第三節(jié)開(kāi)集的可測(cè)性

第三節(jié)開(kāi)集的可測(cè)性第1頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期一注：開(kāi)集、閉集既是型集也是型集；

有理數(shù)集是型集，但不是型集；

無(wú)理數(shù)集是型集，但不是型集。有理數(shù)集可看成可數(shù)個(gè)單點(diǎn)集的并，而單點(diǎn)集是閉集；通過(guò)取余型集與型集相互轉(zhuǎn)化（并與交，開(kāi)集與閉集互換）例區(qū)間是可測(cè)集，且注：零集、區(qū)間、開(kāi)集、閉集、型集（可數(shù)個(gè)開(kāi)集的交）、型集（可數(shù)個(gè)閉集的并）、Borel型集（粗略說(shuō)：從開(kāi)集出發(fā)通過(guò)取余，取交或并（有限個(gè)或可數(shù)個(gè)）運(yùn)算得到）都是可測(cè)集。證明見(jiàn)書(shū)本p66第2頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

2.可測(cè)集與開(kāi)集、閉集的關(guān)系即：可測(cè)集與開(kāi)集、閉集只相差一小測(cè)度集（可測(cè)集“差不多”就是開(kāi)集或閉集），從而可測(cè)集基本上是至多可數(shù)個(gè)開(kāi)區(qū)間的并。第3頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期一證明：若(1)已證明，由Ec可測(cè)可知取F=Gc，則F為閉集第4頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(1).若E可測(cè)，則

證明:(1)當(dāng)mE<+∞時(shí)，由外測(cè)度定義知從而（這里用到mE<+∞）第5頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)每個(gè)Ei應(yīng)用上述結(jié)果(2)當(dāng)mE=+∞時(shí)，這時(shí)將E分解成可數(shù)個(gè)互不相交的可測(cè)集的并：第6頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例證明：對(duì)任意的1/n，第7頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：設(shè)E為[0,1]中的有理數(shù)全體，試各寫(xiě)出一個(gè)與E只相差一小測(cè)度集的開(kāi)集和閉集。例：設(shè)E*為[0,1]中的無(wú)理數(shù)全體，試各寫(xiě)出一個(gè)與E*只相差一小測(cè)度集的開(kāi)集和閉集。開(kāi)集:(0,1)

閉集：開(kāi)集：閉集：空集第8頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.可測(cè)集與集和集的關(guān)系可測(cè)集可由型集去掉一零集，或型集添上一零集得到。(2).若E可測(cè)，則存在型集H,使(1).若E可測(cè)，則存在型集O,使第9頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(1).若E可測(cè)，則存在型集O,使(2).若E可測(cè)，則存在型集H,使證明：若(1)已證明，由Ec可測(cè)可知取H=Oc，則H為型集，且第10頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(1).若E可測(cè)，則存在型集O,使證明：對(duì)任意的1/n，

第11頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：例：設(shè)E*為[0,1]中的無(wú)理數(shù)全體，試各寫(xiě)出一個(gè)與E*只相差一零測(cè)度集的型集或型集。設(shè)E為[0,1]中的有理數(shù)全體，試各寫(xiě)出一個(gè)與E只相差一零測(cè)度集的型集或型集。注：上面的交與并不可交換次序第12頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期一類似可證：證明:由外測(cè)度定義知第13頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第四節(jié)不可測(cè)集存在不可測(cè)集（利用選擇公理構(gòu)造，教材p73;1970，R.Solovay證明不可測(cè)集存在蘊(yùn)涵選擇公理）存在不是B