必修5第1章解三角形

【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

第一正弦定【學(xué)習(xí)目標(biāo)caB【預(yù)學(xué)評(píng)價(jià)caBRtABCC

，則 , C對(duì)于任意三角形，這個(gè)結(jié)論還成立嗎？由BCD45,所以BD

2BC5(31) （課堂探究證得結(jié)論成立，如何證明C為銳角、鈍角時(shí)結(jié)論也成立？在ABCBCBAAC．設(shè)CAADBCD（圖BCADBCADBAADAC

的夾角為 ，BAADcos(90B)ACADBAADcos(90B)ACAD

C當(dāng)CC

csinBbsinC0，即

sin

sin

．同理可得asin

sin

思考:有無(wú)其他證法(P119探究拓展)1正弦定理內(nèi)容及變式【經(jīng)典范例一1已知在ABC中，c10A45,C30a解B

105,acsinA10sin4510

2已知在ABCb3,B60c1a,A解由sinCcsinBsin601及c3 3,A90,A90,a【隨堂練在ABC中，A135,B15,c1,則此三角形的最大邊 22

6,則C已知ABC中,a4,b43,A30，則B 【經(jīng)典范例二例 已知在△ABC中，c

6,A45

a2b，B解由sinCcsinA6sin45

及c 所以C當(dāng)C60時(shí)B75,b3當(dāng)C120時(shí)，B15，b3,C60,a2(例4在ABC中，,C60,a2( 2(31)(2所以由正弦定理得basinB 22sin23 1absinC13

4

3)63【隨堂練習(xí)二3

答案在ABC中，若b2csinB,則C30或【分層訓(xùn)練在ABC中，A30B120a4,則b33

2,b2B45,則AB60,則bB60,則b

2在ABC中，已知b3c2,sinC

,則B3在ABC中，已知A75B45,b4,則c66答案：1:3sinAasinB2sin601及a3解 3得A30,所以C90,ca sin

sin 已知ABC中bsinBcsinC,且sinAsinBsinC，試判斷ABC的形狀解由正弦定理abc sin sin sina2RsinA,b2RsinB,c2Rsin所以2RsinBsinB2RsinCsin即sin2Bsin2CB,C(0,)從而sinBsin又ABC 所以B 則sinAsin(BCsin2B 所以cosBcosC 2,即BC,A 設(shè)ABCRA,B,Cs證明

ABCs已知ABC，滿足(a2b2sin(AB)a2b2sin(AB，試判斷ABC (ab)sin(AB)(ab)sin(

a[sin(AB)sin(AB)]b[sin(AB)sin(A

cosAsinBbsinAcos

a2RsinA,b2Rsin (2RsinA)cosAsinB2RsinB)sinAcos sin2Asin又2A,2B(0,

A=B

AB【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

第2 正弦定【學(xué)習(xí)目標(biāo)【預(yù)學(xué)評(píng)價(jià)正弦定理a=b=c caBsin sin sincaB (1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2Rsin(2)sinA=a,sinB=b,sinC=c (3)a:b:c=sinA:sinB:sinC 在ABC中，A>BsinAsinBa(2)(3)三角形的面積：

1absinC1bcsinA1acsin 一般地，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解斜三角形，有兩解、一解或無(wú)解（見(jiàn)圖示absin解的個(gè)數(shù) bsinAa解的個(gè)數(shù) 1條件：absinA 【經(jīng)典范例一1（P94）ABCabc，試判斷三角形的形狀 解令aksinaksinA,bksinB,cksinsinAsinBsincos tanAtanBtan又ABC(0π),所以AB例

P10例5在ABC

是BACABBD 設(shè)BADBDA,則CADCDA180.在ABD和ACD中分別運(yùn)用正弦定理，ABsin AC又 sin,所ABAC 即ABBD 【隨堂練在ABCa

3,A60,那么ABC的外接圓的周長(zhǎng) 在ABC中,ccosC,則ABC的形狀為 腰在ABCA60a

，則 ab sinAsinBsin3（

P93）AB的仰角為35的斜坡前進(jìn)1000D處，又測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?5分析BCAB，為此考慮16065 過(guò)點(diǎn)D作DE//AC交BC于E,因?yàn)镈AC20,所16065于是ADB20152015所以ABD在ABD2ABADsinADB1000sin1352sin10002sin3510002sin35

sin答山的高度約為4（1）已知b11,c12,B60（2）已知a7,b3,A110（3）已知b6,c9,B45【隨堂練習(xí)二 ABC中，tanAsinBtanBsinA，那么ABC一定是 2ABCAlgblg1lgsinA2c

，則ABC形狀為_(kāi) 【分層訓(xùn)練 在ABC中，若1cosAa,則ABC的形狀是1cosB 在ABCsinA2sinBcosC,sin2Asin2Bsin2c，試判斷ABC的形狀答案：等腰直角三角形在ABC中，已知sinAsinBsinC5:1213，則這個(gè)三角形的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑

22x22

C所以B90C所以B90因?yàn)镃DCADCBADCBA2A

,3BDBD

sin(2A90

sin

cos23所以3(2sin2A1)sinA,23sin2AsinA 3(2sinA3)(3sinA1)所以sinA 2在ABC中,ABCDAB 證明B 如圖，船原在A處，向東行5km后至C處，B處為島。作BDAC,交AC延長(zhǎng)線于D。,ABC30,ABC30 ,sin ,sin解得BC

2由BCD45所以BD所以有觸礁【師生互動(dòng)

2BC5(31) 【知識(shí)結(jié)構(gòu)

第3余弦定理 【學(xué)習(xí)目標(biāo)【預(yù)學(xué)評(píng)價(jià)a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC.

cosA

b2c2a2

cosB

a2c2b2

cosC

a2b2c（１）（２）【經(jīng)典范例一1在ABC（1）已知b3c1A600，求a（2）已知a4b5c6A（精確到0.10解（1）a2b2c22bccosA3212231cos60077所 a 7（2）由余弦定理，得cosAb2c2a25262420.75A41.40

25（１）（２）2AB兩地之間隔著一個(gè)水塘，現(xiàn)選擇另一點(diǎn)C，測(cè)得CA182m,CBACB630，求A,B兩地之間的距離（精確到1m AB2CA2CB22ACCBcos

ABAB兩地之間的距離約為168m例3用余弦定理證明：在ABC中，當(dāng)Ca2b2c2；當(dāng)Ca2b2c2證當(dāng)CcosC0，由余弦定理，得c2a2b22abcosCa2b2即a2b2c2同理可證，當(dāng)Ca2b2【隨堂練】（１）已知Ａ＝６０°，ｂ＝４，ｃ＝７，（２）a＝７，ｂ＝５，ｃ＝３，求Ａ．（1）a（2）3 ３．a(chǎn)2b2abc2C3４．兩游艇自某地同時(shí)出發(fā)，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速度向正北行駛，另一艇以4.71km【經(jīng)典范例二例4在△ABCBCaACbabx223x202cosAB1AB求△ABC

cosCcos[A2

cosAB1C23ab3因?yàn)閍b是方程

23x20的兩根，所以

abAB2b2a22ab

ab2ab10AB

1absinC 5在△ABCA、B、C所對(duì)的邊分別為abca2c

sinABa2b2c22bccosA，b2a2c22accosa2a2c2

acosBbcosAc又由正弦定理得asinA bsinB a2b2sinAcosBcosAsinBsinA【隨堂練習(xí)二

sin

sin在△ABC中，若b10c6

，則此三角形 解cosCa2b2c2

3a2100 2a2103a1250a532△ABC中，若a2c2bcb2，則 3【分層訓(xùn)練在△ABC中，已知b

2，c1，B=450，則a 66 2在△ABC

，則 3在△ABC中，若a=5,b=15,A=300,則邊 5答案：25或5。提示：由余弦定理，得a2=c2+b2-2cb·cosA,代入整理得c2-5∴c=25或5在△ABC中，已知A=450，B=600，c=1，則

332

=75

asin450

，sin

3。2在△ABC中，已知a=5,b=12,c=13.最大內(nèi)角 度答案：90.cosCb2c2a2

5212213225在△ABC中，已知b=4,c=8,B=300.則

（1）sinCcsinB8sin300=1C=9003 33A=1800-900-300=600。又由正弦定理，得a=bsinA=4sin600 3sin在△ABCa=3，c=33，A=300C

sin

33sin

，sinC=3.∴C=120C=602C=120時(shí)，B=1800-1200-300=300，b2=32+（33）2-2×3×33cos120C=60C=120b=3C=60b=6在ABCacosB=bcosA,試判斷ABC⑵求證cos2Acos2B11 解:(1a=2RsinA,b=2RsinBacosB=bcosA∴sinAcosB=sinBcosAsinAcosBcosAsinB=0，sin(A-B)=0 12sin2

12sin2

1 1

sin2

sin2B(2)證明：左邊

a2b22 由正弦定sin2Asin2Bcos2Acos2B1

成立。已知

sincos

cos

,試判斷ABCa、bx2－23x+2=0A、B3=0，求角Cc32解：由2sin(A+B)－3=0，得 32∵△ABC為銳角三角形， 又∵a、bx2－23x+2=0∴a+b=23a·b=2,∴c2=a2+b2－2a·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6,c=6c4cosCcosB

a、b、c2解：(1)cosC=cos2A=2cos2A-1=8

；747

, 339 cosBcosB2

2

ac由正弦定理得 ac2cosA3.

sin2

sin 2

再由余弦定理知b=a+c-2ac·cosB=4+6【師生互動(dòng)

【知識(shí)結(jié)構(gòu)

第4余弦定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)余弦定理的教學(xué)要達(dá)到“記熟”和“運(yùn)算正確”這兩個(gè)目標(biāo)【預(yù)學(xué)評(píng)價(jià)a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC.

cosA

b2c2a2

cosB

a2c2b2

cosC

a2b2c在△ABC（1）已知a24,b13,C1800c,（2）已知b2c10A420a,B已知a7b【經(jīng)典范例一

3,c

131.在長(zhǎng)江某渡口處，江水以5kmhA碼頭出發(fā)，預(yù)定要在0.1hBANBA碼頭的北偏東150，精確到0.1kmh）？【解ADACACAB為對(duì)角線ABCD，其中AB1.2(km),AC50.10.5(km)在ABCBC21.220.5221.20.5cos(900150所ADBC1.17(km)因此，船的航行速度為1.170.111.7(km/h在

sinABCACsinBAC0.5sin7500.4128所以

所 答：渡船應(yīng)按北偏西9.40的方向，并以11.7kmh2在ABC中，已知sinA2sinBcosCsin a2b2【解】由正弦定理及余弦定理a2a2b2

sin

,cosC 所 b

b2122(AB2AC2)BC因?yàn)閎0c0，所以bc122(AB2AC2)BCAM 證設(shè)AMB，則AMC1800．在ABM中，由余弦AB2AM2BM22AMBMcos在ACMAC2AM2MC22AMMCcos(1800為cos(1800)cos,BMMC1BC2AB2AC22AM21BC212122(AB2AC2)BC

AM 【隨堂練△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bcsinA＝2sinBcosC△ABC△ABC2a＝b＋csin2A＝sinBcosC，判斷△ABC在△ＡＢＣ中，如果sinA:sinB:sinC＝２∶３∶４，那么cosＣ等于 答案：14【經(jīng)典范例二4在△ABCa3b3c3c2，且sinAsinB3，請(qǐng)判斷三角形的形狀ab a3b3c3c2a3b3c3ab)c2c3即(ab)(a2abb2c20abab0，得a2abb2c20c2a2b2cosCa2b2c21,C 而由sinAsinB3得1[cosABcosAB 1[cosCcos(AB3cos(AB)1而ABAB0AB 【隨堂練習(xí)二如圖，長(zhǎng)７ｍ1.5ｍ，6ｍ精確到０.１°．cos在△ABC中，已知a＝２，ｂ＝３，Ｃ＝６０°，試證明此三角形為銳角三角形【分層訓(xùn)練在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面積為3

absinAsinBsin

等 23a,b,c是△ABC的三邊，且B=1200,則a2+ac+c2-b2的值 在△ABC中，若a=50，b=256,A=45°則 25 答案：60°或120°。提示：由正弦定理 sin sin 120ABCasinA=bsinBasinB=bsinAacosB=bcosAa b .其中恒成立的等式序號(hào)為 sin sinBsin答案：②④。提示：①不符合正弦定理；②兩邊同除以sinAsinB即為正弦定理；③A=900,便知等式不成立；④正弦定理結(jié)合等比定理可得ABCabc分別為三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊設(shè)向量pac,b,qba,ca，若向量p//q，則角C的大小 答案：．3pp/a2b2 得(a+c)(c-a)=b(b-a),即a2+b2-c2=ab.由余弦定理得cosC

,C 在△ABC中，若BC=5，CA=7，AB=8，則△ABC的最大角與最小角之和

5282

1258 在△ABC中，設(shè)CBaACb，且｜a｜＝２，｜b｜＝3a·b＝－3AB的長(zhǎng)33AB在△ABCc=10,

a==a、b△ABCa3

=

=

=

cosB

∴sin2A=sin2Ba≠b,2A=π－2B,2

ABC b

ab=10a

=3，解得a=6,b=8,∴內(nèi)切圓的半徑為r= = 且m與n共線By2sin2CcosA3C,求y的最大值及此時(shí)∠C2解（I）∵m與n共線，∴(a-b)(a+b)-c(a-∴

ac,cosB

a2c2

12∵0BπBπ ∵BπAC2π y2sin2CcosA3C1cos2Ccos(π 1cos2C1cos2C3sin2C11cos2C3sin2C1sin(2C ∴當(dāng)2Cππ，即Cπ時(shí)，y2 【師生互動(dòng)

第7 題在△ABC中，a2b2c2bc，則A等 3答案3在△ABC答案:π

a=2bsinA,則B 在△ABC中，B30,AB23,AC2，則△ABC的面積

3在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，則cosC的值 3答案4在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，則ABC的形狀 在△ABCC=3Bb

答案ABCπ,C3B，所以Aπ4B0，所以0sin2B2因?yàn)閏sinCsin3B34sin2B，所以134sin2B3，故1c 31ABC3

，求 a2b .sinA2sinB3sin2設(shè)2a1a,2a1為鈍角三角形的三邊，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：因?yàn)?a1a,2a1是三角形的三邊，2a1所以a2a1

a1，此時(shí)2a12要使2a1a,2a1a2a1)2a1a設(shè)最長(zhǎng)邊2a1所對(duì)的角為a2(2a1)2(2a則 2a(2a所以a的取值范圍是2a

a(a8)

01a2解題策略：本題實(shí)質(zhì)上是求2a1a,2a1能構(gòu)成鈍角三角形三邊的充要條件，除了要3在△ABC中，BC=a，AC=b，a,bx223x20（2）A（3）（1）cosCcos[(A+Bcos(A+B2

∴C=33ab所以AB2=AC2+BC22AC?BC?cosC 即（3）S△ABC 2【隨堂練 ABCA、B、Ca、b、ca、b、cc2a，則cosB答案:4在△ABCa＝3，b＝2，B＝45°A、C2解: 222 226在ABC中，已知a23，c 6

2，B=60°，b6（1）因?yàn)閎2a2c22accos62326

22223

2cos452所以b2AcosAb2c2a21A=23 23226解法二：因?yàn)閟inAasinB sin226bac0°A90°A=

4在△ABCA，B，Ca，b，c，且bcosC3acosBccoscosB2BABC2，且b2

a和c的值（I）則2RsinBcosC6RsinAcosB2RsinCcos故sinBcosC3sinAcosBsinCcosB可得sinBcosCsinCcosB3sinAcos即sinBC3sinAcosB,可得sinA3sinAcosB.又sinA因此cosB13又cosB1故ac6,由b2a2c22accosB,可得a2c212所以(ac)20,即a所以ac 5已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0A、B、解：sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0，sinB(sinA－cosA)＝0因?yàn)锽∈(0,π),又因?yàn)?所以cosA＝sinA，由A∈(0,π)，知A＝π從而43π，由sinB＋cos2C＝0sinB＋cos23π-B＝0 cos3π-2B＝cos2π-π2B＝cosπ2B sinB－sin2B＝0sinB－2sinBcosB＝0cosB＝1，B＝πC＝5所以A=πBπ，C5

1：已知△ABC22sin2Asin2CabsinB，△ABC22（1）（2）求△ABC面積的最大值（1）由22（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB得22

c2=（a－b）

4R2 R=2，∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.∴cosC2（2）S=1absinC=13ab=23sinAsinB=23 =23sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+3=3sin2A－3cos2A+3=3sin（2A－30°）+ 2A=120°A=60°時(shí)，Smax332在△ABC中，已知AB=1，C=30°，當(dāng)B .時(shí)，BC的長(zhǎng)取得在銳角△ABC中，BC=1,B=2A,則AC的取值范圍 2，3△ABC中，已知2a=b+c，sin2A=sinBsinC，則△ABC的形狀為 3在△ABC中，已知∠A=60°，AB:AC=8:5，面積為10 3在△ABC中,a＝7,b＝8,cosC13,則最大內(nèi)角的余弦值為答案:7在ABC中,A60,AC3,面積為33,那么BC的長(zhǎng)度 277△ABC中，A＝60°，b＝1，c＝4R＝答案:393ABCa2b3c4，則2bccosA2cacosBcosC ABCAPBC

3，AP

5答案5在△ABC中,A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且a

BC2

,△ABC面積為3求證:sinAcos2C (2)求邊b的長(zhǎng)解(1)證明:BCπAπBCπ 所以sinAsinπ2Ccos2C由正弦定理得ab所以 b3sin3

sin

cos

cos1absinC2

所以bsinC3解①②得tan2C 33所以Cπb33 sincos

BsinABCa，b，c所對(duì)的角C（Ⅱ）sinAsinCsinB成等比數(shù)列,且CACB18,c的值（Ⅰ）

n(cosB,sinB),

即sinC=sin2C所以cosC2C為三角形的內(nèi)角 所以C（Ⅱ）sinA,sinB,sinC成等比數(shù)列sin2C=sinBsinA所以c2又,CACB18所以abcosC所以ab 故c2 ∴ca、b、c是△ABCx的方程ax22c2b2xb0(ac4，△ABCSa、b的值

3,c（Ⅰ）xx為方程ax22c2b2xb0 2c22c2則x1x2 x1x2 4(c2b2 所以(x1x2

(x1x2)4x1x2 aa2b2c2a2b2c2又cosC所以cosC2

所以C3S1absinC103所以ab 由余弦定理c2a2b22abcosc2(ab)22ab(1cos所以72ab)224012ab【師生互動(dòng)

第8 在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，則ABC的形狀 3xkm15003km，結(jié)果它離出發(fā)點(diǎn)恰好kmx等于33答案：333在△ABC2cosBsinA=sinC，則△ABC的形狀一定是3在ABCA3答案：13

，b

ab sinAsinBsin甲、乙兩樓相距20m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?00300，則甲、乙兩樓的高分別 3m4031ABCsinA＝2sinBcosCsin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷△ABC的形sin(B－C)＝0sin2A＝sin2B＋sin2CABC1：在△ABC中，sinAsinBsinC，判斷這個(gè)三角形的形狀a b ba2-b2ca2-c2bcbc)）.c2a2b2a2b2 所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.a2=b2－bc+c2+bc.a2=b2+c2.所以△ABC是△a2=（b+c，代入1cos2A－1cos2B=sinBsin（A+B）1 sin（A+B）sin（A－B）=sinBsin（A+BA、B、C【隨堂練32求sin2BCcos2A2若a3bc（1）因?yàn)閏osA1，故sin2BCcos2A11cosBC2cos2A =11cosA2cos2A1=1112 （2）因?yàn)閎2c2a2cosA 所以2bcb2c2a22bc3a3，bc9，當(dāng)且僅當(dāng)bc3bc 故bc94在ABC中sin2Ac狀

（a、b、cA、B、C的對(duì)應(yīng)邊，則ABCABCa(bcosBccosCb2c2cosAABC的形狀.例 偏南cos

300kmP20km/ 45°的方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)60km10km/h的速度不斷增加，t(h)Q,此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域10t+60(km)tO受到臺(tái)風(fēng)的侵襲,則OQ10t 5故OQ2202t230029600t10t即t236t288 解得12t答：1212變式訓(xùn)練2：如圖所示,海島A周圍38海里內(nèi)有暗礁，一艘船向方向航行，在B處測(cè)得島A在船的南偏東30°方向上，船航行30海里后，在C處測(cè)得島A在船的南偏東 解：由題意得，在△ABC中，BC=30，B=30ACB所以A15BC30

sinsin

sinABCACsin45°=60cos15°sin45所以船繼續(xù)向南航行無(wú)觸礁5O2，A為直徑延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，OA=2，B為半圓上任意一ABABCBOACB面積最解：設(shè)AOB，在△AOB=122221OACBS=S△AOB+S△ABC1OAOBsin2

4121sin354cos sin

3cos532sinπ5 因?yàn)?π，所以當(dāng)ππ，5π，即AOB5π時(shí) OACB變式訓(xùn)練4：如圖所示，某海島上一觀察哨A上午11時(shí)測(cè)得一輪船在海島北偏東60°的C處，1220分測(cè)得船在海島北偏西60B處，1240分輪船到達(dá)位于海島正西方5