陣的對角化（Continue）例：下列矩陣能否對角化？對可對角化的矩陣，求其相似變換矩陣和相應(yīng)的對角陣第33頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一方陣的對角化（Continue）第34頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一方陣的對角化（Continue）第35頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一方陣的對角化（Continue）此矩陣不能對角化！第36頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一方陣的對角化（Continue）對角陣的應(yīng)用：乘積、冪、求逆和求特征值都比較簡潔求冪：，求第37頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一方陣的對角化（Continue）求解線性微分方程組：寫成矩陣形式：

令第38頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一方陣的對角化（Continue）那么第39頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一Jordan標(biāo)準(zhǔn)形方陣化為對角形是有條件的退一步，如果一個(gè)方陣不能被化為對角形，能否降低要求，化為一個(gè)分塊對角形？在實(shí)數(shù)域內(nèi)，此問題的答案是肯定的，分塊對角形就是所謂的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。定義Jordan塊稱形如的矩陣為階Jordan塊第40頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一Jordan標(biāo)準(zhǔn)形（Continue）