角平分線加垂線

2.角平分線+垂線，等腰三角形比呈現(xiàn)輔助線：延長ED交射線OB于F 輔助線：過點E作EF〃射線OB.例題應用：.如圖1所示，在448。中，NABC=3NC,AD是NBAC的平分線，BE±AD于F。.已知：如圖2,在^6。中，/BAC的角平分線AD交BC于D,且AB=AD,作CM1AD交AD的延長線于M.求證：AM=1(AB+AC)^2

分析：此題很多同學可能想到延長線段CM,但很快發(fā)現(xiàn)與要證明的結論毫無關系。而此題突破口就在于AB=AD，由此我們可以猜想過C點作平行線來構造等腰三角形.證明：過點C作CE〃AB交AM的延長線于點E.例題變形:如圖，/1=/2,B為AC的中點，CM1FB于M,AN1FB于N.求證：①EF=2BM;②FB-^（FM+FN）.⑵.模型鞏固:練習一、如圖3,AABC是等腰直角三角形，NBAC=90°,BD平分NABC交AC于點D,CE垂直于BD,交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。B圖3練習一變形:如圖4,在4ODC中，/D=90°EC是/DCO的角平分線,且0E1CE過點E作EF10C交0C于點F.猜想：線段EF與0D之間的關系，并證明.圖4練習二、如圖5,已知4人3。中，CE平分/ACB,且AE±CE,ZAED+ZCAE=180度，求證：DE〃BC練習三、如圖6,AD±DC,BC±DC,E是DC上一點，AE平分/DAB,BE平分/ABC,求證：點E是DC中點。圖6

練習四、①、如圖7（a）,BD、CE分別是AABC的外角平分線，過點A作AD練習四、①、如圖7（a）,,AE1CE，垂足分別是D、E，連接DE.求證：DE〃BC圖,AE1CE，垂足分別是D、E，連接DE.求證：DE〃BC圖7（a）圖7（b）圖7（c）②、如圖7（b），BD、②、如圖7（b），③、如圖7⑹，BD為AABC的內角平分線，CE為AABC的外角平分線，其他條件不變則在圖7（b）、圖6（c）兩種情況下，DE與BC還平行嗎？它與AABC三邊又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜測，并證明你的結論.（提示：利用三角形中位線的知識證明線平行）練習五、如圖8,在直角三角形ABC中，/C=90。，/A的平分線交BC于D.自C作CG1AB交AD于E，交AB于G.自D作DF1AB于F，求證：CF1DE.圖8練習六、如圖9所示，在AABC中，AC>AB,M為BC的中點，AD是/BAC的平分線，若CF1AD且交AD的延長線于F，求證MF=1(AC-AB).2F圖9練習六變形一：如圖10所示，AD是^ABC中/BAC的外角平分線，CD1AD于D,E是1BC的中點，求證DE〃AB且DE=AB+AC).ABE圖10練習六變形二：如圖11所示，在AABC中，AD平分/BAC，AD=AB，CM1AD于M，求證AB+AC=2AM.圖11練習七、如圖12，在AABC中，/B=2/C，/BAC的平分線AD交BC與D.則有AB+BD=AC.那么如圖13,已知在AABC中，/ABC=3/C,Z1=Z2,BE1AE.求證：AC—AB=2BE.練習八、在△ABC中，AB=3AC,/BAC的平分線交BC于D，過