雙線性變換法IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——雙線性變換法IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字信號(hào)處理試驗(yàn)報(bào)告

試驗(yàn)名稱：雙線性變換法IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)試驗(yàn)時(shí)間2023年12月19日學(xué)號(hào)：成績：

202311103207

評(píng)語：

姓名：張錦龍

一、試驗(yàn)?zāi)康?/p>

1、把握用雙線性變換法設(shè)計(jì)低通IIR數(shù)字濾波器的基本原理和算法。

2、把握用雙線性變換法設(shè)計(jì)高通和帶通IIR數(shù)字濾波器的基本原理和算法。3、進(jìn)一步了解數(shù)字濾波器和模擬濾波器的頻率響應(yīng)特性。

二、試驗(yàn)原理與計(jì)算方法

１、雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR低通數(shù)字濾波器的基本原理和算法

雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，采用了二次映射的方法，就是先將整個(gè)s平面壓縮到

??s1平面的一個(gè)?j~j的橫形條帶范圍內(nèi)，然后再將這個(gè)條帶映射到z平面上，就能建

TT立s平面到z平面的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)于低通數(shù)字濾波器，映射關(guān)系為

21?z?12?1?zs?(1)?T1?z?1T1?z其中T為抽樣周期。

用雙線性變換法設(shè)計(jì)低通IIR數(shù)字濾波器的基本步驟，首先根據(jù)設(shè)計(jì)要求確定相應(yīng)的模擬濾波器的傳遞函數(shù)Ha(s)，再應(yīng)用(1)式得數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(z)

H(z)?Ha(s)s?2?1?z(2)

T1?z尋?？梢越o定的參數(shù)為：低通數(shù)字濾波器通帶邊界頻率?1p?2?fp、阻帶邊界頻率

?1s?2?fs和對(duì)應(yīng)的通帶衰減函數(shù)?p、阻帶衰減函數(shù)?s。s1平面中的模擬角頻率?1與數(shù)字角頻率?的關(guān)系為線性關(guān)系???1T，在計(jì)算模擬濾波器的階數(shù)N、極點(diǎn)si和傳遞函數(shù)Ha(s)之前，應(yīng)作預(yù)畸變處理

?T22?fT2??tan1?tan(3)

T2T2模擬濾波器的階數(shù)N、極點(diǎn)si和傳遞函數(shù)Ha(s)的計(jì)算方法與沖激響應(yīng)不變法一致，可以采用Butterworth迫近或Chebyshev迫近。

２、雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR高通、帶通、帶阻數(shù)字濾波器的基本原理和算法

由于雙線性變換法獲得的數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)特性中不會(huì)出現(xiàn)混疊現(xiàn)象，因此可以適用于高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)尋常要借助于模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)，由原型低通濾波器到其他形式（高通、帶通、帶阻）IIR數(shù)字濾波器的頻帶變換有模擬頻帶變換法和數(shù)字頻帶變換法。（1）模擬頻帶變換法

首先將給定的對(duì)數(shù)字濾波器(DF)的技術(shù)要求轉(zhuǎn)換為一個(gè)低通模擬濾波器(AF)的技術(shù)

要求，根據(jù)這種要求用某種迫近設(shè)計(jì)出原型的低通模擬濾波器(LPAF)，計(jì)算出模擬濾波器的階數(shù)N、極點(diǎn)si和傳遞函數(shù)Ha(s)，再依照雙線性變換的變換關(guān)系，將模擬濾波器的傳遞函數(shù)Ha(s)轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(z)。

表8-1中列出了將給定的對(duì)數(shù)字濾波器(DF)的技術(shù)要求直接轉(zhuǎn)換為對(duì)一個(gè)低通模擬濾波器(AF)的技術(shù)要求的頻率預(yù)畸變校正關(guān)系和轉(zhuǎn)換公式。

表8-1雙線性變換和頻率預(yù)校正的計(jì)算公式變換類型低通變換變換關(guān)系頻率預(yù)校正備注s??1?z1?z高通變換1?zs??1?z帶通變換s?1?2zcos?0?z2?1?z22?tanT2?p2?p?tanT22?pT1?s??2tans2cos?0?cos?2?p?sin?2cos?0?cos?s?s?sin?s????2?fT其中，T為抽樣周期，f為模擬頻率中心頻率sin(?1??2)sin?1?sin?2其中，?1,?2分別為數(shù)字帶通cos?0?濾波器通帶的上下邊界角頻率，或數(shù)字帶阻濾波器阻帶的上下邊界角頻率。帶阻變換?1?z2s?21?2zcos?0?zΩp?Ωs?sin?2cos?0?cos?2sin?scos?0?cos?s例：數(shù)字高通濾波器的設(shè)計(jì)

首先將給定的數(shù)字高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)根據(jù)公式轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，利用cheb1ord(Wp,Ws,ap,as,'s')函數(shù)求出chebyshev模擬低通濾波器的階數(shù)N，再利用cheb1ap(N,ap)函數(shù)求出模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的零極點(diǎn)，zp2tf(z,p,k)函數(shù)將零極點(diǎn)轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)；然后利用lp2hp由模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)得到模擬帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，bilinear函數(shù)則用于實(shí)現(xiàn)雙線性變換法由模擬帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)計(jì)算數(shù)字?jǐn)?shù)字帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)的系數(shù)。（2）數(shù)字頻帶變換法

首先將給定的對(duì)數(shù)字濾波器(DF)的技術(shù)要求轉(zhuǎn)換為一個(gè)低通模擬濾波器(AF)的技術(shù)要求，用雙線性變換法將原型的低通模擬濾波器(LPAF)映射為低通數(shù)字濾波器，再將數(shù)字低通濾波器根據(jù)相應(yīng)的變換公式經(jīng)頻帶變換到各型數(shù)字濾波器。例：數(shù)字高通濾波器的設(shè)計(jì)

函數(shù)[bhp,ahp]=zmapping(blp,alp,Nz,Dz)用來實(shí)現(xiàn)從數(shù)字低通濾波器得到數(shù)字高通濾波器的有理函數(shù)。

%數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)

>>wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;Rp=1;As=15;%對(duì)應(yīng)的模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)

>>T=1;Fs=1/T;Wp=(2/T)*tan(wp/2);=(2/T)*tan(ws/2);

>>[cs,cd]=afd_chb1(Wp,Ws,Rp,As);%Chebyshev模擬濾波器>>[blp,alp]=bilinear(cs,cd,Fs)%雙線性變換

>>wphp=0.6*pi;%數(shù)字高通濾波器截止頻率%低通－高通頻帶變換

>>alpha=-(cos((wplp+wphp)/2))/(cos((wplp+wphp)/2))>>Nz=-[alpha,1];Dz=[1,alpha];

>>[bhp,ahp]=zmapping(blp,alp,Nz,Dz)%數(shù)字高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)（3）IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

可利用MATLAB提供的函數(shù)直接設(shè)計(jì)相應(yīng)的數(shù)字濾波器。

函數(shù)buttord和cheb1ord用來根據(jù)給定的技術(shù)指標(biāo)求出濾波器的階數(shù)N和邊界頻率wn，butter和cheby1則根據(jù)階數(shù)和邊界頻率設(shè)計(jì)相應(yīng)的數(shù)字濾波器。輸入的參數(shù)不同則所設(shè)計(jì)的濾波器類型不同。

[N,wn]=buttord(wp,ws,Rp,As);[N,wn]=cheb1ord(wp,ws,Rp,As);[b,a]=butter(N,wn);[b,a]=cheby1(N,Rp,wp);

三、試驗(yàn)內(nèi)容

（1）ChebyshevIIR數(shù)字帶通濾波器滿足如下技術(shù)指標(biāo)

低阻帶邊界頻率fs1?100Hz，高阻帶邊界頻率fs1?600Hz，阻帶衰減函數(shù)?s?18dB低通帶邊界頻率fp1?200Hz，高通帶邊界頻率fp2?400Hz，通帶波動(dòng)??2dB抽樣頻率f?2000Hz,記錄所得的模擬濾波器的階數(shù)N，畫出模擬濾波器和數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)的幅頻和相頻特性曲線。

A.試驗(yàn)代碼：

fs1=100;fs2=600;fp1=200;fp2=400;fsa=2000;As=18;Rp=2;

T=1./fsa%對(duì)應(yīng)的模擬濾波器技術(shù)指w1=2.*pi.*(fp1./fsa)%Chebyshev模擬濾波器w2=2.*pi.*(fp2./fsa)

wp1=2*pi*fp1*T;wp2=2*pi*fp2*Tws2=2.*pi.*(fs2./fsa)

cosw0=(sin(w1+w2))./(sin(w2)+sin(w1))w0=acos(cosw0);bw=wp2-wp1Wp=(cosw0-cos(w2))./sin(w2)Ws=(cosw0-cos(ws2))./sin(ws2)

[N,omgn]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,As,'s')%返回模擬低通濾波器階數(shù)N和邊界頻率

[z,p,k]=cheb1ap(N,Rp)%得系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)[blp,alp]=zp2tf(z,p,k);%由零極點(diǎn)得系數(shù)

[bhp,ahp]=lp2bp(blp,alp,w0,bw)%模擬低通到模擬帶通

[bdf,adf]=bilinear(bhp,ahp,1)%雙線性變換將模擬帶通濾波器器轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器

[BPA,wa]=freqs(bhp,alp,fsa);[BPD,wd]=freqz(bdf,adf,fsa);subplot(2,2,1);plot(abs(BPA));

title('模擬帶通濾波器幅頻特性')subplot(2,2,2);plot(angle(BPA));

title('模擬帶通濾波器相頻特性')subplot(2,2,3);plot(abs(BPD));

title('數(shù)字帶通濾波器幅頻特性')subplot(2,2,4);plot(angle(BPD));

title('數(shù)字帶通濾波器相頻特性')

試驗(yàn)截圖：

（2）ChebyshevIIR數(shù)字帶阻濾波器滿足如下技術(shù)指標(biāo)

低阻帶邊界頻率fs1?1000Hz，高阻帶邊界頻率fs1?2000Hz，阻帶衰減函數(shù)?s?20dB低通帶邊界頻率fp1?500Hz，高通帶邊界頻率fp2?3000Hz，通帶波動(dòng)??3dB抽樣頻率f?10kHz,記錄所得的模擬濾波器的階數(shù)N，畫出模擬濾波器和數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)的幅頻和相頻特性曲線。

試驗(yàn)代碼：

fs1=1000;fs2=2000;fp1=500;fp2=3000;fsa=10000;As=18;Rp=2;

T=1./fsa%對(duì)應(yīng)的模擬濾波器技w1=2.*pi.*(fp1./fsa);%Chebyshev模擬濾波器

w2=2.*pi.*(fp2./fsa)

wp1=2*pi*fp1*T;wp2=2*pi*fp2*Tws2=2.*pi.*(fs2./fsa)

cosw0=(sin(w1+w2))./(sin(w2)+sin(w1))w0=acos(cosw0);bw=wp2-wp1Wp=(cosw0-cos(w2))./sin(w2)Ws=(cosw0-cos(ws2))./sin(ws2)

[N,omgn]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,As,'s')%返回模擬低通濾波器階數(shù)N和邊界頻率?n

[z,p,k]=cheb1ap(N,Rp)%得系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)[blp,alp]=zp2tf(z,p,k)%由零極點(diǎn)得系數(shù)

[bhp,ahp]=lp2bs(blp,alp,w0,bw)%模擬低通到模擬帶通

[bdf,adf]=bilinear(bhp,ahp,1)%雙線性變換將模擬帶通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器

[BPA,wa]=freqs(bhp,alp,fsa)[BPD,wd]=freqz(bdf,adf,fsa)subplot(2,2,1);plot(abs(BPA