空間問題的基本理論

空間問題的基本理論第1頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一本章將系統(tǒng)地介紹空間問題的基本理論－基本方程和邊界條件，及空間軸對稱問題的基本方程。要求掌握的內容如下：

1、空間問題的基本未知函數(shù)；2、一點應力狀態(tài)的分析；3、空間問題的三套基本方程－平衡微分方程、幾何方程與物理方程4、邊界上邊界條件的建立；5、空間軸對稱問題的基本方程。本章學習指南Chapter7第2頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一為了理解空間問題的基本理論，可從以下幾個方面出發(fā)：

1、清楚地了解推導空間問題的基本方程所用的條件和方法；2、對照平面問題基本理論的相關知識進行學習，將空間問題的基本方程、邊界條件看成是平面問題的推廣，以加深理解；3、柱坐標系中的空間軸對稱問題可看成是平面軸對稱問題的推廣。本章學習指南Chapter7第3頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一§7.1平衡微分方程§7.2物體內任一點的應力狀態(tài)§7.3主應力最大與最小的應力§7.4幾何方程及物理方程§7.5軸對稱問題的基本方程Content本章目錄第4頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一一維問題：一個基本坐標變量，如桿件。是材料力學的重點內容。二維問題：二個基本坐標變量，如平面問題。是本課程的重點內容。三維問題：三個基本坐標變量，即空間問題。是本課程需了解的內容。Chapter7.1什么是空間問題？第5頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一Chapter7.1在一般空間問題中，包含15個未知函數(shù)：6個應力分量，6個形變分量，3個位移分量基本未知量與方程對于空間問題，在彈性體區(qū)域內，仍然要考慮靜力學、幾何學和物理學三方面條件，分別建立三套方程；并在邊界上建立應力邊界條件或位移邊界條件?？臻g問題與平面問題具有相似性：基本未知量、基本方程、邊界條件和求解方法均是類似的。第6頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一

空間問題的平衡微分方程是考慮空間問題的靜力學條件，根據(jù)彈性體內微分單元體的靜力平衡條件來推導出應力分量與體力分量之間的關系。

分析問題方法：空間力系和力矩的平衡條件

分析手段：微分單元體（微分）

意義：彈性體區(qū)域內任一點的微分體的靜力平衡條件Chapter7.1§7.1平衡微分方程第7頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一Chapter7.1平衡微分方程在點P附近取一微元體，P點的應力為：體力分量為：第8頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一Chapter7.1平衡微分方程由微元體的平衡條件建立平衡微分方程。將上式同除以dxdydz，化簡得：第9頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一Chapter7.1平衡微分方程同理，由：得到x、y方向的平衡微分方程。第10頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一意義：彈性體區(qū)域內任一點的微分體的平衡條件Chapter7.1空間問題的平衡微分方程第11頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一得到：Chapter7.1平衡微分方程另外由三個方向軸的力矩平衡：——切應力互等定理第12頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一列平衡條件時，應力和體力應分別乘以其作用面積和體積，才能得到合力；應用了兩個基本假設：連續(xù)性假設和小變形假設，也是其適用的條件。平衡微分方程中各個量的量綱都相同，其中第一式的各項為x方向的量，第二項為y方向的量，第三項為z方向的量；Chapter7.1注意事項第13頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一空間問題的平衡微分方程有3個方程，但包含有6個未知函數(shù)，只根據(jù)靜力學條件無法定解，即是超靜定的。要想定解，還必須考慮幾何學和物理學方面的條件。平衡微分方程表示了彈性體內任意點的微分單元體的平衡條件，必然保證任一有限大部分和整個區(qū)域是滿足平衡條件的，因而所考慮的靜力學條件是嚴格和精確的。Chapter7.1注意事項第14頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一§7.1平衡微分方程§7.2物體內任一點的應力狀態(tài)§7.3主應力最大與最小的應力§7.4幾何方程及物理方程§7.5軸對稱問題的基本方程Content本章目錄第15頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一1：求經過該點任何斜面上的應力p？2：求經過該點的任何斜面上的正應力sn和切應力tn

？3：若經過該點的主應力s和應力主方向a

？4：求經過該點的正應力sn和切應力tn

的最大和最小值？一點應力狀態(tài)分析：已知任一點處坐標面上的6個應力分量，求解如下四個問題：Chapter7.2§7.2任一點的應力狀態(tài)分析第16頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一取如圖所示微分單元體PABC，當平面ABC無限接近于P點時，該平面上的應力即為所求應力p。根據(jù)該微分單元的力系平衡條件，在x、y和z軸方向上合力為0，從而有：Chapter7.2過一點任意斜面的全應力第17頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一特殊情況下，若平面ABC是彈性體上受面力作用的邊界面，則應力p就成為面力，于是由(7－2)式可得出:上式就是空間問題的應力邊界條件，它表明應力分量的邊界值與面力分量之間的關系。Chapter7.2空間問題的應力邊界條件第18頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一平面ABC上的正應力sn即為上面所求的全應力p向法線方向n的投影：平面ABC上的切應力tn則由下式求得：Chapter7.2過一點任意斜面的正應力與切應力第19頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一§7.1平衡微分方程§7.2物體內任一點的應力狀態(tài)§7.3主應力最大與最小的應力§7.4幾何方程及物理方程§7.5軸對稱問題的基本方程Content本章目錄第20頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一設如圖所示的斜面上切應力為0，則該面上的全應力等于正應力，也等于主應力，于是有又由于有過一點任意斜面的主應力與主方向Chapter7.3第21頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一從而有關于方向余弦l,m,n的線性方程組：其有非零解的充要條件為系數(shù)行列式等于0，即Chapter7.3第22頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一其中：主應力特征方程展開，得：Chapter7.3第23頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一Chapter7.3主應力特征方程有三個實數(shù)根，σ1

，σ2，σ3分別表示這三個根，代表某點三個主應力，從而確定彈性體內部任意一點主應力。主應力和應力主軸方向取決于載荷、形狀和邊界條件等，與坐標軸的選取無關。I1、I2、I3

分別稱為應力張量的第一、第二和第三不變量。特征方程的根是確定的，即系數(shù)I1、I2、I3的值是不隨坐標軸的改變而變化的。第24頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一結合l2+m2+n2=1

則可求主應力方向。對于主應力方向，將s1，s2，s3分別代入可以證明：三個主應力方向，是互相垂直的。Chapter7.3第25頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一已知任一點處三個主應力（s1≥s2≥s3），及其應力主方向，可求得經過該點正應力、切應力的最大和最小值過一點任意斜面的應力極值Chapter7.3彈性體內任意一點的最大正應力為s1，最小正應力為s3最大切應力可以通過主應力計算，等于(s1-s3)/2。第26頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一過一點任意斜面的應力極值Chapter7.3最大切應力作用平面也可以通過主應力方向得到，其作用平面通過s2應力主方向，并且平分s1和s3應力主方向的夾角（即45°角）。第27頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一證明主應力是正應力的極值（極大或極?。＝猓簽榱擞嬎惴奖?，選三個主方向為坐標軸向，則有

sx=s1，sy=s2，sz=s3，txy=tyz=txz=0

Chapter7.2例題1第28頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一

設任意斜微分面的方向余弦為（l,

m,

n)，其上的全應力為公式（7-2），正應力為公式（7-3），代入有sn=

s1

l2+s2m2+s3n2=s1–(s1-s2)m2-(s1-s3)n2

設三個主應力大小順序為

s1≥s2≥s3

，則正應力取極大值條件：

m=n=0,|l|=1,即極大值為s1。

同理極小值為s3。Chapter7.2例題1第29頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一§7.1平衡微分方程§7.2物體內任一點的應力狀態(tài)§7.3主應力最大與最小的應力§7.4幾何方程及物理方程§7.5軸對稱問題的基本方程Content本章目錄第30頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一位移與應變的關系，分為線應變和切應變Chapter7.4§7.4

空間問題的幾何方程第31頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一空間問題的位移邊界條件：在給定約束位移的邊界面上，位移分量在邊界面上的值與邊界上的約束位移值相等。體應變：單位體積的體積改變Chapter7.4空間問題的位移邊界條件第32頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一應變用應力表示，用于按應力求解的方法：Chapter7.4空間問題的物理方程第33頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一應力用應變表示，用于按位移求解的方法：Chapter7.4第34頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一位移分量uxuyuz應變分量exeyezgxygxzgyz應力分量sxsysztxytxztyz體力f幾何方程物理方程平衡微分方程已知位移已知面力變形協(xié)調方程Chapter7.4應力邊界條件位移邊界條件混合邊界條件總結：基本未知量與方程第35頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一§7.1平衡微分方程§7.2物體內任一點的應力狀態(tài)§7.3主應力最大與最小的應力§7.4幾何方程及物理方程§7.5軸對稱問題的基本方程Content本章目錄第36頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一空間軸對稱：彈性體的形狀、約束和外力都是對稱于某一軸，通過對稱軸的任何平面均是對稱面，則所有物理量（應力、應變和位移）都對稱于該軸。宜采用圓柱坐標系（r,j,z）。Chapter7.5§7.5空間軸對稱問題的基本方程第37頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一由于對稱，在對稱面兩邊對應點的物理量滿足如下兩個條件

（1）數(shù)值軸對稱：所有物理量與環(huán)向坐標j

無關，同一環(huán)向線上的值相等，且只是徑向坐標r

和軸向坐標z

的函數(shù)。

（2）方向軸對稱，即方向對稱于z軸，方向不對稱于z

軸的物理量不能存在，從而有：Chapter7.5§7.5空間軸對稱問題的基本方程第38頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一由徑向軸r

和軸向z兩個方向的空間力系的平衡條件，可推導出“平衡微分方程”：整理可得（7-15）Chapter7.5軸對稱問題的平衡微分方程第39頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一通過與§2.4及§4.2中相同的分析方法，可見由于徑向位移ur引起的形變?yōu)橛捎谳S向位移uz引起的形變?yōu)椋篊hapter7.5軸對稱問題的幾何方程第40頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一根據(jù)疊加原理，將兩組形變疊加，得軸對稱問題的幾何方程：（7-16）Chapter7.5軸對稱問題的幾何方程第41頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一Chapter7.5由于本構方程是彈性體彈性參數(shù)的反映，與坐標系的選擇無關。對于直角坐標系和柱坐標系，因為它們都是正交坐標系，因此兩坐標系下的物理方程具有相同的形式。軸對稱問題的物理方程第42頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一Chapter7.5（7-17）軸對稱問題的物理方程第43頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一

空間軸對稱問題的基本未知函數(shù)為10個：4個應力分量、4個應變分量、2個位移分量?？臻g軸對稱問題的基本方程也為10個：2個平衡微分方程、4個幾何方程、4個物理方程?？臻g軸對稱問題所有未知函數(shù)與環(huán)向坐標j

無關，一般都是徑向坐標r和軸向坐標