高考數(shù)學(xué)理二輪課件等差數(shù)列和等比數(shù)列

專題四數(shù)列、推理與證明第1講等差數(shù)列和等比數(shù)列主干知識(shí)梳理熱點(diǎn)分類突破真題與押題1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點(diǎn)，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).2.數(shù)列求和及數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是高考考查的重點(diǎn)，考查分析問題、解決問題的綜合能力．考情解讀主干知識(shí)梳理1．a(chǎn)n與Sn的關(guān)系Sn＝a1＋a2＋…＋an，an＝2.等差數(shù)列和等比數(shù)列

等差數(shù)列等比數(shù)列定義an－an-1＝常數(shù)(n≥2)

＝常數(shù)(n≥2)通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1(q≠0)判定方法(1)(1)定義法(2)中項(xiàng)公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n≥1)?{an}為等差數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：an＝pn＋q(p、q為常數(shù))?{an}為等差數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))?{an}為等差數(shù)列(1)定義法(2)中項(xiàng)公式法：

＝an·an＋2(n≥1)(an≠0)?{an}為等比數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：an＝c·qn(c、q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)?{an}為等比數(shù)列判定方法(2)(5){an}為等比數(shù)列，an>0?{logaan}為等差數(shù)列(4){an}為等差數(shù)列?{

}為等比數(shù)列(a>0且a≠1)性質(zhì)(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(2)an＝am＋(n－m)d(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍成等差數(shù)列(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq(2)an＝amqn－m(3)等比數(shù)列依次每n項(xiàng)和(Sn≠0)仍成等比數(shù)列前n項(xiàng)和(2)q＝1，Sn＝na1熱點(diǎn)一等差數(shù)列熱點(diǎn)二等比數(shù)列熱點(diǎn)三等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用熱點(diǎn)?分類突破例1

(1)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＋a4＋a6＝12，則S7的值是(

)A.21

B.24C.28

D.7熱點(diǎn)一等差數(shù)列思維啟迪

利用a1＋a7＝2a4建立S7和已知條件的聯(lián)系；解析由題意可知，a2＋a6＝2a4，則3a4＝12，a4＝4，C(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若－1<a3<1,0<a6<3，則S9的取值范圍是________．思維啟迪將a3，a6的范圍整體代入．解析S9＝9a1＋36d＝3(a1＋2d)＋6(a1＋5d)又－1<a3<1,0<a6<3，∴－3<3(a1＋2d)<3,0<6(a1＋5d)<18，故－3<S9<21.(－3,21)(1)等差數(shù)列問題的基本思想是求解a1和d，可利用方程思想；(2)等差數(shù)列的性質(zhì)①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq；②Sm，S2m－Sm,S3m－S2m，…，仍成等差數(shù)列；思維升華③am－an＝(m－n)d?d＝

(m，n∈N*)；④

(A2n－1，B2n－1分別為{an}，{bn}的前2n－1項(xiàng)的和)．(3)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的問題可以利用函數(shù)的性質(zhì)或者轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的項(xiàng)，利用性質(zhì)解決．思維升華變式訓(xùn)練1(1)已知等差數(shù)列{an}中，a7＋a9＝16，S11＝

，則a12的值是(

)A．15 B．30 C．31 D．64解析因?yàn)閍8是a7，a9的等差中項(xiàng)，所以2a8＝a7＋a9＝16?a8＝8，再由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算公式可得所以a12＝a8＋4d＝15，故選A.答案A(2)在等差數(shù)列{an}中，a5<0，a6>0且a6>|a5|，Sn是數(shù)列的前n項(xiàng)的和，則下列說法正確的是(

)A．S1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6…均大于0B．S1，S2，…S5均小于0，S6，S7，…均大于0C．S1，S2，…S9均小于0，S10，S11…均大于0D．S1，S2，…S11均小于0，S12，S13…均大于0解析由題意可知a6＋a5>0，答案C例2

(1)(2014·安徽)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q＝______.熱點(diǎn)二等比數(shù)列思維啟迪

列方程求出d，代入q即可；解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則a3＝a1＋2d,a5＝a1＋4d,∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5),解得d＝－1，1思維啟迪

求出a1，q，代入化簡(jiǎn)．答案D(1){an}為等比數(shù)列，其性質(zhì)如下：①若m、n、r、s∈N*，且m＋n＝r＋s，則am·an＝ar·as；②an＝amqn－m；③Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列(q≠－1)．思維升華(2)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn＝①能“知三求二”；②注意討論公比q是否為1；③a1≠0.思維升華變式訓(xùn)練2

(1)已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列{an}滿足a4－2a＋3a8＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b2b8b11等于(

)A．1 B．2C．4 D．8D(2)在等比數(shù)列{an}中，a1＋an＝34，a2·an－1＝64，且前n項(xiàng)和Sn＝62，則項(xiàng)數(shù)n等于(

)A．4 B．5C．6 D．7解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a2an－1＝a1an＝64，又a1＋an＝34，解得a1＝2，an＝32或a1＝32，an＝2.又an＝a1qn－1，所以2×2n－1＝2n＝32，解得n＝5.綜上，項(xiàng)數(shù)n等于5，故選B.答案B例3已知等差數(shù)列{an}的公差為－1，且a2＋a7＋a12＝－6.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和Sn；熱點(diǎn)三等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用思維啟迪

利用方程思想求出a1，代入公式求出an和Sn；解由a2＋a7＋a12＝－6得a7＝－2，∴a1＝4，(2)將數(shù)列{an}的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來順序恰為等比數(shù)列{bn}的前3項(xiàng)，記{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若存在m∈N*，使對(duì)任意n∈N*，總有Sn<Tm＋λ恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．思維啟迪

將恒成立問題通過分離法轉(zhuǎn)化為最值．解由題意知b1＝4，b2＝2，b3＝1，設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，∴{Tm}為遞增數(shù)列，得4≤Tm<8.故(Sn)max＝S4＝S5＝10，若存在m∈N*，使對(duì)任意n∈N*總有Sn<Tm＋λ，則10<4＋λ，得λ>6.即實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(6，＋∞)．等差(比)數(shù)列的綜合問題的常見類型及解法(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題，常用“基本量法”求解，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便．(2)等差數(shù)列、等比數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等的交匯問題，求解時(shí)用等差(比)數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)、方程、不等式等問題求解即可．思維升華變式訓(xùn)練3已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)為a1，且

，an，Sn成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；證明

bn＝(log2a2n＋1)×(log2a2n＋3)＝log222n＋1－2×log222n＋3－2＝(2n－1)(2n＋1)，1.在等差(比)數(shù)列中，a1，d(q)，n，an，Sn五個(gè)量中知道其中任意三個(gè)，就可以求出其他兩個(gè)．解這類問題時(shí)，一般是轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)a1和公差d(公比q)這兩個(gè)基本量的有關(guān)運(yùn)算．2.等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用．但在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形．本講規(guī)律總結(jié)3．等差、等比數(shù)列的單調(diào)性(1)等差數(shù)列的單調(diào)性d>0?{an}為遞增數(shù)列，Sn有最小值．d<0?{an}為遞減數(shù)列，Sn有最大值．d＝0?{an}為常數(shù)列．(2)等比數(shù)列的單調(diào)性4.常用結(jié)論(1)若{an}，{bn}均是等差數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，則{man＋kbn}，{}仍為等差數(shù)列，其中m，k為常數(shù)．(2)若{an}，{bn}均是等比數(shù)列，則{can}(c≠0)，{|an|}，{an·bn}，{manbn}(m為常數(shù))，{a}，{}仍為等比數(shù)列．(3)公比不為1的等比數(shù)列，其相鄰兩項(xiàng)的差也依次成等比數(shù)列，且公比不變，即a2－a1，a3－a2，a4－a3，…，成等比數(shù)列，且公比為

＝q.(4)等比數(shù)列(q≠－1)中連續(xù)k項(xiàng)的和成等比數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，成等比數(shù)列，其公差為qk.等差數(shù)列中連續(xù)k項(xiàng)的和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，成等差數(shù)列，公差為k2d.5．易錯(cuò)提醒(1)應(yīng)用關(guān)系式an＝

時(shí)，一定要注意分n＝1，n≥2兩種情況，在求出結(jié)果后，看看這兩種情況能否整合在一起．(2)三個(gè)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列的充要條件是b＝

，但三個(gè)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的充要條件是b2＝ac.真題感悟押題精練真題與押題12真題感悟1.(2014·大綱全國(guó))等比數(shù)列{an}中，a4＝2，a5＝5，則數(shù)列{lgan}的前8項(xiàng)和等于(

)A.6

B.5

C.4

D.3解析數(shù)列{lgan}的前8項(xiàng)和S8＝lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4.C真題感悟212.(2014·北京)若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當(dāng)n＝________時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和最大.解析∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<－a8<0.∴數(shù)列的前8項(xiàng)和最大，即n＝8.8押題精練1231.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則下列一定成立的是(

)A.若a3>0，則a2013<0 B.若a4>0，則a2014<0C.若a3>0，則a2013>0 D.若a4>0，則a2014>0解析因?yàn)閍3＝a1q2，a2013＝a1q2012，而q2與q2012均為正數(shù)，若a3>0，則a1>0，所以a2013>0，故選C.C押題精練1232.已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列，bn＝

.若對(duì)任意的n∈N