《電磁場(chǎng)與電磁波》教案-04恒定電流場(chǎng)

第四章恒定電流場(chǎng)

主要內(nèi)容電流，電動(dòng)勢(shì)，電流連續(xù)性原理，能量損耗。1.電流及電流強(qiáng)度分類：傳導(dǎo)電流與運(yùn)流電流。

傳導(dǎo)電流是導(dǎo)體中的自由電子（或空穴）或者是電解液中的離子運(yùn)動(dòng)形成的電流。

運(yùn)流電流是電子、離子或其它帶電粒子在真空或氣體中運(yùn)動(dòng)形成的電流。編輯ppt電流強(qiáng)度：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)穿過某一截面的電量，又簡(jiǎn)稱為電流，以I表示。電流的單位為A（安培）。

因此，電流I與電荷q的關(guān)系為電流密度：是一個(gè)矢量，以J表示。電流密度的方向?yàn)檎姾傻倪\(yùn)動(dòng)方向，其大小為單位時(shí)間內(nèi)垂直穿過單位面積的電荷量。因此，穿過任一有向面元dS的電流dI與電流密度J

的關(guān)系為編輯ppt那么，穿過任一截面S

的電流I

為此式表明，穿過某一截面的電流等于穿過該截面電流密度的通量。

在外源的作用下，大多數(shù)導(dǎo)電媒質(zhì)中某點(diǎn)的傳導(dǎo)電流密度J與該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度E

成正比，即式中

稱為電導(dǎo)率，其單位為S/m。

值愈大表明導(dǎo)電能力愈強(qiáng)，即使在微弱的電場(chǎng)作用下，也可形成很強(qiáng)的電流。上式又稱為歐姆定律的微分形式。編輯ppt電導(dǎo)率為無限大的導(dǎo)體稱為理想導(dǎo)電體。顯然，在理想導(dǎo)電體中，無需電場(chǎng)推動(dòng)即可形成電流。由上式可見，在理想導(dǎo)電體中是不可能存在恒定電場(chǎng)的，否則，將會(huì)產(chǎn)生無限大的電流，從而產(chǎn)生無限大的能量。但是，任何能量總是有限的。電導(dǎo)率為零的媒質(zhì)，不具有導(dǎo)電能力，這種媒質(zhì)稱為理想介質(zhì)。媒質(zhì)電導(dǎo)率(S/m)媒質(zhì)電導(dǎo)率(S/m)銀海水4紫銅淡水金干土鋁變壓器油黃銅玻璃鐵橡膠編輯ppt

運(yùn)流電流的電流密度并不與電場(chǎng)強(qiáng)度成正比，而且電流密度的方向與電場(chǎng)強(qiáng)度的方向也可能不同?？梢宰C明運(yùn)流電流的電流密度J

與運(yùn)動(dòng)速度v的關(guān)系為式中為電荷密度。與介質(zhì)的極化特性一樣，媒質(zhì)的導(dǎo)電性能也表現(xiàn)出均勻與非均勻，線性與非線性以及各向同性與各同異性等特點(diǎn)，這些特性的含義與前相同。上述公式僅適用于各向同性的線性媒質(zhì)。編輯ppt2.電動(dòng)勢(shì)

如圖所示，首先將外接的導(dǎo)電媒質(zhì)移去，討論開路情況下外源內(nèi)部的作用過程。在外源中非靜電力作用下，正電荷不斷地移向正極板P

，負(fù)電荷不斷地移向負(fù)極板N。極板上的電荷在外源中形成電場(chǎng)E，其方向由正極板指向負(fù)極板，而且隨著極板上電荷的增加不斷增強(qiáng)。E導(dǎo)電媒質(zhì)PNE外源顯然，由極板上電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)力阻止正電荷繼續(xù)向正極板移動(dòng)，同時(shí)也阻止負(fù)電荷繼續(xù)向負(fù)極板移動(dòng)，一直到極板電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)力等于外源中的非電力時(shí)，外源的電荷運(yùn)動(dòng)方才停止，極板上的電荷也就保持恒定。編輯ppt既然外源中的非靜電力表現(xiàn)為對(duì)于電荷的作用力，因此，通常認(rèn)為這種非靜電力是由外源中存在的外電場(chǎng)產(chǎn)生的，其電場(chǎng)強(qiáng)度仍然定義為對(duì)于單位正電荷的作用力，以E'表示。由于外電場(chǎng)使正電荷移向正極板，負(fù)電荷移向負(fù)極板，因此，外電場(chǎng)的方向由負(fù)極板指向正極板?？梢?，在外源中外電場(chǎng)E'的方向與極板電荷形成的電場(chǎng)E

的方向恰好相反。當(dāng)外源中的外電場(chǎng)與極板電荷的電場(chǎng)等值反向時(shí)，外源中合成電場(chǎng)為零，電荷運(yùn)動(dòng)停止。若外源的極板之間接上導(dǎo)電媒質(zhì)，正極板上的正電荷通過導(dǎo)電媒質(zhì)移向負(fù)極板；負(fù)極板上的負(fù)電荷通過導(dǎo)電媒質(zhì)移向正極板。因而導(dǎo)致極板上電荷減少，使得外源中由極板電荷形成的電場(chǎng)E小于外電場(chǎng)，外電場(chǎng)又使外源中的正負(fù)電荷再次移動(dòng)，外源不斷地向正極板補(bǔ)充新的正電荷，向負(fù)極板補(bǔ)充新的負(fù)電荷。編輯ppt由上可見，極板上的電荷通過導(dǎo)電媒質(zhì)不斷流失，外源又不斷地向極板補(bǔ)充新電荷，從而維持了連續(xù)不斷的電流。因此，為了在導(dǎo)電媒質(zhì)中產(chǎn)生連續(xù)不斷的電流，必須依靠外源。當(dāng)達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡時(shí)，極板上的電荷分布保持不變。這樣，極板電荷在外源中以及在導(dǎo)電媒質(zhì)中產(chǎn)生恒定電場(chǎng)，且在外源內(nèi)部保持，在包括外源及導(dǎo)電媒質(zhì)的整個(gè)回路中維持恒定的電流。注意，極板上的電荷分布雖然不變，但是極板上的電荷并不是靜止的。它們是在不斷地更替中保持分布特性不變，因此，這種電荷稱為駐立電荷。駐立電荷是在外源作用下形成的，一旦外源消失，駐立電荷也將隨之逐漸消失。編輯ppt外電場(chǎng)由負(fù)極板N到正極板P的線積分稱為外源的電動(dòng)勢(shì)，以e

表示，即達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡時(shí)，在外源內(nèi)部，所以上式又可寫為考慮到導(dǎo)電媒質(zhì)中，，那么，上式可寫成

駐立電荷產(chǎn)生的恒定電場(chǎng)與靜止電荷產(chǎn)生的靜電場(chǎng)一樣，也是一種保守場(chǎng)。因此，它沿任一閉合回路的線積分應(yīng)為零，即編輯ppt對(duì)于均勻?qū)щ娒劫|(zhì)，上式變?yōu)楦鶕?jù)斯托克斯定理，求得上兩式的微分形式如下：可見，均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中，恒定電流場(chǎng)是無旋的。編輯ppt3.電流連續(xù)性原理設(shè)閉合面S

包圍的體積V中駐立電荷的體密度為

，則那么，已知恒定電流場(chǎng)中的電荷分布與時(shí)間無關(guān)，即，由此得此式表明，在恒定電流場(chǎng)中，電流密度通過任一閉合面的通量為零。如果以一系列的曲線描述電流場(chǎng)，令曲線上各點(diǎn)的切線方向表示該點(diǎn)電流密度的方向，這些曲線稱為電流線。那么，電流線是連續(xù)閉合的。它和電場(chǎng)線不同，電流線沒有起點(diǎn)和終點(diǎn)，這一結(jié)論稱為電流連續(xù)性原理。編輯ppt根據(jù)高斯定理，求得上式為電荷守恒原理的微分形式。因此，對(duì)于恒定電流場(chǎng)，得此式表明，恒定電流場(chǎng)是無散的。

4.恒定電流場(chǎng)的邊界條件已知恒定電流場(chǎng)方程的積分形式為

對(duì)應(yīng)的微分形式為編輯ppt由積分形式的恒定電流場(chǎng)方程導(dǎo)出邊界兩側(cè)電流密度的切向分量關(guān)系為而邊界兩側(cè)電流密度的法向分量關(guān)系為

由此可見，在兩種導(dǎo)電媒質(zhì)的邊界上，電流密度矢量的切向分量是不連續(xù)的，但其法向分量連續(xù)。已知，那么根據(jù)上述恒定電流場(chǎng)的邊界條件可以導(dǎo)出導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場(chǎng)的邊界條件為編輯ppt已知理想導(dǎo)電體內(nèi)部不可能存在電場(chǎng)，那么，理想導(dǎo)電體表面不可能存在切向電場(chǎng)，因而也不可能存在切向恒定電流。當(dāng)電流由理想導(dǎo)電體流出進(jìn)入一般導(dǎo)電媒質(zhì)時(shí)，電流線總是垂直于理想導(dǎo)電體表面。5.恒定電流場(chǎng)的能量損耗

在導(dǎo)電媒質(zhì)中，自由電子移動(dòng)時(shí)要與原子晶格發(fā)生碰撞，結(jié)果產(chǎn)生熱能，這是一種不可逆的能量轉(zhuǎn)換。這種能量損失將由外源不斷補(bǔ)給，以維持恒定的電流。

設(shè)在恒定電流場(chǎng)中，沿電流方向取一個(gè)長(zhǎng)度為dl，端面為dS的小圓柱體，如圖所示。dlUJdS編輯ppt

圓柱體的端面分別為兩個(gè)等位面。若在電場(chǎng)力作用下，dt

時(shí)間內(nèi)有dq電荷自圓柱的左端面移至右端面，那么電場(chǎng)力作的功為

電場(chǎng)損失的功率P

為那么，單位體積中的功率損失為當(dāng)J

和E

的方向不同時(shí)，上式可以表示為下面一般形式此式稱為焦耳定律的微分形式，它表示某點(diǎn)的功率損耗等于該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度與電流密度的標(biāo)積。

編輯ppt設(shè)圓柱體兩端的電位差為U，則，又知，那么單位體積中的功率損失可表示為可見，圓柱體中的總功率損失為這就是電路中的焦耳定律。編輯ppt例1已知一平板電容器由兩層非理想介質(zhì)串聯(lián)構(gòu)成，如圖示。其介電常數(shù)分別為1和2，電導(dǎo)率分別為1和2，厚度分別為d1和d2。當(dāng)外加恒定電壓為V

時(shí)，試求兩層介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度，單位體積中的電場(chǎng)儲(chǔ)能及功率損耗。

1

1

2

2d1d2U解由于電容器外不存在電流，可以認(rèn)為電容器中的電流線與邊界垂直，求得

又由此求出兩種介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為

編輯ppt兩種介質(zhì)中電場(chǎng)儲(chǔ)能密度分別為兩種介質(zhì)中單位體積的功率損耗分別為

兩種特殊情況值得注意：當(dāng)時(shí)，，，，。當(dāng)時(shí)，，，，。d1d2

1=0E

2=0UE

1=0

2=0U編輯ppt例2設(shè)一段環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)，其形狀及尺寸如圖示。計(jì)算兩個(gè)端面之間的電阻。

Uyxtabr0(r,)0解顯然，必須選用圓柱坐標(biāo)系。設(shè)兩個(gè)端面之間的電位差為U，且令

當(dāng)角度時(shí)，電位。當(dāng)角度時(shí)，電位。那么，由于導(dǎo)電媒質(zhì)中的電位

僅與角度

有關(guān)，因此電位滿足的方程式為此式的通解為

編輯ppt利用給定的邊界條件，求得

導(dǎo)電媒質(zhì)中的電流密度J

為那么由的端面流進(jìn)該導(dǎo)電媒質(zhì)的電流I

為因此該導(dǎo)電塊的兩個(gè)端面之間的電阻R

為編輯ppt6.恒定電流場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬

已知無外源區(qū)中均勻?qū)щ娒劫|(zhì)內(nèi)的恒定電流場(chǎng)方程和無源區(qū)中均勻介質(zhì)內(nèi)的靜電場(chǎng)方程如下：

恒定電流場(chǎng)靜電場(chǎng)可見，兩者非常相似，恒定電流場(chǎng)的電流密度J

相當(dāng)于靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E，電流線相當(dāng)于電場(chǎng)線。編輯ppt因此，當(dāng)恒定電流場(chǎng)與靜電場(chǎng)的邊界條件相同時(shí)，電流密度的分布與電場(chǎng)強(qiáng)度的分布特性完全相同。根據(jù)這種類似性，可以利用已經(jīng)獲得的靜電場(chǎng)的結(jié)果直接求解恒定電流場(chǎng)。或者由于在某些情況下，恒定電流場(chǎng)容易實(shí)現(xiàn)且便于測(cè)量時(shí)，可用邊界條件與靜電場(chǎng)相同的電流場(chǎng)來研究靜電場(chǎng)的特性，這種方法稱為靜電比擬。

例如，兩電極間的電流場(chǎng)與靜電場(chǎng)對(duì)應(yīng)分布如下圖示：

PN電流場(chǎng)PN靜電場(chǎng)那么，利用已經(jīng)獲得的靜電場(chǎng)結(jié)果可以求解恒定電流場(chǎng)。

編輯ppt利用兩種場(chǎng)方程，可以求出兩個(gè)電極之間的