實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020屆高三上學(xué)期質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)理科試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精山西省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020屆高三上學(xué)期質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)理科試題含解析山西省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020屆高三上學(xué)期質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)(理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè),，則()A. B。 C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)函數(shù)有意義求出集合B，再利用集合的交運(yùn)算即可求解.【詳解】由，，所以，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交運(yùn)算，同時(shí)考查了求具體函數(shù)的定義域,屬于基礎(chǔ)題。2.設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為(）A. B. C。 D。【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合的四則運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由，可得，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù).故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題。3。某大型商場統(tǒng)計(jì)周一至周五某型號(hào)洗衣機(jī)的銷售量（單位：臺(tái)),得到如下莖葉圖，則該樣本的中位數(shù)與平均數(shù)之差是(）A.6 B。2 C.—2 D.—6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)莖葉圖求出樣本數(shù)據(jù)中的中位數(shù)與平均數(shù)即可求解.【詳解】由莖葉圖可得,將數(shù)據(jù)從小到大排列,則中位數(shù)為：，故中位數(shù)與平均數(shù)之差為—2。故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)與中位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題。4。已知程序框圖如圖，則輸出i的值為A.7 B.9 C。11 D.13【答案】D【解析】【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，模擬程序的運(yùn)行過程，可得答案．【詳解】當(dāng)時(shí)，不滿足退出循環(huán)的條件,故，當(dāng)時(shí)，不滿足退出循環(huán)的條件，故,當(dāng)時(shí),不滿足退出循環(huán)條件,故,當(dāng)時(shí)，不滿足退出循環(huán)的條件,故，當(dāng)時(shí),不滿足退出循環(huán)的條件，故,當(dāng)時(shí)，不滿足退出循環(huán)的條件,故，當(dāng)時(shí)，滿足退出循環(huán)的條件，故輸出故選【點(diǎn)睛】本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時(shí)，常采用模擬循環(huán)的方法解答．5。設(shè)是定義在上的周期為2的奇函數(shù),當(dāng)時(shí)，，則（）A. B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)的周期為以及為幾何函數(shù)可得，根據(jù)當(dāng)時(shí)，，將代入即可求解?！驹斀狻坑深}意可知,當(dāng)時(shí)，，則，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的周期以及奇偶性求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題。6.在中，是的中點(diǎn)，，點(diǎn)在上,且滿足，則等于（）A。 B.—1 C。1 D。【答案】A【解析】【分析】由,點(diǎn)在上，且滿足，可得，利用向量的平行四邊形法則可得，于是即可得出。【詳解】，點(diǎn)在上，且滿足，，,。故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了向量的平行四邊形法則以及向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題。7。某四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則該四棱錐最大的側(cè)面的面積為(）A。 B。 C。 D.3【答案】B【解析】分析】由三視圖可知此幾何體的直觀圖為四棱錐，其底面為一個(gè)對(duì)角線長的正方形，邊長為,且平面,由三視圖知，，，由此可求出四棱錐最大的側(cè)面的面積?！驹斀狻坑扇晥D可知幾何體的直觀圖如圖,此幾何體的直觀圖為四棱錐，其底面為一個(gè)對(duì)角線長的正方形，邊長為，其中平面，由三視圖知，,，所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖求幾何體的側(cè)面積，解題的關(guān)鍵是作出幾何體的直觀圖，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題。8。等差數(shù)列中，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則（)A。 B。4 C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出,由等差數(shù)列中，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，利用韋達(dá)定理可得，從而，由此能求出的值.【詳解】，,等差數(shù)列中，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，，，。故選：C【點(diǎn)睛】本題是一道綜合性題目,考查了極值點(diǎn)的定義、等差數(shù)列的性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.9。已知拋物線:的焦點(diǎn)為，為的準(zhǔn)線，軸，軸，、交拋物線于、兩點(diǎn)，交于、兩點(diǎn)，已知的面積是的2倍，則中點(diǎn)到軸的距離的最小值為（）A. B.1 C. D。2【答案】B【解析】【分析】由題可知，準(zhǔn)線方程為，設(shè),可得，分類討論，當(dāng)軸時(shí)，可得中點(diǎn)到的距離為；當(dāng)不垂直于軸時(shí),求出直線的方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式以及弦長公式求出的面積，在求出的面積，根據(jù)兩個(gè)三角形的面積關(guān)系可得，中點(diǎn)到軸的距離為，利用基本不等式即可求解.【詳解】由題可知，準(zhǔn)線方程為,如圖：設(shè)，則，當(dāng)軸時(shí)，其中點(diǎn)到的距離為.當(dāng)不垂直于軸時(shí)，直線的方程為：，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，而,所以有,又，因?yàn)橐阎拿娣e是的2倍，即，化簡可得(不合題意舍去）或，中點(diǎn)到軸的距離（，不能取等號(hào))綜上，中點(diǎn)到軸的距離最小值為1.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式以及基本不等式求最值，考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題。10.如圖所示,設(shè),是某拋物線上相異兩點(diǎn)，將拋物線在，之間的弧線與線段圍成的區(qū)域記為；弧線上取一點(diǎn)，使拋物線在點(diǎn)處的切線與線段平行，則三角形內(nèi)部記為區(qū)域.古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家阿基米德在公元前3世紀(jì),巧妙地證明了與兩區(qū)域的面積之比為常數(shù)，并求出了該常數(shù)的值。以拋物線上兩點(diǎn)，之間的弧線為特例，探求該常數(shù)的值，并計(jì)算:向區(qū)域內(nèi)任意投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在內(nèi)的概率是（）A。 B. C。 D.【答案】B【解析】【分析】首先利用定積分求出曲邊梯形的面積，然后再求出三角形的面積，由幾何概型的概率計(jì)算公式即可求解?！驹斀狻恳字?拋物線在，之間的部分與兩個(gè)端點(diǎn)的連線段圍成的區(qū)域的面積為,顯然，拋物線在原點(diǎn)處的切線與，的連線平行,故以,，為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域面積為，根據(jù)題意，由幾何概型的概率模型可知，所求概率為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型的概率模型，同時(shí)考查了定積分求曲邊梯形，屬于基礎(chǔ)題.11.已知雙曲線：,為坐標(biāo)原點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為，。若為直角三角形，則(）A。 B。 C. D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】求出雙曲線的漸近線方程,求出直線方程，求出,的坐標(biāo),然后求解【詳解】如圖：雙曲線方程為，，，即，漸近線方程為，兩條漸近線的夾角為。過右焦點(diǎn)直線與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為，，為直角三角形，,或，由漸近線的對(duì)稱性可知，兩種情況下長度相同，不妨設(shè)，如圖，，，,，.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程，直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求雙曲線的漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題。12。已知正方體棱長為1，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是面所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則三棱錐的體積的最大值是（）A. B。 C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得，,以為原點(diǎn)，分別為軸和軸建立平面直角坐標(biāo)系，由設(shè)，則有，由即可求解.【詳解】由，可知，即，而是的中點(diǎn),故以為原點(diǎn),分別為軸和軸建立平面直角坐標(biāo)系，由設(shè)，則有化簡可得:，可知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，故.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了列方程求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,解題的關(guān)鍵是建立等量關(guān)系，屬于中檔題。二、填空題：本大題共4小題,每小題5分，共20分.請將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置。13。7個(gè)大小、材質(zhì)完全相同小球分別編號(hào)1,2，4,5，6，9，10，現(xiàn)從中取出3個(gè)，則它們編號(hào)之和為奇數(shù)的取法共有______種.【答案】19【解析】【分析】由題中給出7個(gè)小球中,編號(hào)為奇數(shù)的小球有個(gè),編號(hào)為偶數(shù)的小球有個(gè)，分類求解，個(gè)奇數(shù)、個(gè)偶數(shù)或個(gè)奇數(shù)、個(gè)偶數(shù)，利用組合數(shù)即可求解.【詳解】由題中給出7個(gè)小球中,編號(hào)為奇數(shù)的小球有個(gè)，編號(hào)為偶數(shù)的小球有個(gè)，如果取出的三個(gè)小球編號(hào)之和為奇數(shù)，有以下兩種情況：第一類，個(gè)奇數(shù),個(gè)偶數(shù)，對(duì)應(yīng)的不同取法共有;第二類，個(gè)奇數(shù),個(gè)偶數(shù)，對(duì)應(yīng)的不同取法共有根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，所求的取法數(shù)為.故答案為：19【點(diǎn)睛】本題考查了組合數(shù)的計(jì)算公式以及分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.14.有4個(gè)命題：①“若，則”的逆命題;②“能被5整除的數(shù)末位數(shù)字一定是0”或“能被5整除的數(shù)末位數(shù)字一定是5”;③“”是“”的充分條件;④“存在，使得”的否定。則上述命題中，所有真命題的序號(hào)是______?！敬鸢浮竣邰堋窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)不等式的性質(zhì)可判斷①；利用“或”聯(lián)結(jié)詞命題的真假表即可判斷②;根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性可判斷③；利用輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷④?！驹斀狻竣佼?dāng)或時(shí),由無法推出，故①假命題；②邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”連接的兩個(gè)命題均為假命題，故②是假命題；③由于反比例函數(shù)為減函數(shù)，故可推出,故③是真命題;④由于，故這樣不存在，故④為真命題;故答案為：③④【點(diǎn)睛】本題考查了判斷命題的真假,同時(shí)考查了“或”聯(lián)結(jié)詞命題的真假表、不等式的性質(zhì)、輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.15.已知實(shí)數(shù)，滿足,則的取值范圍是______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥孔鞒黾s束條件的可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義即可求解?！驹斀狻坑深}意可知,作出約束條件的可行域（陰影部分）,故可以理解成可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的倍，觀察圖形可知。故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，解題的關(guān)鍵是作出約束條件的可行域以及目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題。16.已知函數(shù),若對(duì)恒成立，則的值為______.【答案】-2【解析】【分析】令，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增,從而可得函數(shù)在上為正,在為負(fù),為正，進(jìn)而判斷出方程的兩根為，利用韋達(dá)定理即可求解.【詳解】令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減，故，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí),,所以時(shí),，同時(shí)，則，可知函數(shù)在上為正，在為負(fù),為正,故方程的兩根為，即，故,故答案為：—2【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想,屬于中檔題.三、解答題：本大題共6小題，共計(jì)70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17。設(shè)數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1)；（2）【解析】【詳解】(1）……以上各式相加得:∴（2)兩式相減得∴18。已知平行四邊形中，，,,是線段的中點(diǎn)，沿將翻折到，使得平面平面。(1）求證:平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1)首先證出，再利用面面垂直的性質(zhì)定理即可證出.（2)以為原點(diǎn)，,，所在直線分別為，,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】（1）由題意可知,,，即，故.因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面?2）由(1）知平面，且,以為原點(diǎn)，，,所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，。由于是線段的中點(diǎn)，所以在平面中，，。設(shè)平面的法向量為，則,即，令,得，所以平面的一個(gè)法向量為，而平面的一個(gè)法向量為.故，易知二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的性質(zhì)定理以及空間向量法求二面角，解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，屬于基礎(chǔ)題。19.在中，,，分別是角，,的對(duì)邊，且，，成等差數(shù)列。（1）若，，成等差數(shù)列，求的值;（2）若，求的值。【答案】（1)；（2）【解析】【分析】（1)利用等差中項(xiàng)可得，解方程即可求解.（2)由題意可得，利用正弦定理以及二倍角公式可得,再利用三角形的內(nèi)角和性質(zhì)可得,進(jìn)而可得，利用兩角和的公式化簡即可求解。【詳解】(1）根據(jù)題意，，①－②×2,得，即代入①，得，故為等邊三角形,因此：；（2）根據(jù)題意：，由①及正弦定理得，④，由③得，⑤，又在中,⑥，把⑤⑥代入④中可得：，即⑦，又，利用及，⑦式可化簡得，，即，由題可知為銳角，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng)、正弦定理以及兩角和的正弦公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.20.某書店今年5月上架10種新書,且它們的首月銷量(單位:冊）情況為：100，50，100，150，150，100，150,50，100，100，頻率為概率，解答以下問題:（1）若該書店打算6月上架某種新書，估計(jì)它首月銷量至少為100冊的概率；(2）若某種最新出版的圖書訂購價(jià)為10元/冊，該書店計(jì)劃首月內(nèi)按12元/冊出售，第二個(gè)月起按8元/冊降價(jià)出售，降價(jià)后全部存貨可以售出。試確定，該書店訂購該圖書50冊，100冊，還是150冊有利于獲得更多利潤？【答案】(1）0。8；（2）100冊【解析】【分析】(1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)求出銷量達(dá)到100冊的頻率即可求解。(2）該圖書首月銷量為50冊,100冊,150冊的概率分別可以估計(jì)為0。2,0。5,0。3.且在首月內(nèi)，該圖書獲利情況為2元/冊；降價(jià)處理時(shí),該圖書獲利情況為—2元/冊，分類討論，分別計(jì)算出訂購該圖書50冊、銷量為100冊、150冊的數(shù)學(xué)期望，即可求解.【詳解】(1）10種圖書中，有8種首月銷量達(dá)到100冊，頻率為，故所求概率可估計(jì)為0.8；(2）類似（1）的解法，可知該圖書首月銷量為50冊，100冊，150冊的概率分別可以估計(jì)為0.2，0。5，0.3.且在首月內(nèi)，該圖書獲利情況為2元/冊；降價(jià)處理時(shí)，該圖書獲利情況為-2元/冊。①若該書店訂購該圖書50冊，則該書必可在首月內(nèi)售罄，故獲利情況為元；②若該書店訂購該圖書100冊，設(shè)該書獲得的利潤為隨機(jī)變量，則當(dāng)首月銷量為50冊(概率0.2）時(shí)，訂購的圖書中首月銷售50冊，降價(jià)處理50冊,,當(dāng)首月銷量為100冊或150冊(概率0。8）時(shí)，100冊圖書均可在首月售出,故，故；③若該書店訂購該圖書150冊，類似②，可得該書獲得的利潤的數(shù)學(xué)期望.對(duì)照①②③可知，該書店訂購該圖書100冊有利于獲得更多利潤.【點(diǎn)睛】本題考查了概率的求法、數(shù)學(xué)期望,考查了分類討論的思想,屬于基礎(chǔ)題.21。設(shè)橢圓:的左右焦點(diǎn)分別為，,離心率，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的長為。（1)求橢圓的方程；（2）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線：不過點(diǎn)且與橢圓交于、兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，求證：直線過定點(diǎn).【答案】(1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）設(shè)橢圓的焦半距為，由題意可得,解方程即可求解.（2)設(shè)出直線方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消，設(shè)，，利用韋達(dá)定理求出兩根之和、兩根之積,由,