內(nèi)蒙古赤峰重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（理）試題及參考答案

赤峰重點(diǎn)中學(xué)2021級(jí)高二下學(xué)期第一次月考理科數(shù)學(xué)試題一、單選題（共60分，每小題5分）1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)平面內(nèi)與z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．一個(gè)頻數(shù)分布表（樣本容量為30）不小心被損壞了一部分，若樣本中數(shù)據(jù)在［20，60）上的頻率為0.8，則估計(jì)樣本在［40，50），［50，60）內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)共為（）A．15 B．16 C．17 D．193．太陽能是一種可再生能源，光伏是太陽能光伏發(fā)電系統(tǒng)的簡稱，主要有分布式與集中式兩種方式.下面的圖表展示了近年來中國光伏市場的發(fā)展情況，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．2013～2020年，年光伏發(fā)電量與年份成正相關(guān)B．2013～2020年，年光伏新增裝機(jī)規(guī)模同比（與上年相比）增幅逐年遞減C．2013～2020年，年新增裝機(jī)規(guī)模中，分布式的平均值小于集中式的平均值D．2013～2020年，每年光伏發(fā)電量占全國發(fā)電總量的比重與年份成正相關(guān)4．加斯帕爾·蒙日（圖1）是18～19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”（圖2）．則橢圓C：的蒙日?qǐng)A的半徑為（）A．3 B．4 C．5 D．65．據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)這組樣本數(shù)據(jù)中有兩個(gè)樣本點(diǎn)（1.2，0.5）和（4.8，7.5）誤差較大，去除后重新求得的經(jīng)驗(yàn)回歸直線l的斜率為1.1，則（）A．去除兩個(gè)誤差較大的樣本點(diǎn)后，y的估計(jì)值增加速度變快B．去除兩個(gè)誤差較大的樣本點(diǎn)后，重新求得的回歸方程對(duì)應(yīng)直線一定過點(diǎn)（3，5）C．去除兩個(gè)誤差較大的樣本點(diǎn)后，重新求得的回歸方程為D．去除兩個(gè)誤差較大的樣本點(diǎn)后，相應(yīng)于樣本點(diǎn)（2，2.7）的殘差為0.16．在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績進(jìn)行預(yù)測．甲：我的成績比丙高，乙：我的成績比丙高，丙：乙的成績比我和甲的都高，成績公布后，三人成績互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測正確，那么三人按成績由高到低的次序?yàn)椋ǎ〢．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙7．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必須站在中間兩個(gè)位置之一，且乙、丙2人相鄰，則不同的排隊(duì)方法共有（）A．24種 B．48種 C．72種 D．96種8．3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，不同的分配方法共有（）A．90種 B．180種 C．270種 D．540種9．如圖，過拋物線的焦點(diǎn)為F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若，且，則（）A． B． C．18 D．2510．若展開式中的常數(shù)項(xiàng)是60，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．±3 B．±2 C．3 D．211．已知點(diǎn)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線左支上的任意一點(diǎn)，若的最小值為9a，則雙曲線的離心率為（）A．2 B．5 C．3 D．2或512．已知實(shí)數(shù)，，，且，則必有（）A． B． C． D．二、填空題（共20分，每小題5分）13．某中學(xué)高一年級(jí)有學(xué)生700人，高二年級(jí)有學(xué)生600人，高三年級(jí)有學(xué)生500人，現(xiàn)在要用按比例分層隨機(jī)抽樣的方法從三個(gè)年級(jí)中抽取一部分人參加6×6方隊(duì)表演，則高一年級(jí)被抽取的人數(shù)為______．14．某校甲、乙兩個(gè)班級(jí)各有5名編號(hào)為1，2，3，4，5的學(xué)生進(jìn)行投籃練習(xí)，每人投10次，投中的次數(shù)如表所示，若以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個(gè)為，則______．學(xué)號(hào)1號(hào)2號(hào)3號(hào)4號(hào)5號(hào)甲班67787乙班6767915．如圖，在正方體中，E是棱BC的中點(diǎn)，G是棱的中點(diǎn)，則異面直線GB與所成的角為______．16．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為______．三、解答題（共70分，其中第17題10分，18-22題每題12分）17．一種電路控制器在出廠時(shí)每四件一等品裝成一箱，工人在裝箱時(shí)不小心把兩件二等品和兩件一等品裝入了一箱，為找出該箱中的二等品，需要對(duì)該箱中的產(chǎn)品逐一取出進(jìn)行測試．（1）求前兩次取出的都是二等品的概率；（2）求第二次取出的是二等品的概率．18．為了滿足同學(xué)們多元化的需求，某學(xué)校決定每周組織一次社團(tuán)活動(dòng)，活動(dòng)內(nèi)容豐富多彩，有書法、象棋、籃球、舞蹈、古風(fēng)漢服走秀、古箏表演等.同學(xué)們可以根據(jù)自己的興趣選擇項(xiàng)目參加，為了了解學(xué)生對(duì)該活動(dòng)的喜愛情況，學(xué)校采用給活動(dòng)打分的方式（分?jǐn)?shù)為整數(shù)，滿分100分），在全校學(xué)生中隨機(jī)選取1200名同學(xué)進(jìn)行打分，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)據(jù)均在［40，100］內(nèi)，現(xiàn)將這些數(shù)據(jù)分成6組并繪制出如圖3所示的樣本頻率分布直方圖.（1）請(qǐng)將樣本頻率分布直方圖補(bǔ)充完整，并求出樣本的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）從這1200名同學(xué)中隨機(jī)抽取，經(jīng)統(tǒng)計(jì)其中有男同學(xué)70人，其中40人打分在［70，100］，女同學(xué)中20人打分在［70，100］，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并在犯錯(cuò)概率不超過0.100的條件下，能否認(rèn)為對(duì)該活動(dòng)的喜愛程度與性別有關(guān)（分?jǐn)?shù)在［70，100］內(nèi)認(rèn)為喜歡該活動(dòng)）？喜歡不喜歡合計(jì)男同學(xué)女同學(xué)合計(jì)附：，．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82819．某新能源汽車公司從2018年到2022年汽車年銷售量y（單位：萬輛）的散點(diǎn)圖如下：記年份代碼為（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，模型①與模型②，哪一個(gè)更適宜作為年銷售量y關(guān)于年份代碼x的回歸方程？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，建立y關(guān)于x的回歸方程；參考數(shù)據(jù)：34559796572805，20．如圖，四棱錐中中，底面ABCD是直角梯形，，∠DAB=60°，，側(cè)面底面ABCD，且為等腰直角三角形，∠APD=90°．（1）求證：；（2）求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值．21．已知橢圓：E：的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點(diǎn)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N，當(dāng)時(shí)，求k的值．22．已知函數(shù)．（1）若，試判斷的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（2）若，恒成立．①求a的取值范圍：②設(shè)，［x］表示不超過x的最大整數(shù)．求．（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.69）參考答案1-5AABAC6-10DCDBB11-12BA1．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則可得，即可得到答案．【詳解】因?yàn)?，所以，所以?fù)平面內(nèi)與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故選：A2．A【解析】由題可先求樣本在，內(nèi)的頻率，再根據(jù)總樣本容量為30求解即可．【詳解】由題易得在，內(nèi)的頻率為.故樣本在，內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)共為．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率與頻數(shù)的問題.屬于基礎(chǔ)題型．3．B【分析】觀察圖中數(shù)據(jù)，逐一判斷選項(xiàng)，可得結(jié)果．【詳解】對(duì)于A，由圖知，2013～2020年，隨著年份的增加，光伏發(fā)電量增加，年光伏發(fā)電量與年份成正相關(guān)，故A正確；對(duì)于B，由圖知，2013～2020年，年光伏新增裝機(jī)規(guī)模同比（與上年相比）增幅不是逐年遞減，前幾年先遞增，再遞減，故B不正確；對(duì)于C，由圖知，每一年的新增裝機(jī)規(guī)模中，集中式的值都比分布式的值大，所以分布式的平均值小于集中式的平均值，故C正確；對(duì)于D，由圖知，2013～2020年，每年光伏發(fā)電量占全國發(fā)電總量的比重隨年份逐年增加，所以每年光伏發(fā)電量占全國發(fā)電總量的比重與年份成正相關(guān)，故D正確．故選：B4．A【答案】A【分析】由蒙日?qǐng)A的定義，確定出圓上的一點(diǎn)即可求出圓的半徑．【詳解】由蒙日?qǐng)A的定義，可知橢圓的兩條切線，的交點(diǎn)在圓上，所以．故選：A5．C【分析】根據(jù)直線l的斜率大小判斷A；求出判斷B；再求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程判斷C；計(jì)算殘差判斷D作答．【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槿コ齼蓚€(gè)誤差較大的樣本點(diǎn)后，經(jīng)驗(yàn)回歸直線l的斜率變小，則y的估計(jì)值增加速度變慢，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由及得：，因?yàn)槿コ膬蓚€(gè)樣本點(diǎn)和，并且，因此去除兩個(gè)樣本點(diǎn)后，樣本的中心點(diǎn)仍為，因此重新求得的回歸方程對(duì)應(yīng)直線一定過點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)去除后重新求得的經(jīng)驗(yàn)回歸直線的方程為，由選項(xiàng)B知，，解得，所以重新求得的回歸方程為，C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，，當(dāng)時(shí)，，則，因此去除兩個(gè)誤差較大的樣本點(diǎn)后，相應(yīng)于樣本點(diǎn)的殘差為，D錯(cuò)誤．故選：C6．D【分析】由丙的成績最低、最高進(jìn)行推理可得．【詳解】如果丙的成績最低，則甲乙預(yù)測都正確，不合題意，若丙成績最高，三人預(yù)測都錯(cuò)誤，也不合題意，因此丙成績是第二，只有D可選，事實(shí)上，這時(shí)丙預(yù)測是錯(cuò)誤的，甲正確，則乙錯(cuò)誤．故選：D．7．C【分析】先安排甲，可從中間兩個(gè)位置中任選一個(gè)，再安排乙丙2人，可分為兩類：安排在甲有2個(gè)位置的一側(cè)；安排在甲有3個(gè)位置的一側(cè)，最后安排其余3人，綜上可得答案．【詳解】先安排甲，可從中間兩個(gè)位置中任選一個(gè)安排有種方法，而甲站好后一邊有2個(gè)位置，另一邊有3個(gè)位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相鄰，可分為兩類：安排在甲有2個(gè)位置的一側(cè)有種方法；安排在甲有3個(gè)位置的一側(cè)有種方法，最后安排其余3人有種方法，綜上，不同的排隊(duì)方法有：種．故選：C.8．D【詳解】分兩個(gè)步驟：先分配醫(yī)生有種方法，再分配護(hù)士有，由分步計(jì)數(shù)原理可得：．應(yīng)選答案：D．【點(diǎn)睛】本題中旨在考查排列數(shù)組合數(shù)及兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合運(yùn)用．解答本題的關(guān)鍵是先分步驟分別考慮醫(yī)生、護(hù)士的分配，再運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算．但在第二個(gè)步驟中的分配護(hù)士時(shí)，可能會(huì)因?yàn)楹鲆暺骄峙涞膯栴}而忘記除以而致錯(cuò)，解答這類平均分組時(shí)，應(yīng)引起足夠的注意．9．B【分析】作出輔助線，求出，由三角形相似得到，進(jìn)而求出，得到拋物線方程，設(shè)，，直線，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之積，由焦半徑得到，進(jìn)而求出，從而由焦點(diǎn)弦長公式求出答案．【詳解】設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)M，過A作，垂足為D，由拋物線定義知，，由得，，因?yàn)?，所以，即，得，所以拋物線方程為．設(shè)，，則，所以．設(shè)直線，聯(lián)立，得到，則，∴，∴．故選：B．10．B【解析】由的通項(xiàng)公式化簡，結(jié)合分析得到常數(shù)項(xiàng)的公式，即可求參數(shù)值【詳解】由的通項(xiàng)公式為，結(jié)合知：當(dāng)為常數(shù)項(xiàng)時(shí)，有，即（舍去）當(dāng)為常數(shù)項(xiàng)時(shí)，有，即又∵展開式的常數(shù)項(xiàng)為60∴，解得故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，已知常數(shù)項(xiàng)的值，保證通項(xiàng)公式中x的指數(shù)為0且所求的指數(shù)r為自然數(shù)，即可求得參數(shù)值11．B【分析】首先利用雙曲線的定義求出關(guān)系式，進(jìn)一步利用的最小值為9a，確定m＝a或4a，此時(shí)c＝2a或5a，即可求出雙曲線的離心率．【詳解】設(shè)，根據(jù)雙曲線定義：，所以，因?yàn)榈淖钚≈禐椋裕ㄌ崾荆焊鶕?jù)“對(duì)勾函數(shù)”的特征）（不合題意舍去）或，此時(shí)，所以雙曲線的離心率為5．故選B【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為圓錐曲線的離心率的方程，得到a，c的關(guān)系式是解得的關(guān)鍵，對(duì)于雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式），即可得e（e的取值范圍）．12．A【分析】設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)區(qū)間，取，從而可判斷選項(xiàng)的正誤，得出答案．【詳解】令函數(shù)，則．所以單調(diào)遞增，由，可得在上恒成立，在上恒成立．取，則當(dāng)時(shí)，，即，；當(dāng)時(shí)，，即，．故B，D不一定成立．又當(dāng)時(shí)，，所以，由換底公式得；當(dāng)時(shí)，.所以，得.所以選項(xiàng)A正確故選：A13．14【分析】根據(jù)分層抽樣的定義即可求解.【詳解】高一年級(jí)被抽取的人數(shù)為．故答案為：14．14．【解析】由題意可得甲班的數(shù)據(jù)波動(dòng)較小，計(jì)算甲班方差即可得解．【詳解】由數(shù)據(jù)表可得出乙班的數(shù)據(jù)波動(dòng)性較大，則其方差較大，甲班的數(shù)據(jù)波動(dòng)性較小，其方差較小．則甲班的方差為所求方差，其平均值為7，方差．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了方差的概念和計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】直接建立空間直角坐標(biāo)系，由兩向量的夾角公式，可得兩條異面直線所成角的余弦值?！驹斀狻吭O(shè)正方體棱長為，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，，，，，則，，設(shè)兩向量夾角為，則=0，即，所以直線與直線的夾角為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．【分析】把已知等式變形為，利用函數(shù)（）的單調(diào)性得的關(guān)系，這樣把轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求得最大值．【詳解】由得，所以，，因?yàn)?，所以，設(shè)（），則，遞增，所以由得，所以，，設(shè)，則，所以時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值．解題關(guān)鍵是已知等式進(jìn)行同構(gòu)變形：，然后利用函數(shù)的單調(diào)性得出變量間的關(guān)系．考查了學(xué)生的邏輯思維能力，屬于較難題．17．（1）（2）【分析】（1）四件產(chǎn)品逐一取出排成一列共有種方法，前兩次取出的產(chǎn)品都是二等品的共有種方法，然后利用古典概型的概率公式解之即可；（2）四件產(chǎn)品逐一取出排成一列共有種方法，第二次取出的產(chǎn)品是二等品的共有種方法，然后利用古典概型的概率公式解之即可；（1）解：四件產(chǎn)品逐一取出排成一列共有種方法，前兩次取出的產(chǎn)品都是二等品的共有種方法，所以前兩次取出的產(chǎn)品都是二等品的概率為；（2）解：四件產(chǎn)品逐一取出排成一列共有種方法，第二次取出的產(chǎn)品是二等品的共有種方法，所以第二次取出的產(chǎn)品是二等品的概率為；18．（1）頻率分布直方圖見詳解，；（2）列聯(lián)表見詳解，在犯錯(cuò)概率不超過0.100的條件下能認(rèn)為喜愛程度與性別有關(guān)．【分析】（1）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)以及平均數(shù)的計(jì)算公式求解．（2）利用已知的數(shù)據(jù)以及公式計(jì)算求解．【詳解】（1）各組數(shù)據(jù)頻率之和為1，故[60，70]組頻率，所以縱坐標(biāo)為.樣本頻率分步直方圖如下圖：樣本平均數(shù).（2）喜歡不喜歡合計(jì)男同學(xué)403070女同學(xué)203050合計(jì)6060120，故在犯錯(cuò)概率不超過0.100的條件下能認(rèn)為喜愛程度與性別有關(guān)．19．（1）（2）【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖及一次函數(shù)與二次函數(shù)特點(diǎn)得出結(jié)論；（2）令，換元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的線性回歸方程，根據(jù)公式求出系數(shù)，得出回歸直線方程，再換回即可．【詳解】（1）由散點(diǎn)圖可知：散點(diǎn)圖與一次函數(shù)偏差較大，與二次函數(shù)較接近，故模型②更適合．（2）令，則，，，對(duì)于回歸方程，可得：，，故回歸方程為，即20．（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)、、，根據(jù)和是正三角形，證明平面即可．（Ⅱ）根據(jù)側(cè)面底面，，易得直線、、兩兩互相垂直，以G為原點(diǎn)，直線、、所在直線為x軸、y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量，再由平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，由求解．【詳解】（Ⅰ）如圖所示：取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)、、．，，且，是正三角形，，又，平面．（Ⅱ）∵側(cè)面底面，又，底面．．∴直線、、兩兩互相垂直，故以G為原點(diǎn)，直線、、所在直線為x軸、y軸和z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則可求得，，，，．．．設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則且．解得取，則．又∵平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求二面角最常用的方法：1、幾何法：二面角的大小用它的平面角來度量．平面角的作法常見的有①定義法；②垂面法．注意利用等腰、等邊三角形的性質(zhì)．向量法：分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．21．（1）（2）【分析】（1）依題意可得，即可求出，從而求出橢圓方程；（2