第二節(jié) 中心極限定理

第二節(jié)中心極限定理1第1頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一中心極限定理的客觀背景

在實(shí)際問題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響.

例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響.2第2頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，對(duì)我們來說重要的是這些隨機(jī)因素的總影響.如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.3第3頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一

觀察表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用不大.則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.

自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見.4第4頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一中心極限定理，正是從理論上證明，對(duì)于大量的獨(dú)立隨機(jī)變量來說，只要每個(gè)隨機(jī)變量在總和中所占比重很小，那么不論其中各個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)是什么形狀，也不論它們是已知還是未知，而它們的和的分布函數(shù)必然和正態(tài)分布函數(shù)很近似。這就是為什么實(shí)際中遇到的隨機(jī)變量很多都服從正態(tài)分布的原因，也正因如此，正態(tài)分布在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中占有極其重要的地位。

5第5頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一下面介紹幾個(gè)常用的中心極限定理。

在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.6第6頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一

由于無窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于∞，故我們不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和，本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量的分布函數(shù)的極限.7第7頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一列維一林德伯格中心極限定理8第8頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一（證略）

9第9頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一此定理說明,當(dāng)n充分大時(shí),有

或10第10頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一將n個(gè)觀測數(shù)據(jù)相加時(shí)，首先對(duì)小數(shù)部分按“四舍五入”舍去小數(shù)位后化為整數(shù)．試?yán)弥行臉O限定理估計(jì)，

例1解(1)當(dāng)n=1500時(shí)，舍入誤差之和的絕對(duì)值大于15的概率；(2)n滿足何條件時(shí)，能以不小于0.90的概率使舍入誤差之和的絕對(duì)值小于10．根據(jù)列維-林德伯格中心極限定理，當(dāng)n充分大時(shí)11第11頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一(1)12第12頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一(2)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n應(yīng)滿足條件：即當(dāng)

時(shí)，才能使誤差之和的絕對(duì)值小于10的概率不小于0.90．13第13頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一

一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的,假設(shè)每箱的平均重50千克,標(biāo)準(zhǔn)差5千克.若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn),試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱,才能保證不超載的概率大于0.977.例2解由列維-林德伯格中心極限定理,有

總重量14第14頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一所以n必須滿足即最多可以裝98箱.

15第15頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一下面給出上述定理的一個(gè)重要特例。

棣莫弗-拉普拉斯定理證由列維一林德伯格定理可知，

16第16頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一由列維一林德伯格定理可知，

17第17頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一由列維一林德伯格定理可知，

18第18頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一或即有近似計(jì)算公式

19第19頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一

(供電問題)某車間有200臺(tái)車床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換零件等常需停車.設(shè)開工率為0.6,并設(shè)每臺(tái)車床的工作是獨(dú)立的，且在開工時(shí)需電力1千瓦.例3問應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)?解某一時(shí)刻開動(dòng)的車床數(shù)要求最小的k,使由D-L定理,20第20頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一這里

np=120,np(1-p)=48查表得所以若供電141.5千瓦，那么由于供電不足而影響生產(chǎn)的可能性不到0.001，相當(dāng)于8小時(shí)內(nèi)約有半分鐘受影響，這一般是允許的。

21第21頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一例4解由棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理,有

某產(chǎn)品次品率p=

0.05,試估計(jì)在1000件產(chǎn)品中次品數(shù)在之間的概率.次品數(shù)22第22頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一次品數(shù)注由切比雪夫不等式,顯然這是過于保守的估計(jì).

23第23頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一練習(xí)：P150習(xí)題五補(bǔ)充題3.某射手打靶,得10分、9分、8分、7分、6分的概率分別為0.5,0.3,0.1,0.05,0.05.現(xiàn)獨(dú)立射擊100次,求總分在900分與930分之間的概率.24第24頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一4.設(shè)在某保險(xiǎn)公司有1萬個(gè)人參加投保,每人每年付120元保險(xiǎn)費(fèi).在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.006,死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1萬元,問:(1)該保險(xiǎn)公司虧本的概率為多少?(2)該保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于40,60,80萬元的概率各是多少?

5.假設(shè)生產(chǎn)線組裝每件成品的時(shí)間服從指數(shù)分布,統(tǒng)計(jì)資料表明每件成品的組裝時(shí)間平均為10分鐘.設(shè)各件產(chǎn)品的組裝時(shí)間相互獨(dú)立.

(1)試求組裝100件成品需要15到20小時(shí)的概率；

(2)以95%的概率在16小時(shí)內(nèi)最多可以組裝多少件成品?

25第25頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一解由中心極限定理知,26第26頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一解由中心極限定理知,27第27頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一解由中心極限定理，

3.某射手打靶,得10分、9分、8分、7分、6分的概率分別為0.5,0.3,0.1,0.05,0.05.現(xiàn)獨(dú)立射擊100次,求總分在900分與930分之間的概率.28第28頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一解設(shè)一年內(nèi)死亡的人數(shù)為X,則

由D-L中心極限定理,

即該保險(xiǎn)公司虧本的概率幾乎為0.

4.設(shè)在某保險(xiǎn)公司有1萬個(gè)人參加投保,每人每年付120元保險(xiǎn)費(fèi).在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.006,死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1萬元,問:(1)該保險(xiǎn)公司虧本的概率為多少?(2)該保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于40,60,80萬元的概率各是多少?

29第29頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一30第30頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一解設(shè)第i件組裝的時(shí)間為Xi分鐘,i=1,…,100.

利用獨(dú)立同分布中心極限定理.

(1)5.假設(shè)生產(chǎn)線組裝每件成品的時(shí)間服從指數(shù)分布,統(tǒng)計(jì)資料表明每件成品的組裝時(shí)間平均為10分鐘.設(shè)各