第一節(jié)導數的概念演示文稿

第一節(jié)導數的概念演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有27頁\編輯于星期一（優(yōu)選）第一節(jié)導數的概念現(xiàn)在是2頁\一共有27頁\編輯于星期一1.變速直線運動的瞬時速度如果物體作直線運動，在直線上選取坐標系，該物體所處的位置坐標s是時間t的函數，記為

s=s(t)，則從時刻t0到t0+t

的時間間隔內它的平均速度為一、瞬時速度曲線的切線斜率現(xiàn)在是3頁\一共有27頁\編輯于星期一叫做物體在t0時刻的瞬時速度，簡稱速度，在勻速運動中，這個比值是常量，但在變速運動中，它不僅與t0有關，而且與t也有關，很小時，與在t0時刻的速度相近似.如果當t趨于0時，平均速度的極限存在，則將這個極限值即當t記作

v

(t0)，現(xiàn)在是4頁\一共有27頁\編輯于星期一

點

P

是曲線

L

上的動點，2.曲線切線的斜率定義1

設點

P0

是曲線

L

上的一個定點，TP0Px0x0+xyOxN當點

P

沿曲線

L趨向于點

P0

時，如果割線

PP0

的極限位置

P0T

存在，

則稱直線

P0T

為曲線

L在點

P0

處的切線.

設曲線方程為y=f(x).

在點P0(x0,y0)處的附近取一點P(x0

+x,y0+y).那么割線P0P

的斜率為Lxyy=f(x)現(xiàn)在是5頁\一共有27頁\編輯于星期一如果當點P

沿曲線趨向于點P0

時，割線P0P的極限位置存在，即點P0處的切線存在，此刻

x0，，割線斜率

tan趨向切線P0T的斜率tan，即TP0Px0x0+xyOxNLxyy=f(x)

切線定義

現(xiàn)在是6頁\一共有27頁\編輯于星期一

定義2

設函數

y=f(x)在點

x0的一個鄰域內有定義.

在

x0

處給

x以增量

x(x0+x仍在上述鄰域內)，函數

y相應地有增量y=f(x0

+x)-f(x0)，二、導數的定義現(xiàn)在是7頁\一共有27頁\編輯于星期一則稱此極限值為函數y=f(x)在點x0處的導數.即此時也稱函數

f(x)在點

x0

處可導.有時為了突出自變量x，又叫函數f(x)對x的導數，記為.

如果上述極限不存在，則稱

f(x)在

x0

處不可導.現(xiàn)在是8頁\一共有27頁\編輯于星期一例1求函數

f(x)=x2在x0=1處的導數，即f(1).解第一步求y：

y=f(1+x)-

f(1)=

(1+x)2-12=

2x+(x)2.第三步求極限：所以f(1)=2.第二步求：現(xiàn)在是9頁\一共有27頁\編輯于星期一函數

y=f(x)在點

x0

處的導數的幾何意義就是曲線

y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率,即tan=f(x0).yOxy=f(x)x0P三、導數的幾何意義現(xiàn)在是10頁\一共有27頁\編輯于星期一法線方程為其中y0=f(x0).y

-

y0=f(x0)(x-

x0).由此可知曲線

y=

f(x)上點P0處的切線方程為現(xiàn)在是11頁\一共有27頁\編輯于星期一

例2求曲線y=x2在點(1,1)處的切線和法線方程.

解從例1知(x2)|x=1=2,即點(1,1)處的切線斜率為2，所以,切線方程為y–1=2(x-1).即y=2x-1.法線方程為即現(xiàn)在是12頁\一共有27頁\編輯于星期一從導數的幾何意義可知：導數的絕對值|f(x0)|越小，曲線在該點附近越平緩.導數的絕對值|f(x0)|越大，曲線在該點附近越陡；現(xiàn)在是13頁\一共有27頁\編輯于星期一四、導數的物理意義對于不同的物理量有著不同的物理意義.例如變速直線運動路程s=s(t)的導數，就是速度，即s(t0)=v(t0).我們也常說路程函數s(t)對時間的導數就是速度.例如變速直線運動速度v=v(t)的導數，就是加速度，即v(t0)=a(t0)，即速度函數v(t)對時間的導數就是加速度.現(xiàn)在是14頁\一共有27頁\編輯于星期一

例3求函數y=x2在任意點x0

(,)處的導數.解y=f(x0+x)-

f(x0)=

(x0+x)2-

x02=

2x0x+(x)2.五、導函數第二步求：求法與例1一樣.第一步求y：現(xiàn)在是15頁\一共有27頁\編輯于星期一第三步取極限：即有了上式，求具體某一點，如x0=1處導數，就很容易了，只要將x0=1代入即得現(xiàn)在是16頁\一共有27頁\編輯于星期一它的計算公式是：例3

表明，給定了

x0就對應有函數f(x)=x2的導數值,這樣就形成了一個新的函數，f(x)=x2的導函數，它的表達式就是(x2)=2x.一般地，函數f(x)的導函數記作f(x)，叫做函數注意：計算極限過程中x是不變的.現(xiàn)在是17頁\一共有27頁\編輯于星期一類似例3，我們可以得

xn

(n為整數)的導函數，當n為任意實數時，上式仍成立，即(xn)=nxn-1.(x)=x

-1.現(xiàn)在是18頁\一共有27頁\編輯于星期一例4求f(x)=sinx的導函數(x(，)).解即(sinx)=cosx.(cosx)=-sinx.類似可得現(xiàn)在是19頁\一共有27頁\編輯于星期一例5求f(x)=lnx(x(0,))

的導函數.解即類似可得現(xiàn)在是20頁\一共有27頁\編輯于星期一解例6求f(x)=ex

(x(-,))的導函數

.即(ex)=ex.類似可得(ax)=axlna.現(xiàn)在是21頁\一共有27頁\編輯于星期一

例7問曲線y=lnx上何處的切線平行直線y=x+1？解設點(x0

,y0

)處的切線平行直線y=x+1，根據導數的幾何意義及導函數與導數的關系，可知即x0=1，代入y=lnx中，得y0=0，所以曲線在點(1,0

)處的切線平行直線y=x+1.現(xiàn)在是22頁\一共有27頁\編輯于星期一

存在，則稱此極限值為

f

(x)在點

x0處的左導數，記作

f-(x0)；定義3則稱此極限值為

f(x)在點

x0

處的右導數，記作

f+(x0)

.顯然，f(x)在

x0處可導的充要條件是f-(x0)及f

+(x0)存在且相等

.

定義4

如果函數f(x)在區(qū)間

I上每一點可導，則稱f(x)在區(qū)間

I上可導.如果同樣，如果

I是閉區(qū)間[a,b]，則端點處可導是指f+(a)、f-(b)存在.現(xiàn)在是23頁\一共有27頁\編輯于星期一

定理

如果函數

y=f(x)在點

x0處可導,則

f(x)在點

x0

處連續(xù)，其逆不真.證其中

y=f(x0+

x)-

f(x0)，所以六、可導與連續(xù)的關系即函數f(x)在點x0處連續(xù).但其逆不真，即函數f(

x

)在點x0處連續(xù)，而函數f(

x

)在點x0處不一定可導.現(xiàn)在是24頁\一共有27頁\編輯于星期一

例8討論函數y=

|x|在點x0=0

處的連續(xù)性與可導性.解

y=f(0

+

x)

-f(0)=

|0+

x|-|0|=|x|，現(xiàn)在是25頁\一共有27頁\編輯于星期一即f(

x

)=

|x|在x0=0

處連續(xù)，存在，在x0=0

處左、