第八講曲線(xiàn)曲面參數(shù)表示的基礎(chǔ)知識(shí)

第八講曲線(xiàn)曲面參數(shù)表示的基礎(chǔ)知識(shí)第1頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1顯式、隱式和參數(shù)表示

在工程上，曲線(xiàn)曲面的應(yīng)用十分廣泛。如根據(jù)實(shí)驗(yàn)、觀(guān)測(cè)或數(shù)值計(jì)算獲得的數(shù)據(jù)來(lái)繪制出一條光滑的曲線(xiàn)，以描述事物的各種規(guī)律。在汽車(chē)、飛機(jī)、船舶的等產(chǎn)品的外形設(shè)計(jì)中，要用到大量的曲線(xiàn)和曲面來(lái)描述其幾何形狀。表示曲線(xiàn)和曲面的基本方法有兩種：參數(shù)法和非參數(shù)法。（1）非參數(shù)法y=f(x)顯函數(shù)(不能表示封閉或多值的曲線(xiàn)）f(x，y)=0隱函數(shù)（方程的根很難求）（2）參數(shù)法x=f(t)y=g(t)求導(dǎo)很方便，不會(huì)出現(xiàn)計(jì)算上的困難第2頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

對(duì)于非參數(shù)表示形式方式（無(wú)論是顯式還是隱式）存在下述問(wèn)題：與坐標(biāo)軸相關(guān)；會(huì)出現(xiàn)斜率為無(wú)窮大的情形（如垂線(xiàn)）；對(duì)于非平面曲線(xiàn)、曲面，難以用常系數(shù)的非參數(shù)化函數(shù)表示；不便于計(jì)算機(jī)編程。

值得一提的是,隱式方程的優(yōu)點(diǎn)也很明顯.通過(guò)將某一點(diǎn)的坐標(biāo)代入隱式方程,計(jì)算其值是否大于、等于、小于零，能夠容易判斷出該點(diǎn)是落在隱式方程所表示的曲線(xiàn)（曲面）上還是某一側(cè)。利用這個(gè)性質(zhì)，在曲線(xiàn)曲面求交時(shí)將會(huì)帶來(lái)莫大的方便。第3頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在幾何造型系統(tǒng)中，曲線(xiàn)曲面方程通常表示成參數(shù)的形式，即曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的坐標(biāo)均表示成給定參數(shù)的函數(shù)。假定用t表示參數(shù)，平面曲線(xiàn)上任一點(diǎn)P可表示為：

P(t)=[x(t),y(t)]；

空間曲線(xiàn)上任一三維點(diǎn)P可表示為：

P(t)=[x(t),y(t),z(t)]；第4頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

最簡(jiǎn)單的參數(shù)曲線(xiàn)是直線(xiàn)段，端點(diǎn)為P1、P2的直線(xiàn)段參數(shù)方程可表示為：

P(t)=P1+(P2-P1)tt∈[0,1];

圓在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中應(yīng)用十分廣泛，其在第一象限內(nèi)的單位圓弧的非參數(shù)顯式表示為：其參數(shù)形式可表示為：第5頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

在曲線(xiàn)、曲面的表示上，參數(shù)方程比顯式、隱式方程有更多的優(yōu)越性，主要表現(xiàn)在：

（1）可以滿(mǎn)足幾何不變性的要求。（2）有更大的自由度來(lái)控制曲線(xiàn)、曲面的形狀。如一條二維三次曲線(xiàn)的顯式表示為：只有四個(gè)系數(shù)控制曲線(xiàn)的形狀。而二維三次曲線(xiàn)的參數(shù)表達(dá)式為：有8個(gè)系數(shù)可用來(lái)控制此曲線(xiàn)的形狀。

第6頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（3）對(duì)非參數(shù)方程表示的曲線(xiàn)、曲面進(jìn)行變換，必須對(duì)曲線(xiàn)、曲面上的每個(gè)型值點(diǎn)進(jìn)行幾何變換；而對(duì)參數(shù)表示的曲線(xiàn)、曲面可對(duì)其參數(shù)方程直接進(jìn)行幾何變換。（4）便于處理斜率為無(wú)窮大的情形，不會(huì)因此而中斷計(jì)算。（5）參數(shù)方程中，代數(shù)、幾何相關(guān)和無(wú)關(guān)的變量是完全分離的，而且對(duì)變量個(gè)數(shù)不限，從而便于用戶(hù)把低維空間中曲線(xiàn)、曲面擴(kuò)展到高維空間去。這種變量分離的特點(diǎn)使我們可以用數(shù)學(xué)公式處理幾何分量。（6）規(guī)格化的參數(shù)變量t∈[0,1]，使其相應(yīng)的幾何分量是有界的，而不必用另外的參數(shù)去定義邊界。（7）易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡(jiǎn)化了計(jì)算。第7頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一有一空間點(diǎn)A，從原點(diǎn)O到A點(diǎn)的連線(xiàn)表示一個(gè)矢量，此矢量稱(chēng)為位置矢量?？臻g一點(diǎn)的位置矢量有三個(gè)坐標(biāo)分量，而空間曲線(xiàn)是空間動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，也就是空間矢量端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成的矢端曲線(xiàn)，其矢量方程為：2參數(shù)曲線(xiàn)的定義及其位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和撓率

第8頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一此式也稱(chēng)為單參數(shù)的矢函數(shù)。它的參數(shù)方程為：第9頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一規(guī)范化區(qū)間若t的區(qū)間：[a,b]，如果把它轉(zhuǎn)換為[0,1]，如何做？方法（相似性，比例不變）：

t’=(t-a)/(b-a),則t’[0,1]第10頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一型值點(diǎn)——指通過(guò)測(cè)量或計(jì)算得到的曲線(xiàn)或曲面上少量描述其幾何形狀的數(shù)據(jù)點(diǎn)?？刂泣c(diǎn)——指用來(lái)控制或調(diào)整曲線(xiàn)曲面形狀的特殊點(diǎn)，曲線(xiàn)曲面本身不一定通過(guò)控制點(diǎn)。3擬合、逼近、插值和光順

第11頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

曲線(xiàn)曲面的擬合：當(dāng)用一組型值點(diǎn)來(lái)指定曲線(xiàn)曲面的形狀時(shí)，形狀完全通過(guò)給定的型值點(diǎn)列。第12頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一曲線(xiàn)曲面的逼近：當(dāng)用一組控制點(diǎn)來(lái)指定曲線(xiàn)曲面的形狀時(shí)，求出的形狀不必通過(guò)控制點(diǎn)列第13頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一求給定型值點(diǎn)之間曲線(xiàn)上的點(diǎn)稱(chēng)為曲線(xiàn)的插值。將連接有一定次序控制點(diǎn)的直線(xiàn)序列稱(chēng)為控制多邊形或特征多邊形第14頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4連續(xù)性條件假定參數(shù)曲線(xiàn)段pi以參數(shù)形式進(jìn)行描述：參數(shù)連續(xù)性幾何連續(xù)性第15頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.參數(shù)連續(xù)性0階參數(shù)連續(xù)性，記作C0連續(xù)性，是指曲線(xiàn)的幾何位置連接，即第16頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1階參數(shù)連續(xù)性記作C1連續(xù)性，指代表兩個(gè)相鄰曲線(xiàn)段的方程在相交點(diǎn)處有相同的一階導(dǎo)數(shù)：第17頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2階參數(shù)連續(xù)性，記作C2連續(xù)性，指兩個(gè)相鄰曲線(xiàn)段的方程在相交點(diǎn)處具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)。

第18頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.幾何連續(xù)性0階幾何連續(xù)性，記作G0連