《統(tǒng)計(jì)學(xué)》參數(shù)估計(jì)

參數(shù)估計(jì)方法參數(shù)估計(jì)概述參數(shù)估計(jì)在統(tǒng)計(jì)估計(jì)問(wèn)題中的地位統(tǒng)計(jì)估計(jì)方法非參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)統(tǒng)計(jì)估計(jì)問(wèn)題的產(chǎn)生以下情況會(huì)導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)估計(jì)問(wèn)題：需要估計(jì)分別類型的問(wèn)題:在許多實(shí)際問(wèn)題中，總體被理解為我們所研究的某個(gè)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，它在一定范圍內(nèi)取值，而且以一定的概率取各種可能的值，從而形成一個(gè)概率分布；而這個(gè)概率分布往往未知。如為了制定綠色食品的有關(guān)規(guī)定，需要研究蔬菜中殘留農(nóng)藥的分布狀況。對(duì)這個(gè)分布我們知之甚少，甚至不清楚它屬于何種類型的分布。需要估計(jì)分布參數(shù)的問(wèn)題：有時(shí)分布類型已知，如在農(nóng)民收入調(diào)查中，根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)和理論分析，可以斷定收入服從正態(tài)分布；但分布中的參數(shù)未知，需要估計(jì)。統(tǒng)計(jì)估計(jì)的類別統(tǒng)計(jì)估計(jì)問(wèn)題專門(mén)研究由樣本估計(jì)總體的未知分布或分布中的未知參數(shù)。非參數(shù)估計(jì)和參數(shù)估計(jì)：直接對(duì)總體的未知分布進(jìn)行估計(jì)的問(wèn)題為非參數(shù)估計(jì)；當(dāng)總體分布類型已知，僅需對(duì)分布的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，稱為參數(shù)估計(jì)。5.3.2參數(shù)估計(jì)的方法——點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的樣本統(tǒng)計(jì)量。如樣本均值、樣本比例(成數(shù))、樣本方差等；例如:樣本均值就是總體均值的一個(gè)估計(jì)量。估計(jì)值：估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來(lái)的統(tǒng)計(jì)量的具體值。如果樣本均值x

=80，則80就是的估計(jì)值。注：有時(shí)，對(duì)估計(jì)量和估計(jì)值并不刻意區(qū)分，都稱為估計(jì)，根據(jù)上下文很容易明確其指代。估計(jì)量與估計(jì)值

(estimator&estimatedvalue)隨機(jī)變量一個(gè)總體參數(shù)的估計(jì)總體參數(shù)符號(hào)表示樣本統(tǒng)計(jì)量均值比例方差參數(shù)估計(jì)的方法估計(jì)方法點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)

(pointestimate)做法：用樣本估計(jì)量的值直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值。例：用樣本均值直接作為總體均值的估計(jì)；用樣本成數(shù)直接作為總體成數(shù)的估計(jì)。例：用兩個(gè)樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計(jì)。2. 缺點(diǎn)：沒(méi)有考慮抽樣誤差的大小；沒(méi)有給出估計(jì)值接近總體參數(shù)的程度。點(diǎn)估計(jì)的方法有矩估計(jì)法、順序統(tǒng)計(jì)量法、最大似然法、最小二乘法等。評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)無(wú)偏性

(unbiasedness)無(wú)偏性：估計(jì)量(隨機(jī)變量)的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)中心極限定理證明了：樣本平均數(shù)和樣本成數(shù)都滿足無(wú)偏性。P(

)BA無(wú)偏有偏總體參數(shù)有效性

(efficiency)有效性：對(duì)同一總體參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏點(diǎn)估計(jì)量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量更有效。

AB

的抽樣分布

的抽樣分布P(

)樣本平均數(shù)比中位數(shù)更有效一致性

(consistency)一致性：隨著樣本容量的增大，估計(jì)量的值越來(lái)越接近被估計(jì)的總體參數(shù)。大數(shù)定律已經(jīng)證明了：樣本平均數(shù)和樣本成數(shù)都滿足一致性。AB較小的樣本容量較大的樣本容量P(

)區(qū)間估計(jì)

(intervalestimate)在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量加減一個(gè)誤差范圍（即抽樣極限誤差）而得到的2.根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的接近程度給出一個(gè)概率度量比如，某班級(jí)平均分?jǐn)?shù)在75～85之間，置信水平是95%

區(qū)間估計(jì)的基本原理區(qū)間估計(jì)的圖示90%的樣本99.73%的樣本95%的樣本x將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平；表示為(1-；為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例常用的置信水平值有

99%,95%,90%。相應(yīng)的為0.01，0.05，0.10置信水平

(confidencelevel)

由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間稱為置信區(qū)間；統(tǒng)計(jì)學(xué)家在某種程度上確信這個(gè)區(qū)間會(huì)包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間。

置信區(qū)間

(confidenceinterval)樣本統(tǒng)計(jì)量值

(點(diǎn)估計(jì))置信區(qū)間置信下限置信上限置信區(qū)間與置信水平均值的抽樣分布1-aa/2a/2用一個(gè)具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個(gè)特定的區(qū)間，我們無(wú)法知道這個(gè)樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值；我們只能希望這個(gè)區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)，但它也可能是少數(shù)幾個(gè)不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)。(1-)%區(qū)間包含了%的區(qū)間未包含總體參數(shù)區(qū)間估計(jì)的特點(diǎn)：根據(jù)給定的概率保證程度的要求，利用實(shí)際抽樣資料，指出總體被估計(jì)值的上限和下限，即指出總體參數(shù)可能存在的區(qū)間范圍，而不是直接給出總體參數(shù)的估計(jì)值?？傮w參數(shù)的區(qū)間估計(jì)必須同時(shí)具備的三個(gè)要素:點(diǎn)估計(jì)值（區(qū)間的中心）抽樣誤差范圍（區(qū)間的半徑）置信水平/概率保證程度（1-α）抽樣誤差范圍決定估計(jì)的精度而概率保證程度則決定估計(jì)的可靠性5.4總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)

(正態(tài)總體、２已知，或非正態(tài)總體、大樣本)總體均值的區(qū)間估計(jì)假定條件總體服從正態(tài)分布,方差(２)

已知若非正態(tài)分布，但是大樣本(n

30)，可近似正態(tài)總體均值

在1-置信水平下的置信區(qū)間為重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣抽樣平均誤差ux抽樣極限誤差Δ絕對(duì)誤差d總體均值的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)【例】某種零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，從某天生產(chǎn)一批零件中按重復(fù)抽樣方法隨機(jī)抽取9個(gè)，測(cè)得其平均長(zhǎng)度為21.4cm。已知總體標(biāo)準(zhǔn)差為=0.15cm。試估計(jì)該批零件平均長(zhǎng)度的置信區(qū)間，置信水平為95%。該批零件平均長(zhǎng)度的置信區(qū)間在21.302cm~21.498cm之間。解：已知Ｘ~N(，0.152)，n=9,1-=95%，z/2=1.96總體均值

在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體均值的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)【例】在某天生產(chǎn)的500袋食品中，按不重復(fù)抽樣方法隨機(jī)抽取25袋進(jìn)行檢查，測(cè)得平均每袋的重量為996g。已知該種袋裝食品的重量服從正態(tài)分布，且標(biāo)準(zhǔn)差為20g。試估計(jì)該種食品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%。該種食品平均重量的置信區(qū)間為988.35g~1003.65g之間。解：已知Ｘ~N(，202)，n=25,1-=95%，z/2=1.96

總體均值

在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體均值的區(qū)間估計(jì)

(正態(tài)總體、２未知、小樣本)總體均值的區(qū)間估計(jì)1.假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差(２)

未知小樣本(n<30)使用t

分布統(tǒng)計(jì)量總體均值

在1-置信水平下的置信區(qū)間為t分布

t分布是類似正態(tài)分布的一種對(duì)稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個(gè)特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布。xt

分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t不同自由度的t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t(df=13)t(df=5)Z總體均值的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取16只，測(cè)得其使用壽命(小時(shí))如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間。16燈泡使用壽命的數(shù)據(jù)1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470總體均值的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8小時(shí)～1503.2小時(shí)。解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：，

總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為5.5總體比例的區(qū)間估計(jì)總體比例的區(qū)間估計(jì)

(大樣本，重復(fù)抽樣)1. 假定條件總體服從二項(xiàng)分布可以由正態(tài)分布來(lái)近似使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量Ｚ3.總體比例P在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體比例的區(qū)間估計(jì)

(大樣本，不重復(fù)抽樣)1. 假定條件總體服從二項(xiàng)分布可以由正態(tài)分布來(lái)近似使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量Ｚ3.總體比例P在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體比例的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)【例】某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占的比例，隨機(jī)重復(fù)抽取了100個(gè)下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計(jì)該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間。解：已知n=100，p＝65%，z/2=1.96該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55.65%~74.35%。總體比例的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)【例】某企業(yè)共有職工1000人。企業(yè)準(zhǔn)備實(shí)行一項(xiàng)改革，在職工中征求意見(jiàn)，采取不重復(fù)抽樣方法隨機(jī)抽取200人作為樣本，調(diào)查結(jié)果顯示，有150人表示贊成該項(xiàng)改革，50人表示反對(duì)。試以95%的概率確定贊成改革的人數(shù)比例的置信區(qū)間。解：已知n=100，p＝75%，z/2=1.96該企業(yè)職工中贊成改革的人數(shù)比例的置信區(qū)間為69.63%~80.37%之間。區(qū)間估計(jì)的方法區(qū)間估計(jì)的方法方法一：根據(jù)已經(jīng)給定的抽樣誤差范圍，求F(Z)

(1)抽取樣本，計(jì)算抽樣指標(biāo)，如計(jì)算抽樣平均數(shù)或抽樣成數(shù)作為相應(yīng)總體指標(biāo)的估計(jì)值，并計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差以推算抽樣平均誤差；(2)根據(jù)給定的抽樣誤差范圍，估計(jì)總體指標(biāo)的上、下限；(3)將抽樣誤差除以抽樣平均誤差求出概率度Z值，再根據(jù)Z值查“正態(tài)分布概率表”求出相應(yīng)的置信度F(Z)，并對(duì)總體參數(shù)做區(qū)間估計(jì)。區(qū)間估計(jì)方法方法二：根據(jù)已給定的置信度要求，來(lái)推算抽樣極限誤差的可能范圍。（1）抽取樣本，計(jì)算抽樣指標(biāo)，如計(jì)算抽樣平均數(shù)或抽樣成數(shù)作為相應(yīng)總體指標(biāo)的估計(jì)值，并計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差以推算抽樣平均誤差；（2）根據(jù)給定的置信度F(Z)要求，求得概率度Z值；（3）根據(jù)概率度Z和抽樣平均誤差來(lái)推算抽樣極限誤差的可能范圍，再根據(jù)抽樣極限誤差求出被估計(jì)總體指標(biāo)的上下限，對(duì)總體參數(shù)做區(qū)間估計(jì)。每包重量(克)包數(shù)組中值149以下10148.51485-1.832.4149~15020149.52990-0.812.8150~15150150.575250.22151以上20151.530301.228.8合計(jì)100—15030—76例題分析[例]某外貿(mào)公司出口一種茶葉，規(guī)定每包規(guī)格不低于150克，現(xiàn)用不重復(fù)抽樣方法從中隨機(jī)抽取1%進(jìn)行檢驗(yàn)，抽檢結(jié)果如表所示：要求：（1）以允許誤差范圍0.2克，估計(jì)該批茶葉每包平均重量的區(qū)間及其概率保證程度。（2）茶葉包裝合格率的誤差范圍不超過(guò)6%，估計(jì)包裝合格率的區(qū)間及其概率保證程度。（3）要求以95.45%的概率保證程度，估計(jì)該批茶葉每包平均重量的區(qū)間。（4）要求以95.45%的概率保證程度，估計(jì)該批茶葉的包裝合格率的區(qū)間。解答解：要求（1）的計(jì)算過(guò)程為

上限==150.3+0.2=150.5克下限==150.3-0.2=150.1克查概率表：

該批茶葉每包平均重量落在區(qū)間[150.1，150.5]克內(nèi)，概率保證程度為97.91%。

要求（2）的計(jì)算過(guò)程為：上限＝＝70%+6%＝76%下限=＝70%-6%＝64%

查概率表：t＝1.32時(shí)該批茶葉的包裝合格率落在區(qū)間[64%，76%]內(nèi)，概率保證程度為81.32%。