【課件】分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（二）+課件高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊+-

6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理(二）

分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理聯(lián)系區(qū)別注意都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題是方法的分類:“類類獨立”即每類方法中的每一種方法都能獨立地完成這件事是過程的分步：“步步相依”即各個步驟是相互依存的，必須每步都完成了，才算做完這件事分類要“不重不漏”分步要“步驟完整”復習回顧復習回顧解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：

第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；

第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)為

N＝3×2=6.這6種掛法如右圖所示.例4要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有多少種不同的掛法?.乙乙丙甲右邊丙乙甲左邊得到的掛法甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙甲丙例5給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后兩個要求用數(shù)字1~9，最多可以給多少個程序命名？解2:

首字符用A~G給程序命名的個數(shù)為7×9×9＝567.首字符用U~Z給程序命名的個數(shù)為6×9×9＝486.∴總的不同名稱的個數(shù)是567＋486＝1053.思考你還能給出不同的解法嗎?解:由分類加法計數(shù)原理，首字符不同選法的種數(shù)為

7＋6＝13.

后兩個字符從1~9中選，因為數(shù)字可以重復，所以不同選法的種數(shù)都為9.

由分步乘法計數(shù)原理，不同名稱的個數(shù)是

13×9×9＝1053，即最多可以給1053個程序模塊命名.例6

電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)．因此計算機內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進制．為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用1個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由8個二進制位構成．（1）1個字節(jié)（8位）最多可以表示多少個不同的字符？（2）計算機漢字國標碼包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示？…第1

位第2

位第3

位第8

位解:(1)2

種2

種2

種2

種由分步乘法計數(shù)原理，1個字節(jié)最多可以表示不同的字符個數(shù)是2×2×2×2×2×2×2×2＝28＝256.(2)由(1)知，1個字節(jié)所能表示的不同字符不夠6763個，我們考慮2個字節(jié)能夠表示多少個字符.前1個字節(jié)有256種不同的表示方法，后1個字節(jié)也有256種表示方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，2個字節(jié)可以表示不同字符的個數(shù)是256×256=65536這已經(jīng)大于漢字國標碼包含的漢字個數(shù)6763.因此要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用2個字節(jié)表示.例6

電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)．因此計算機內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進制．為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用1個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由8個二進制位構成．（1）1個字節(jié)（8位）最多可以表示多少個不同的字符？（2）計算機漢字國標碼包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示？1.某電話局管轄范圍內(nèi)的電話號碼由8位數(shù)字組成，其中前4位的數(shù)字是不變的，后4位數(shù)字都是0~9中的一個數(shù)字，這個電話局不同的電話號碼最多有多少個?解：104＝10000(個).2.從5名同學中選出正、副組長各1名，有多少種不同的選法?解：5×4＝20(種).3.從1,2,

???,19,20中任選一個數(shù)作被減數(shù)，再從1,2,???,10中任選一個數(shù)作減數(shù)，然后寫成一個減法算式，共可得到多少個不同的算式?解：20×10＝200(個).課本P7解1：被5除余2的正整數(shù)的個位是2或7.

當滿足條件的數(shù)是一位數(shù)時，滿足條件的個數(shù)有2個；

當滿足條件的數(shù)是兩位數(shù)時，滿足條件的個數(shù)有9×2＝18個；

當滿足條件的數(shù)是三位數(shù)時，滿足條件的個數(shù)有4×10×2＝80個.所以滿足條件的數(shù)共有100個.4.在1,2,

???,500中，被5除余2的數(shù)共有多少個?解2：被5除余2的數(shù)可以表示為5k＋2(k為整數(shù)).由1≤5k＋2≤500，解得0≤k≤99，滿足條件的k值有100個，所以滿足條件的數(shù)共有100個.解：滿足條件的三位數(shù)有5×5×5＝125個.5.由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個三位數(shù)(各位上的數(shù)字可以重復)?課本P7解：(1)由分步計數(shù)原理得，所求三位數(shù)共有5×5×4＝100個．鞏固練習用0,1,2,3,4,5這6個數(shù)字：(1)可以組成______個數(shù)字不重復的三位數(shù);(2)可以組成______個數(shù)字允許重復的三位數(shù);(2)由分步計數(shù)原理得，所求三位數(shù)共有5×6×6＝180個．解：由分類加法計數(shù)原理，子模塊1、子模塊2、子模塊3中的子路徑條數(shù)共為18+45+28=91子模塊4、子模塊5中的子路徑條數(shù)共38+43=81又由分步乘法計數(shù)原理，整個模塊的執(zhí)行路徑條數(shù)共為91×81=7371例7計算機編程人員在編寫好程序以后需要對程序進行測試.程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑(程序從開始到結束的路線)，以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù).一般地，一個程序模塊由許多子模塊組成.下圖是一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊，它有多少條執(zhí)行路徑?

再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，只需要測試程序第1步中的各個子模塊和第2步中的各個子模塊之間的信息交流是否正常，需要的測試次數(shù)為3×2=6.如果每個子模塊都工作正常，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么整個程序模塊就工作正常，這樣，測試整個模塊的次數(shù)就變?yōu)?72+6=178.顯然，178與7371的差距是非常大的.

他可以先分別單獨測試5個模塊，以考察每個子模塊的工作是否正常，總共需要的測試次數(shù)為18+45+28+38+43=172.

你看出了程序員是如何實現(xiàn)減少測試次數(shù)的嗎？？追問：為了減少測試時間，程序員需要設法減少測試次數(shù).你能幫助程序員設計一個測試方法，以減少測試次數(shù)嗎?例8通常，我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成:第一部分為用漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡稱和用英文字母表示的發(fā)牌機關代號，第二部分為由阿拉伯數(shù)字和英文字母組成的序號，如圖所示.其中，序號的編碼規(guī)則為:(1)由10個阿拉伯數(shù)字和除O，I之外的24個英文字母組成；(2)最多只能有2個英文字母.

如果某地級市發(fā)牌機關采用5位序號編碼，那么這個發(fā)牌機關最多能發(fā)放多少張汽車號牌?解:由號牌編號的組成可知，這個發(fā)牌機關所能發(fā)放的最多號牌數(shù)就是序號的個數(shù).根據(jù)序號編碼規(guī)則，5位序號可以分為三類：沒有字母，有1個字母，有2個字母.(1)當沒有字母時，序號的每一位都是數(shù)字，確定一個序號可以分5個步驟，每一步都可以從10個數(shù)字中選1個，各有10種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，這類號牌張數(shù)為10×10×10×10×10=100000(2)當有1個字母時，這個字母可以分別在序號的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，這類序號可以分為五個子類.

當?shù)?位是字母時,分5個步驟確定一個序號中的字母和數(shù)字:第1步,從24個字母中選1個放在第1位,有24種選法;第2～5步都是從10個數(shù)字中選1個放在相應的位置,各有10種選法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,號牌張數(shù)為24×10×10×10×10=240000

同樣，其余四個子類號牌也各有240000張.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這類號牌張數(shù)一共為

240000+240000+240000+240000+240000=1200000(3)當有2個字母時，根據(jù)這2個字母在序號中的位置，可以將這類序號分為十個子類：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.

當?shù)?位和第2位是字母時，分5個步驟確定一個序號中的字母和數(shù)字：第1,2步都是從24個字母中選1個分別放在第1位、第2位，各有24種選法；第3~5步都是從10個數(shù)字中選1個放在相應的位置，各有10種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，號牌張數(shù)為同樣，其余九個子類號牌也各有576000張.于是，這類號牌張數(shù)一共為576000×10=5760000.

24×24×10×10×10=576000.綜合(1)(2)(3),根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這個發(fā)牌機關最多能發(fā)放的汽車號牌張數(shù)為100000+1200000+5760000=7060000.歸納：用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在開始計算之前要仔細分析兩點:(1)要完成的“一件事”是什么;

(2)怎么完成這件事？需要分類還是需要分步.

分類要做到“不重不漏”.分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù).分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步驟，恰好完成任務.分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù).解：展開后共有3×3×5＝45項.1.乘積(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4+c5)展開后共有多少項?解：9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45(個).2.在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字小于十位數(shù)字的有多少個?3.某商場有6個門，如果某人從其中的任意一個門進人商場，并且要求從其他的門出去，那么共有多少種不同的進出商場的方式?解：進出商場的不同方式有6×5＝30(種).4.任意畫一條直線，在直線上任取n個分點.(1)從這n個分點中任取2個點形成一條線段，可得到多少條線段?(2)從這n個分點中任取2個點形成一個向量，可得到多少個向量?解：課本P11練習2運動會有跳高、跑步、游泳三個比賽項目，某班有四名同學報名參賽，要求每名同學只能參加一個項目，不同的報名方式共有（）A.4種B.24種C.43種D.34種

練習1四名同學，爭奪三項冠軍(每項沒有并列冠軍)，則冠軍獲得者可能有的種類是（）A.4B.24C.43D.34

CD鞏固練習練習3長方形的兩條對角線把長方形分成四部分，如圖用五種不同的顏色給這四部分涂色，每一部分涂一種顏色，任何相鄰（具有公共邊）的兩部分涂不同顏色，問有多少種不同的涂色方法？ABCD解1：若B,C同色，則不同的涂色方法有5×4×1×4＝80(種).(2)若B,C不同色，則不同的涂色方法有5×4×3×3＝180(種).綜上所述，由分類計數(shù)原理得：共有80＋180＝260(種).AB