2023年高考最后一輪復(fù)習(xí)微專題15 立體幾何中的截面、范圍與最值、軌跡問題（原卷版）

微專題15立體幾何中的截面、范圍與最值、軌跡問題【秒殺總結(jié)】1、立體圖形中的截面問題：（1）利用平面公理作出截面；（2）利用幾何知識求面積或體積.2、立體幾何中距離之和的最值問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠求得關(guān)于平面的對稱點，從而利用三角形兩邊之和大于第三邊的特點確定當(dāng)三點共線時取得最小值.3、對于立體幾何中的動點問題，常需動中覓靜，這里的"靜"是指問題中的不變量或者是不變關(guān)系，動中覓靜就是在運動變化中探索問題中的不變性."靜"只是"動"的瞬間，是運動的一種特殊形式，然而抓住"靜"的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形，問題便迎刃而解.【典型例題】例1．（2023秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意獨特的幾何體，圖1所示的禮品包裝盒就是其中之一．該禮品包裝盒可以看成是一個十面體，其中上、下底面為全等的正方形，所有的側(cè)面是全等的等腰三角形．將長方體的上底面繞著其中心旋轉(zhuǎn)45°得到如圖2所示的十面體．已知，，，過直線作平面，則十面體外接球被平面所截的截面圓面積的最小值是（

）A． B． C． D．例2．（2023春·河北石家莊·高三石家莊二中?？奸_學(xué)考試）已知為圓錐底面圓的直徑（為頂點，為圓心），點為圓上異于的動點，，則下列結(jié)論正確的為（

）A．圓錐的側(cè)面積為B．的取值范圍為C．若為線段上的動點，則D．過該圓錐頂點的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為例3．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）正四棱臺中，，側(cè)棱與底面所成角為分別為，的中點，為線段上一動點（包括端點），則下列說法正確的是（

）A．該四棱臺的體積為 B．三棱錐的體積為定值C．平面截該棱臺所得截面為六邊形 D．異面直線與所成角的余弦值為例4．（2023秋·山東德州·高三統(tǒng)考期末）正方體的棱長是，、分別是、的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長是C．平面截正方體所得的截面周長是D．與平面所成的角的正切值是例5．（2023春·廣東汕頭·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知正方體的棱長均為為線段的中點,,其中,則下列選項正確的是（

）A．當(dāng)時,B．當(dāng)時,的最小值為C．若直線與平面所成角為,則點的軌跡長度為D．當(dāng)時,正方體被平面截的圖形最大面積為例6．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？计谀┰谡襟w中，分別為棱中點，為近C三等分點，P在面上運動，則（

）A．∥平面B．若，則C點到平面PBH的距離與P點位置有關(guān)C．D．若，則P點軌跡長度為例7．（2023春·河北石家莊·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）在三棱錐P-ABC中，，點M，N分別是PB，BC的中點，且，則平面AMN截三棱錐P-ABC的外接球所得截面的面積是___________．例8．（2023秋·北京朝陽·高三統(tǒng)考期末）如圖，在棱長為a的正方體中，P，Q分別為的中點，點T在正方體的表面上運動，滿足．給出下列四個結(jié)論：①點T可以是棱的中點；②線段長度的最小值為；③點T的軌跡是矩形；④點T的軌跡圍成的多邊形的面積為．其中所有正確結(jié)論的序號是__________．例9．（2023春·云南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點M，N的距離之比為定值的點的軌跡是圓”，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系中，，點P滿足．則點P的軌跡方程為____________；在三棱錐中，平面，且，該三棱錐體積的最大值為______________．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·北京順義·統(tǒng)考一模）在棱長為1的正方體中，動點P在棱上，動點Q在線段上、若，則三棱錐的體積（

）A．與無關(guān)，與有關(guān) B．與有關(guān)，與無關(guān)C．與都有關(guān) D．與都無關(guān)2．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在三棱錐A－BCD中，，∠ADC＝∠ABC＝90°，平面ABC⊥平面ACD，三棱錐A－BCD的所有頂點都在球O的球面上，E，F(xiàn)分別在線段OB，CD上運動（端點除外），．當(dāng)三棱錐E－ACF的體積最大時，過點F作球O的截面，則截面面積的最小值為（

）A．π B． C． D．2π3．（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面，為線段的中點，分別為線段和線段上任意一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．24．（2023秋·河北保定·高二統(tǒng)考期末）足球起源于中國古代的蹴鞠游戲．“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，已知某“鞠”的表面上有四個點，滿足，面ABC，⊥，若，則該“鞠”的體積的最小值為（

）A． B． C． D．5．（2023秋·北京密云·高二統(tǒng)考期末）在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，且滿足，點滿足，其中，，則下列說法不正確的是（

）A．當(dāng)時，的面積的最大值為B．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時，有且僅有一個點，使得D．當(dāng)時，存在點，使得平面6．（2023·河南信陽·河南省信陽市第二高級中學(xué)校聯(lián)考一模）在棱長為2的正方體中，M為中點，N為四邊形內(nèi)一點（含邊界），若平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．三棱錐的體積為C．線段最小值為 D．的取值范圍為7．（2023·北京·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知正三棱錐的側(cè)棱長為，底面邊長為，則以為球心，2為半徑的球面與正三棱錐表面的交線長為（

）A． B． C． D．8．（2023秋·北京·高二清華附中?？计谀┤鐖D，在正方體中，為棱的中點．動點沿著棱從點向點移動，對于下列四個結(jié)論：①存在點，使得；②存在點，使得平面；③的面積越來越小；④四面體的體積不變．其中，所有正確的結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．49．（2023·河南鄭州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在正方體中，O，F(xiàn)分別為，的中點，點P為棱上的動點（不含端點），設(shè)二面角的平面角為，直線OF與平面所成角為，則（

）A． B． C． D．以上均有可能10．（2023·河南鄭州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）祖暅原理也稱祖氏原理，是一個涉及求幾何體體積的著名數(shù)學(xué)命題.公元656年，唐代李淳風(fēng)注《九章算術(shù)》時提到祖暅的開立圓術(shù)，祖暅在求球體積時，使用一個原理：“冪勢既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積相等，那么這兩個幾何體的體積相等，上述原理在中國被稱為祖暅原理，國外則一般稱之為卡瓦列利原理，已知將雙曲線與它的漸近線以及直線圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體I，將雙曲線C與直線圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體II，則關(guān)于這兩個旋轉(zhuǎn)體敘述正確的是（

）①由垂直于y軸的平面截旋轉(zhuǎn)體II，得到的截面為圓面②旋轉(zhuǎn)體II的體積為③將旋轉(zhuǎn)體I放入球中，則球的表面積的最小值為④旋轉(zhuǎn)體I的體積為A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體中，為內(nèi)一點，且，設(shè)直線與所成的角為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線平面，垂足是，正四面體的棱長為4，點在平面上運動，點在直線上運動，則點到直線的距離的取值范圍是（

）A． B．C． D．13．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）如圖，棱長為1的正方體中，為線段的中點，、分別為體對角線和棱上任意一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．214．（2023秋·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）在棱長為的正方體中，是正方體外接球的直徑，點是正方體表面上的一點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在正四棱臺中，，．當(dāng)該正四棱臺的體積最大時，其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．16．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在三棱錐中，平面，，，則三棱錐外接球表面積的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題17．（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）已知正方體的棱長為，，，其中，，則下列說法中正確的有（

）A．若平面，則 B．若平面，則C．存在，，使得 D．存在，使得對于任意的，都有18．（2023秋·浙江·高二期末）在矩形中，，為的中點，將沿直線翻折至的位置，則（

）A．翻折過程中，直線與所成角的余弦值最大為B．翻折過程中，存在某個位置的，使得C．翻折過程中，四棱錐必存在外接球D．當(dāng)四棱椎的體積最大時，以為直徑的球面被平面截得交線長為19．（2023秋·湖北武漢·高二校聯(lián)考期末）已知為圓錐的頂點，為圓錐底面圓的圓心，為線段的中點，為底面圓的直徑，是底面圓的內(nèi)接正三角形，，則下列說法正確的是（

）A．B．⊥平面C．在圓錐側(cè)面上，點A到中點的最短距離為3D．圓錐內(nèi)切球的表面積為20．（2023秋·廣東廣州·高二廣東實驗中學(xué)?？计谀┮阎襟w的邊長為2，E為正方體內(nèi)（包括邊界）上的一點，且滿足，則下列說正確的有（

）A．若E為面內(nèi)一點，則E點的軌跡長度為B．過AB作面使得，若，則E的軌跡為橢圓的一部分C．若F，G分別為，的中點，面FGBA，則E的軌跡為雙曲線的一部分D．若F，G分別為，的中點，DE與面FGBA所成角為，則的范圍為21．（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖1，在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點，O為DE的中點，，．將△ADE沿DE折起到△的位置，如圖2．則正確的有（

）A．當(dāng)折起使得面面BCED時，B．幾何體的最大體積是4C．DE與面始終平行D．與平面BCED所成角的范圍是22．（2023秋·貴州黔東南·高二凱里一中?？计谀┤鐖D，在棱長為2的正方體中，點滿足，其中，則下列結(jié)論正確的是（

）A．有且僅有一點，使得B．的周長與的大小有關(guān)C．三棱錐的體積與的大小有關(guān)D．當(dāng)時，直線與平面所成的角的正弦值為三、填空題23．（2023秋·湖北·高三湖北省云夢縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）2022年12月3日，南昌市出士了東漢六棱錐體水晶珠靈擺吊墜如圖（1）所示.現(xiàn)在我們通過DIY手工制作一個六棱錐吊墜模型．準(zhǔn)備一張圓形紙片，已知圓心為O，半徑為，該紙片上的正六邊形的中心為為圓O上的點，如圖（2）所示．分別是以為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以為折痕折起，使重合，得到六棱錐，則當(dāng)六棱錐體積最大時，底面六邊形的邊長為___________．24．（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考期末）如圖正方體的棱長是3，E是上的動點，P、F是上、下兩底面上的動點，Q是EF中點，，則的最小值是______．25．（2023秋·浙江寧波·高二校聯(lián)考期末）已知四棱錐的底面為邊長為2的正方形，分別為和的中點，則平面上任意一點到底面中心距離的最小值為__________.26．（2023秋·北京豐臺·高二北京市第十二中學(xué)?？计谀┤鐖D，在直三棱柱中，，，，，．記，給出下列四個結(jié)論：①對于任意點H，都存在點P，使得平面平面；②的最小值為；③滿足的點P有無數(shù)個；④當(dāng)取最小時，過點A，H，P作三棱柱的截面，則截面面積為．其中所有正確結(jié)論的序號是________．27．（2023春·江蘇南通·高三?？奸_學(xué)考試）在直四棱柱中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱，M為側(cè)棱的中點，N在側(cè)面矩形內(nèi)(異于點)，則三棱錐體積的最大值為____________.28．（2023秋·北京昌平·高三統(tǒng)考期末）已知正三棱錐的六條棱長均為是底面的中心，用一個平行