新疆2020屆高三年級5月第三次診斷性考試文科數(shù)學(xué)（問卷）試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精新疆2020屆高三年級5月第三次診斷性考試文科數(shù)學(xué)（問卷）試題含解析2020年高三年級第三次診斷性測試文科數(shù)學(xué)（問卷）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1。已知集合，，則(）A。 B。 C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】解不等式簡化集合的表示,用列舉法表示集合，最后根據(jù)集合交集的定義求出。【詳解】,，又，所以，故本題選C.【點睛】本題考查了列舉法表示集合、集合交集的運算，正確求解出不等式的解集是解題的關(guān)鍵.2。若復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位)，則=（)A.1 B.2 C. D?！敬鸢浮緾【解析】試題分析：因為,所以因此考點：復(fù)數(shù)的模3.方程的實根所在的區(qū)間為(）A. B. C。 D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，考查該函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合零點存在定理得出答案．【詳解】構(gòu)造函數(shù),則該函數(shù)在上單調(diào)遞增，,，，由零點存在定理可知,方程的實根所在區(qū)間為，故選B.【點睛】本題考查零點所在區(qū)間，考查零點存在定理的應(yīng)用，注意零點存在定理所適用的情形，必要時結(jié)合單調(diào)性來考查，這是解函數(shù)零點問題的常用方法,屬于基礎(chǔ)題．4.已知，則（）A. B. C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】利用平方的方法化簡已知條件,由此求得的值.【詳解】由,得，兩邊平方并化簡得。故選：C【點睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.5。已知，，為三條不同的直線,,為兩個不同的平面，下列命題中正確的是(）A。，,且，則B.若平面內(nèi)有不共線的三點到平面的距離相等，則C.若，，則D.若，,則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理判斷是否正確；根據(jù)三點是否在平面的同側(cè)來判斷選項是否正確；根據(jù)直線與平面位置關(guān)系，來判斷是否正確；根據(jù)平行線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直這個平面，來判斷是否正確.【詳解】對于選項,若時，與不一定垂直，所以錯誤；對于選項，若三點不在平面的同側(cè)，則與相交，所以錯誤；對于選項，，有可能,所以錯誤;對于選項,根據(jù)平行線中的一條垂直于一個平面，另一條也垂直于這個平面，所以正確.故選:D?！军c睛】本題考查命題的真假判斷,考查線面平行垂直、面面平行的判定，屬于基礎(chǔ)題。6.在校園籃球賽中，甲、乙兩個隊10場比賽的得分數(shù)據(jù)整理成如圖所示的莖葉圖，下列說法正確的是（）A。乙隊得分的中位數(shù)是38。5B.甲、乙兩隊得分在分數(shù)段頻率相等C.乙隊的平均得分比甲隊的高D。甲隊得分的穩(wěn)定性比乙隊好【答案】D【解析】【分析】根據(jù)莖葉圖,對數(shù)據(jù)的中位數(shù)、頻率、平均數(shù)和穩(wěn)定性對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】對于A選項，乙隊得分的中位數(shù)是,故A選項錯誤.對于B選項，甲隊得分在分數(shù)段頻率為，乙隊得分在分數(shù)段頻率為，所以B選項錯誤。對于C選項，甲隊平均分為，乙隊平均分為，兩隊得分平均分相等，所以C選項錯誤.對于D選項，由于兩隊得分的平均分相等，而甲隊的得分較為集中，乙隊的得分比較分散，所以甲隊得分的穩(wěn)定性比乙隊好.故選：D【點睛】本小題主要考查根據(jù)莖葉圖進行數(shù)據(jù)分析，屬于基礎(chǔ)題.7。把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的倍(縱坐標不變），再把得到圖象上所有點向右平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象。則下列命題正確的是（)A。函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減B。函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增C。函數(shù)的圖象關(guān)于直線，對稱D。函數(shù)的圖象關(guān)于點，對稱【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)圖象變換的知識求得的解析式，再根據(jù)的單調(diào)性和對稱性對選項進行分析，由此確定正確選項。【詳解】把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的倍（縱坐標不變）得到,再把得到圖象上所有點向右平移個單位長度，得到。由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是.由,解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是。所以A選項錯誤,B選項正確。由，解得，即是的對稱軸,所以CD選項錯誤。故選：B【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖像變換，考查三角函數(shù)的單調(diào)性和對稱性，屬于中檔題。8?！吨荀滤憬?jīng)》中有這樣一個問題：從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長度依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分這三個節(jié)氣的日影長度之和為31.5尺,前九個節(jié)氣日影長度之和為85.5尺，則谷雨這一天的日影長度(）A.5。5尺 B.4.5尺 C.3。5尺 D。2.5尺【答案】A【解析】【分析】先設(shè)等差數(shù)列，首項為，公差為，根據(jù)題意有，，然后由兩式求解?！驹斀狻吭O(shè)等差數(shù)列，首項為,公差為，根據(jù)題意得，，解得，所以.故選:A【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本運算,還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題。9.函數(shù)的大致圖象為（）A. B。C。 D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和特殊范圍的函數(shù)值，判斷出正確選項.【詳解】由于，所以的定義域為，且.所以為偶函數(shù)，所以B，C選項錯誤。當時，,故，所以,所以，所以.所以D選項錯誤。故選：A【點睛】本小題主要考查函數(shù)圖象的識別，考查函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題。10。半正多面體亦稱“阿基米德多面體”,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐,得到一個有十四個面的半正多面體，它們的棱長都相等，其中八個為正三角形,六個為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體。一個二十四等邊體的各個頂點都在同一個球面上，若該球的表面積為,則該二十四等邊體的表面積為（）A. B。 C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】通過二十四等邊體的外接球表面積求得半徑，進而計算出二十四等邊體的邊長，進而計算出二十四等邊體的表面積.【詳解】由于二十四等邊體的外接球表面積為，設(shè)其半徑為，則，解得.設(shè)為球心,依題意可知四邊形分別為正方體側(cè)棱的中點，所以正方形，由于，所以四邊形是正方形，。所以二十四等邊體的邊長為.所以二十四等邊體的邊長的表面積為.故選：C【點睛】本小題主要考查幾何體外接球有關(guān)計算，考查空間想象能力，屬于中檔題。11.過雙曲線：右焦點的直線與交于，兩點，,若，則的離心率為(）A。 B。2 C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】設(shè)是的中點,結(jié)合雙曲線的定義和余弦定理，求得的關(guān)系式，由此求得雙曲線的離心率?！驹斀狻吭O(shè)是的中點,設(shè)左焦點為，畫出圖像如下圖所示.由于，所以。由于，所以.由于是線段的中點,所以，所以，所以。設(shè)，則，根據(jù)雙曲線的定義可知，所以。所以,設(shè)，在三角形和三角形中,由余弦定理得，化簡得，所以。故選：C【點睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法,屬于綜合題。12.若函數(shù)滿足，且，則函數(shù)(）A。在上為增函數(shù) B。在上為減函數(shù)C。在上有最大值 D。在上有最小值【答案】A【解析】【分析】將已知條件轉(zhuǎn)化為,根據(jù)積分求得，由求得的值,由此利用判斷出的單調(diào)區(qū)間.【詳解】由得①，依題意可知,所以①兩邊除以得，即,所以.由得，即。所以，,所以在上為增函數(shù)，沒有最值。故選：A【點睛】本小題主要考查復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，考查根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求原函數(shù)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題。二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13。已知向量,，，且，則實數(shù)______.【答案】【解析】【分析】分別求得，，再利用，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，向量，，，可得，，,因,可得，解得?！军c睛】本題主要考查了向量的坐標運算，以及向量的數(shù)量積的坐標運算，其中解答中熟記向量的數(shù)量積的坐標運算公式,準確運算是解答的關(guān)鍵,著重考查計算能力。14。已知等腰直角三角形的直角頂點位于原點，另外兩個頂點在拋物線上，則的面積是______。【答案】36【解析】【分析】由拋物線的關(guān)于軸對稱，可得等腰直角三角形的另外兩個點關(guān)于軸對稱，求得直線和拋物線點交點，即可得到所求的面積?！驹斀狻坑傻妊苯侨切蔚闹苯琼旤c在坐標原點，另外兩個頂點在拋物線上，因為拋物線的關(guān)于軸對稱，可得等腰直角三角形的另外兩個點關(guān)于軸對稱,可設(shè)直線，代入拋物線，即,解得或，可得等腰直角三角形的另外兩個點為，所以等腰直角三角形的面積為。故答案為：?！军c睛】本題主要考查拋物線的標準方程，以及直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記拋物線的對稱性,轉(zhuǎn)化為直線與拋物線的交點問題是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力。15.甲、乙、丙、丁四個人背后有4個號碼，趙同學(xué)說:甲是2號，乙是3號；錢同學(xué)說：丙是2號，乙是4號；孫同學(xué)說:丁是2號，丙是3號；李同學(xué)說:丁是1號，乙是3號,他們每人都只說對了一半，則丙背后的號碼是______?！敬鸢浮?【解析】【分析】依據(jù)現(xiàn)在知道四個人只對了一半，可用假設(shè)法推進推理,若得出矛盾則否定之,若得不出矛盾,則推理正確，即可求解.【詳解】假設(shè)趙同學(xué)說的前半句“甲是2號”是對的，那么后半句“乙是3號”就是錯誤的,那么李同學(xué)說:“丁是1號”也是對的,那么孫同學(xué)說的“丙是3號”也是對的，錢同學(xué)說的“丙是2號，乙是4號”中“乙是4號”就是對的，所以甲是2號,乙是4號,丙是3號，丁是1號。故答案為：3?！军c睛】本題主要考查了合情推理的應(yīng)用，其中解答中牢牢抓住條件“四人都只說對一半”，運用假設(shè)法進行推理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力。16.已知數(shù)列前項和為,，，則______.【答案】【解析】【分析】由，推得,得到數(shù)列奇數(shù)項構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列，偶數(shù)項構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列，分類討論，利用等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列滿足，則當時，可得，所以，又由，可得,所以，所以數(shù)列奇數(shù)項構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列，偶數(shù)項構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列,當為奇數(shù)時，則;當為偶數(shù)時，則，綜上可得，。故答案為：?！军c睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，等比數(shù)列的定義，以及等比數(shù)列前項和公式的應(yīng)用,著重考查了分類討論思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題。三、解答題：第17—21題每題12分，解答應(yīng)在答卷的相應(yīng)各題中寫出文字說明，說明過程或演算步驟。17.如圖，在正方體中，是的中點.（1）證明平面；（2）若正方體的棱長為1，求點到平面的距離.【答案】（1)證明見解析；(2）.【解析】【分析】(1)連接,交于點,連接,為中點，證得，利用線面平行的判定定理，即可證得平面；(2)根據(jù)體積相等法，即，即可求得到平面的距離?！驹斀狻浚?)連接,交于點，連接，為中點，為的中位線，可得，又因為平面,平面,所以直線平面;（2）由棱長為1，所以，又，故點到的距離為,所以,設(shè)點到平面的距離為，則，即，解得?！军c睛】本題考查了線面平行的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力。18.在中,內(nèi)角,，所對的邊為，，，若的面積,且。（1）求角的大??；（2）求面積的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1)由，求得，得到，再利用題設(shè)條件和余弦定理,求得，即可求解;（2)由（1)知,得到,利用余弦定理和基本不等式,求得，即可求得面積的最大值.【詳解】（1）由題意知，的面積，可得，解得，根據(jù)正弦定理，可得，即，又由，即，可得，所以,因為，所以。（2)由（1）知，，所以，又由余弦定理，得即，當且僅當時，等號成立,即，所以,即面積的最大值為,此時是正三角形.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題目時，要抓住題設(shè)條件和利用某個定理的信息，合理應(yīng)用正弦定理和余弦定理求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.19.“網(wǎng)購”已經(jīng)成為我們?nèi)粘Ｉ钪械囊徊糠?某地區(qū)隨機調(diào)查了100名男性和100名女性在“雙十一”活動中用于網(wǎng)購的消費金額，數(shù)據(jù)整理如下：男性消費金額頻數(shù)分布表消費金額(單位：元）0~500500~10001000～15001500～20002000~3000人數(shù)1515203020（1）試分別計算男性、女性在此活動中的平均消費金額；（2)如果分別把男性、女性消費金額與中位數(shù)相差不超過200元的消費稱作理性消費,試問是否有5成以上的把握認為理性消費與性別有關(guān).附:0.500.400。250.150。100。050。4550。7081.3232.0722。7063。841【答案】（1）1425元,1100元；(2）有5成以上的把握認為理性消費與性別有關(guān)【解析】分析】(1）根據(jù)表格中男性平均消費金額和頻率分布直方圖中女性平均消費金額，利用平均數(shù)的計算公式，即可求解；（2）由（1），求得女性的理性消費區(qū)間為人數(shù)，男性理性消費區(qū)間為人數(shù)，得出的列聯(lián)表，利用公式求得，結(jié)合附表，即可得到結(jié)論?！驹斀狻浚?）由表格知男性平均消費金額為（元）由頻率分布直方圖知女性平均消費金額為：（元)(2）由男性消費金額頻數(shù)分布表，可得男性的消費的中位數(shù)為1500元，其中男性理性消費區(qū)間為，可得人數(shù)為人，由頻率分布直方圖可得,女性消費的中位數(shù)為1000元，其中女性的理性消費區(qū)間為,可得人數(shù)為人，所以列聯(lián)表為：女性男性合計理性消費162036非理性消費8480164合計100100200∴，由，∴有5成以上把握認為理性消費與性別有關(guān)?！军c睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算,以及獨立性檢驗的應(yīng)用，其中解答中認真審題,熟記頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算公式，以及獨立性檢驗的公式,準確運算是解答的關(guān)鍵,著重考查推理與運算能力.20.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最值;(2)證明:?！敬鸢浮浚?)最大值，無最小值;（2）證明見解析?！窘馕觥俊痉治觥浚?）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求得函數(shù)的單調(diào)性，進而得出函數(shù)的最值;（2)令,求得，得到函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值，即可得到結(jié)論.【詳解】（1)由題意，函數(shù)，則，當時，，當，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.∴時有最大值，無最小值.(2）令,則，令，即，解得，當時,，當時，，所以在為減函數(shù),在為增函數(shù),當時，取得最小值，又由（1）知有最大值，所以.【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及不等式關(guān)系式的證明，其中解答中熟練利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力。21。已知橢圓：的短軸長為2，離心率為。(1）求橢圓的標準方程；(2）過點且不過點直線與橢圓交于,兩點，直線與直線交于點。（i）若軸,求直線的斜率；（ii)判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由?！敬鸢浮?1）；（2）（i）,（ii）,理由見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)基本量的關(guān)系列式求解即可。（2)（i）當軸時，可求得的坐標,進而求得直線的方程與的坐標,進而求得直線的斜率.（ii)聯(lián)立直線與橢圓的方程，設(shè),,根據(jù)題意求出直線的方程與的坐標,進而得出直線的斜率表達式，代入韋達定理的關(guān)系化簡即可?！驹斀狻浚?）由,,故,得，,∴橢圓方程為：;（2）可設(shè)：，①軸,則：，當在軸上方時有，，∴的方程為：，∴,∴.當在軸下方時有,，∴的方程為：，∴,∴.綜上有.②,證明如下：把代入得，設(shè),，則,，∴：，∴,∴，由,∴,∴?！军c睛】本題主要考查了橢圓的基本量求解以及聯(lián)立直線與橢圓的方程，得出韋達定理證明斜率的定值問題,需要根據(jù)題意設(shè)交點，再根據(jù)斜率的以及直線的方程求出所需的點坐標,最后再代入韋達定理化簡求解.屬于難題。選考題：共10分。請考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。作答時用2B鉛筆在答題卡上托所選題目的題號涂黑。22.在平面直角坐標系中，圓的參數(shù)方程