第八章二元一次方程組教案(滲透法制教育)

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第八章二元一次方程組

第1課時

8.1二元一次方程組

教學(xué)目標：

1、知識與技能：

了解二元一次方程、二元一次方程組和它的解的含義且會檢驗一對數(shù)值是

不是某個二元一次方程的解。

2、過程與方法：

經(jīng)過利用已有知識解決新問題的探索過程，通過觀察、歸納、實踐等方法

獲得數(shù)學(xué)思想。方法是引導(dǎo)探究法

3、情感態(tài)度與價值觀：

體驗數(shù)學(xué)活動充滿著探索和創(chuàng)造，認識到學(xué)習(xí)必須循序漸進。

教學(xué)重點：

了解二元一次方程，二元一次方程組以及二元一次方程組的解

教學(xué)難點：

了解二元一次方程組的解的含義。

授課類型：新授課

教學(xué)準備：彩色粉筆、小黑板

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)提問

1．什么叫一元一次方程?什么叫一元一次方程的解?怎樣檢驗一個數(shù)是否是

這個方程的解?

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二、新授課

問題：（出示小黑板）籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得

2分.負一場得1分，某隊為了爭取較好的名次，想在全部22場比賽中得到40

分，那么這個隊勝負場數(shù)分別是多少？

思考：這個問題中包含了哪些必須同時滿足的條件？設(shè)勝的場數(shù)是x，負

的場數(shù)是y，你能用方程把這些條件表示出來嗎？

由問題知道，題中包含兩個必須同時滿足的條件：

勝的場數(shù)＋負的場數(shù)＝總場數(shù)，勝場積分＋負場積分＝總積分.

這兩個條件可以用方程x＋y＝22，2x＋y＝40表示.

上面兩個方程中，每個方程都含有兩個未知數(shù)（x和y），并且含有未知數(shù)

的項的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.

把兩個方程合在一起，寫成

x＋y＝22①

2x＋y＝40②

像這樣，把兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.

探究：滿足方程①，且符合問題的實際意義的x、y的值有哪些？把它們填入

表中.

X

Y

上表中哪對x、y的值還滿足方程②

一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次

方程的解.二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

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三、例題講解

例1（1）方程（a＋2）x+(b-1)y=3是關(guān)于x、y的二元一次方程，

試求a、b的取值范圍.

（2）方程x∣a∣–1+(a-2)y=2是關(guān)于x、y的二元一次方程，試

求a的值.

解：略

例2若方程x2m–1+5y3n–2=7是二元一次方程.求m、n的值

解：略

四、課堂練習(xí)：

1、（補充練習(xí)）請你判斷下列式子是否為二元一次方程？

2

(1)x-2y=8;(2)x2+y=0;(3)x=+1;

y

(4)a+1b；(5)xy+y=2;(6)x+2y=0.

23

2、教科書P89——練習(xí)

五、課堂小結(jié)

1．什么是二元一次方程，什么是二元一次方程組?

2．什么是二元一次方程組的解?如何檢驗一對數(shù)是不是某個方程組的解?

六、課外作業(yè)

教科書第90頁習(xí)題8.1。

8.1二元一次方程組.

二元一次方程：例1例2

板書設(shè)計二元一次方程組：解解

二元一次方程的解：

二元一次方程組的解

教學(xué)反思：教學(xué)中鼓勵學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上，積極地參與到對數(shù)學(xué)問題的討論中來，

敢于發(fā)表自己的觀點，尊重理解他人的見解，在交流中獲益。

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第2課時

8.2消元——解二元一次方程組（代入法）

教學(xué)目標：

1、知識與技能：

掌握用代入消元法解二元一次方程組的基本步驟，初步體會解二元一次方

程組的基本思路是消元。

2、過程與方法：

通過實踐中體會根據(jù)方程組未知數(shù)系數(shù)的特點，選擇較為合理、簡單的表

示方法，將一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)。用引導(dǎo)探究法

3、情感態(tài)度與價值觀：

通過研究解決問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生合作交流意識與探究精神。

教學(xué)重點：

用代入法把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。

教學(xué)難點：

用代入法求出一個未知數(shù)值后，把它代入哪個方程求另一個未知數(shù)的值

授課類型：新授課

教學(xué)準備：彩色粉筆、小黑板

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境知識回顧

1、什么是二元一次方程及二元一次方程的解？

2、什么是二元一次方程組及二元一次方程組的解？

3、（出示小黑板）籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2

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分.負一場得1分，某隊為了爭取較好的名次，想在全部22場比賽中得到40

分，那么這個隊勝負場數(shù)分別是多少？

在上述問題中，我們可以設(shè)出兩個未知數(shù)，列出二元一次方程組.這個問題

能用一元一次方程解決嗎？

二、講授新課

上面的問題可以用兩種方法求解：

方法一：可列一元一次方程來解方法二：可列二元一次方程組來解

解:設(shè)這個隊勝了x場，解：設(shè)這個隊勝場數(shù)為

則負了（22-x）場，x場，負了y場，

由題意的得由題意得

xy22

2x+（22-x）=40（以下略）y22x

2xy40

這里所用的是是將未知數(shù)的個數(shù)有多化少，逐一解決的想法——消

元思想。具體是由x+y=22得y=22-x,再把y=22-x代人2x+y=40得2x+（22-x）

=40，這樣就消掉了一個未知數(shù)y，把原來的二元一次方程組就化為了我們

熟悉的一元一次方程，這就是代入消元法，簡稱代入法

三、例題講解

例1解方程組：

xy7,①

①

3xy17.②

解：由①得y＝7－x.③

將③代入②，得3x＋7－x＝17，即x＝5.

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將x＝5代入③，得y＝2.

x5,

所以

y2.

例2教科書p92——例2

讓學(xué)生自己概括上面解法的思路，對有困難的同學(xué)，教師加以引導(dǎo)，并總

結(jié)出解方程的步驟：

1.選取一個方程，將它寫成用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)，記作方程

③。

2．把③代人另一個方程，得一元一次方程。

3．解這個一元一次方程，得一個未知數(shù)的值。

4．把這個未知數(shù)的值代人③，求出另一個未知數(shù)值，從而得到方程組的

解。

四、課堂練習(xí)：教科書P93——練習(xí)1,2,3,4

五、課堂小結(jié)：

1．解二元一次方程組的思路。

2．掌握代入消元法解二元一次方程組的一般步驟。

六、課外作業(yè)：教科書P97習(xí)題8.2——2題

教學(xué)

8.2消元——解二元一次方程組（代入法）

反思：教學(xué)

代入法：例1例2

中提出板書設(shè)計問題

基本思想：消元解解

后留給學(xué)生

足夠的獨立

思考和自主探究的時間與空間，為學(xué)生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機會，并鼓勵學(xué)生積極地投

入到小組討

論中去，

第3課時

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8.2消元——解二元一次方程組（加減法）

教學(xué)目標：

1、知識與技能：

熟練掌握用加減法解二元一次方程組，體會解二元一次方程組的基本思路

是“消元”。

2、過程與方法：

通過用代入法解二元一次方程組，引出加減法，進一步認識消元的重要性。

方法是引導(dǎo)探究法

3、情感態(tài)度與價值觀：

滲透消元、化未知為已知的轉(zhuǎn)化思想，養(yǎng)成學(xué)生的合作互助意識，提高學(xué)

生的交流和表達能力。

教學(xué)重點：

熟練地用加減法解一般形式的二元一次方程組。

教學(xué)難點：

準確地把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。

教學(xué)準備：彩色粉筆

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境

用代入法解方程組

2x+5y=9①

3x+5y=11②

解：由①得，

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x=95y③

2

把③代人②，得

95y

3+5y=11，

2

解得y=1

把y=1代入①，得

x=2

∴這個方程組的解為

x=2

y=1

這個方程組還有沒有其它解法呢？

二、新授課

1、提出問題，引發(fā)討論

我們知道，對于方程組

2x+5y=9①

3x+5y=11②

可以用代入消元法求解。

這個方程組的兩個方程中，y的系數(shù)有什么關(guān)系？?利用這種關(guān)系你能發(fā)現(xiàn)

新的消元方法嗎？（引出課題）

解：②-①得

x=2

把x=2代入①，得

22+5y=9，

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即y=1

∴這個方程組的解為

x=2

y=1

2.想一想：聯(lián)系上面的解法，想一想應(yīng)怎樣解方程組

3x+10y=2.8①

15x-10y=8②

分析：這兩個方程中未知數(shù)y的系數(shù)互為相反數(shù)，?因此由①＋②可消去未知

數(shù)y，從而求出未知數(shù)x的值。

解：由①＋②得

18x=10.8，

即x=0.6，

把x=0.6代入①得

y=-0.1

∴這個方程組的解為

x=0.6

y=-0.1

3、加減消元法的概念

從上面兩個方程組的解法可以發(fā)現(xiàn)，把兩個二元一次方程的兩邊分別進行

相加減，就可以消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程。

兩個二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，將兩個方程的兩邊

分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，這種方法叫

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做加減消元法，簡稱加減法。

三、例題講解

例用加減法解方程組

3x+4y=16①

5x-6y=33②

解：①3，②2得

9x+12y=48③

10x-12y=66④

③+④得

19x=114，

解得x=6

把x=6代入①得

36+4y=16

解得y=-1

2

∴這個方程組的解為

x=6

y=-1

2

四、課堂練習(xí)

教科書P96—練習(xí)1

五、課堂小結(jié)

(1)用加減消元法解二元一次方程組的基本思路仍然是“消元”.

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(2)用加減法解二元一次方程組的一般步驟:

第一步:在所解的方程組中的兩個方程,如果某個未知數(shù)的系數(shù)互為相反

數(shù),?可以把這兩個方程的兩邊分別相加,消去這個未知數(shù);如果未知數(shù)的系數(shù)相

等,?可以直接把兩個方程的兩邊相減,消去這個未知數(shù).

第二步:如果方程組中不存在某個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等,那么應(yīng)選出一

組系數(shù)(選最小公倍數(shù)較小的一組系數(shù)),求出它們的最小公倍數(shù)(如果一個系數(shù)

是另一個系數(shù)的整數(shù)倍,該系數(shù)即為最小公倍數(shù)),然后將原方程組變形,使新方

程組的這組系數(shù)的絕對值相等(都等于原系數(shù)的最小公倍數(shù)),再加減消元.

六、作業(yè)

教科書第98頁習(xí)題8.2第3題。

8.2消元——解二元一次方程組（加減法）

定義引例例練習(xí)：

板書設(shè)計

解

教學(xué)反思：通過動手操作、主動思考、合作交流的“做數(shù)學(xué)”的過程，讓學(xué)生親

身體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，增強動手操作和合作交流能力，利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決問題。

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第4課時

8.2消元——二元一次方程組的解法

教學(xué)目標：

1．知識與技能：熟練掌握用代入法、加減法解二元一次方程組，體會解

二元一次方程組的基本思路是“消元”。

2．過程與方法：使學(xué)生了解用加減法解二元一次方程組的一般步驟，能

熟練地用加減法解較復(fù)雜的二元一次方程組。引導(dǎo)探究法。

3、情感態(tài)度與價值觀：滲透消元、化未知為已知的轉(zhuǎn)化思想，養(yǎng)成學(xué)生

的合作互助意識，提高學(xué)生的交流和表達能力。

教學(xué)重點：

用代入法、加減法解二元一次方程組.

教學(xué)難點：

將方程組化成兩個方程中的某一未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等。

教學(xué)準備：彩色粉筆

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)

下列方程組用加減法可消哪一個元，如何消元，消元后的一元一次方程是

什么?

3x+4y＝-3.44x－2y＝5.6

6x-4y＝5.27x－2y＝7.7

二、新課

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用代入法解二元一次方程的基本思想是消元，只有消去一個未知數(shù)，才能

把二元轉(zhuǎn)化為熟悉的一元方程求解，為了消元，除了代入法還有加減法。

解題時先觀察方程組，在這個方程組中，未知數(shù)x的系數(shù)有什么特點?怎樣

才能把這個未知數(shù)消去?你的根據(jù)是什么?

例4．解方程組3x+7y=9①

4x-7y=5②

解：①+②，得7x=14

x=2兩個方程中，未知數(shù)y的

將x=2代入①，得系數(shù)是互為相反數(shù)，而互

6+7y＝9為相反數(shù)的和為零，所以

3

＝應(yīng)把方程①的兩邊分別加

y7

∴x＝2上方程②的兩邊。

3

＝

y7

三、鞏固練習(xí)

解下列方程組

5xy7,4x3y5,

1.2.

3xy1.4x6y14.

0.5x3y1,

6x7y5,

3.4.1

6x7y19.x5y3.

2

四、課堂小結(jié)

加減法解二元一次方程組，兩方程中若有一個未知數(shù)系數(shù)的絕對值相等，

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可直接加減消元；若同一未知數(shù)的系數(shù)絕對值不等，則應(yīng)選一個或兩個方程變

形，使一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等，然后再直接用加減法求解；若方程組

比較復(fù)雜，應(yīng)先化簡整理。

五、作業(yè)

教科書第98頁習(xí)題8.2第5題。

8.2消元——二元一次方程組的解法

引例例題

板書設(shè)計

分析解學(xué)生練習(xí)

教學(xué)反思：除題目明確要求解法外，我們要能做到熟練而靈活地解方程組，就

必須要仔細觀察方程組特點，選擇恰當(dāng)?shù)奶幚矸绞胶徒夥?，這樣做不但較為簡

便，快捷，還能減少運算量，確保準確性，這還需要同學(xué)們在平時的學(xué)習(xí)中精

心思考、不斷總結(jié)、用心領(lǐng)悟！

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第5課時

8.3實際問題與二元一次方程組（1）

教學(xué)目標：

1、知識與技能：

能夠找出實際問題中的已知數(shù)和未知數(shù)，分析它們之間的數(shù)量關(guān)系，列出方

程組。進一步運用二元一次方程組解決實際問題，能把實際問題建立成數(shù)學(xué)模

型。

2、過程與方法：

經(jīng)歷用方程組解決實際問題的過程，掌握用二元一次方程組解決實際問題

的方法，讓學(xué)生逐步建立方程思想。用引導(dǎo)探究法。

3、情感態(tài)度與價值觀：

培養(yǎng)分析、解決問題的能力，體會二元一次方程組的應(yīng)用價值，激發(fā)學(xué)生的

探究欲望和學(xué)習(xí)熱情。

教學(xué)重點：

能根據(jù)題意列二元一次方程組；根據(jù)題意找出等量關(guān)系；

教學(xué)難點：

正確發(fā)找出問題中的兩個等量關(guān)系

教學(xué)準備：彩色粉筆、小黑板

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境

前面我們結(jié)合實際問題，討論了用方程組表示問題中的條件以及如何解方

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程組，本節(jié)我們繼續(xù)探究用方程組解決實際問題。

列方程解應(yīng)用題的步驟是什么？（審題、設(shè)未知數(shù)、列方程、

方程、檢驗并答）

二、新課

活動1課本99頁探究1

養(yǎng)牛場原有30只大牛和15只小牛，1天約用飼料675千克，一周后又購進

12只大牛和5只小牛，這時1天約用飼料940千克。飼養(yǎng)員里大叔估計每只大

牛1天約需飼料18千克到20千克，每只小牛1天約需飼料7千克到8千克。

你能否通過計算檢驗他的估計？（出示小黑板）

問題：1、題中有哪些已知量？哪些未知量？2、題中等量關(guān)系有哪些？3、

如何解這個應(yīng)用題？

本題的等量關(guān)系是（1）30只母牛和15只小牛一天需用飼料為675kg；（2）

（30+12）只母牛和（15+5）只小牛一天需用飼料為940kg

活動2解決問題

找出題中的已知條件和未知條件。判斷李大叔的估計是否正確。

方法（1）：假設(shè)李大叔的估計是否正確，根據(jù)題中給定的數(shù)量關(guān)系來檢驗。

方法（2）：根據(jù)題中給定的數(shù)量關(guān)系求出平均每只大牛和每只小牛1天各

需飼料量，在來判斷李大叔的估計是否正確。

哪種方法比較簡便？如果選用第二種方法，如何計算平均每只大牛和每只

小牛1天各需飼料量？

然后師生共同探討解題過程。板書解題過程。

總結(jié)：用方程組解決實際問題有哪些步驟？

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（1）設(shè)未知數(shù)

（2）找等量關(guān)系

（3）列方程組

（4）解方程組

（5）檢驗并作答

二、例題

例：有大小兩種貨車，2輛大車與3輛小車一次可以運貨15.5噸，5輛大

車與6輛小車一次可以運貨35噸，3輛大車與5輛小車一次可以運貨多少噸？

（出示小黑板）

解：設(shè)1輛大車一次可以運貨x噸，1輛小車一次可以運貨y噸。依題

意得

2x+3y=15.5

5x+6y=35

解得，x=4

y=2.5

3x+5y=24.5

答：3輛大車與5輛小車一次可以運貨24.5噸。

三、課堂練習(xí)

1、某所中學(xué)現(xiàn)在有學(xué)生4200人，計劃一年后初中在樣生增

8%，高中在校生增加11%，這樣全校學(xué)生將增加10%，這所學(xué)?，F(xiàn)在的初中

在校生和高中在校生人數(shù)各是多少人？

2、某工廠第一車間比第二車間人數(shù)的4少30人，如果從第二車間調(diào)出10

5

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人到第一車間，則第一車間的人數(shù)是第二車間的3，問這兩車間原有多少人？

4

3、某運輸隊送一批貨物，計劃20天完成，實際每天多運送5噸

結(jié)果不但提前2天完成任務(wù)并多運了10噸，求這批貨物有多少噸？原計劃每天

運輸多少噸？

四、課堂小結(jié)

由學(xué)生歸納出本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，談一談本節(jié)課得到了什么啟示？

五、課外作業(yè)

教科P101—2,3題

8.3實際問題與二元一次方程（1）

板書設(shè)計探究1例練習(xí)

分析解

教學(xué)反思：教學(xué)中注意發(fā)揮學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性，引導(dǎo)學(xué)生先獨立探究，再進行合作交流，

讓學(xué)生經(jīng)歷問題的探究過程，加深學(xué)生對牛飼料問題的理解，滲透數(shù)學(xué)建模思想，使學(xué)生進

一步熟悉利用方程組解決實際問題的過程

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第6課時

8.3實際問題與二元一次方程（2）

教學(xué)目標：

1、知識與技能

能夠找出實際問題中的已知數(shù)和未知數(shù)，分析它們之間的數(shù)量關(guān)系，列出方

程組。

2、過程與方法：

經(jīng)歷用方程組解決實際問題的過程，體會方程組是刻畫現(xiàn)實世界中含有多個

未知數(shù)的問題的有效數(shù)學(xué)模型。進一步運用二元一次方程組解決實際問題。用

引導(dǎo)探究法

3、情感態(tài)度與價值觀：

在用方程組解決實際問題的過程中，體驗數(shù)學(xué)的實際性，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的

興趣，滲透《中華人民共和國土地管理法》

教學(xué)重點：

讓學(xué)生實踐與探索，運用二元一次方程解決有關(guān)配套與設(shè)計的應(yīng)用題

教學(xué)難點：

尋找等量關(guān)系

教學(xué)準備：彩色粉筆、小黑板

教學(xué)過程：

一、情景導(dǎo)入

前面我們初步體驗了用方程組解決實際問題的全過程，其實生產(chǎn)、生活中還

有許多問題也能用方程組解決，那么我們這節(jié)課繼續(xù)探討用二元一次方程組解

決實際問題。

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二、新課

探究2（出示小黑板）據(jù)統(tǒng)計資料，甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量比

是1：2?，F(xiàn)要把一塊長200米、寬100米的長方形土地，分為兩塊小長方形土地，

分別種植兩種作物。怎樣劃分這塊土地，使甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3：

4？

讓我們先來了解一下《中華人民共和國土地管理法》第一條為了加強

土地管理，維護土地的社會主義公有制，保護、開發(fā)土地資源，合理利用土地，

切實保護耕地，促進社會經(jīng)濟的可持續(xù)發(fā)展。任何單位和個人不得侵占、買賣

或者以其他形式非法轉(zhuǎn)讓土地。土地使用權(quán)可以依法轉(zhuǎn)讓。國家為了公共利益

的需要，可以依法對土地實行征收或者征用并給予補償。第三條十分珍惜、

合理利用土地和切實保護耕地是我國的基本國策。各級人民政府應(yīng)當(dāng)采取措

施，全面規(guī)劃，嚴格管理，保護、開發(fā)土地資源，制止非法占用土地的行為。

問題：

1、“甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量比是1:2”是什么意思？

2、“甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量比為3:4”是什么意思？

3、本題中有哪些等量關(guān)系？

提示：若甲種作物單位產(chǎn)量是a，那么乙種作物單位產(chǎn)量是多少？

分析：如圖，一種種植方案為：甲、乙兩種作物的種植區(qū)域分別為長方形

AEFD和BCFE，設(shè)AE=xm,BE=ym根據(jù)問題中涉及長度、產(chǎn)量的數(shù)量關(guān)系，

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列方程組

x+y=200解得x=120

100x:2100y=3:4y=80

即過長方形土地的長邊上離一端120m處，作這條邊的垂線，把這塊土地分

為兩塊長方形土地，較大一塊種甲種作物，較小的一塊種乙種作物。

三、例題

例（出示小黑板）某農(nóng)場300名職工耕種51公頃土地，計劃種植水稻、

棉花、和蔬菜，已知種植植物每公頃所需的勞動力人數(shù)及投入的設(shè)備獎金如下

表：

農(nóng)作物品種每公頃需勞動力每公頃需投入獎金

水稻4人1萬元

棉花8人1萬元

蔬菜5人2萬元

已知該農(nóng)場計劃在設(shè)備投入67萬元，應(yīng)該怎樣安排這三種作物的種植面

積，才能使所有職工都有工作，而且投入的資金正好夠用？

解：設(shè)安排x公頃種水稻，y公頃種棉花，那么由已知(2)可知，

種蔬菜有(51-x-y)公頃。根據(jù)題意得

4x+8y+5(51-x-y)＝300解得x=15

x+y+2(51-x-y)=67y=20

51-x-y=16

答：安排15公頃種水稻，20公頃種棉花，16公頃種蔬菜.

四、課堂練習(xí)：

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學(xué)生在手工實踐課中，遇到這樣的問題：要用20張白卡紙制作包裝紙盒。

每張白卡紙可以做盒身2個，或者做盒底蓋3個，如果1個盒身和2個盒底蓋

可以做成一個包裝紙盒，那么能否將這些白卡紙分成兩部分，一部分做盒身，

一部分做盒底蓋，使做成的盒身和盒底蓋正好配套？請你設(shè)計一種分法。

五、課堂小結(jié)

通過這節(jié)課的討論，你對方程解決實際的方法又有何新的認識？

六、課外作業(yè)

教科書P102—4、5題

8.3實際問題與二元一次方程（2）

板書設(shè)計探究2例題練習(xí)

分析解解

教學(xué)反思：教學(xué)中注意發(fā)揮學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性，引導(dǎo)學(xué)生先獨立探究，再進行合作交流，

讓學(xué)生經(jīng)歷問題的探究過程

第7課時

8.3實際問題與二元一次方程（3）

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教學(xué)目標：

1、知識與技能：

經(jīng)歷用列表的方式分析問題中所蘊涵的數(shù)量關(guān)系，列出二元一次方程組。

2、過程與方法：

進一步經(jīng)歷用列表的方式分析題目中的各個量得關(guān)系，體會方程組是刻畫

現(xiàn)實的有效數(shù)學(xué)模型；進一步運用二元一次方程組解決實際問題，引導(dǎo)探究法

3、情感態(tài)度與價值觀：

陪養(yǎng)分析、解決問題的能力，體會二元一次方程組的應(yīng)用價值。

教學(xué)重點：

用列表的方式分析題目中的各個量的關(guān)系。

教學(xué)難點：

借助列表分析問題中所蘊含的數(shù)量關(guān)系

教學(xué)準備：彩色粉筆、小黑板

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境

前面我們已經(jīng)體驗了兩次用方程組解決實際問題的全過程，其實生產(chǎn)、生

活中有許多問題也能用方程組來解決，那么我們這節(jié)課繼續(xù)探討用二元一次方

程組解決實際問題。

二、新課

活動1：（出示問題）如圖，長青化工廠與A，B兩地有公路、鐵路相

連，這家工廠從A地購買一批每噸1000元的原料運回工廠，制成的產(chǎn)品噸8000

元運到B地，公路運價為1.5元（噸·千米），鐵路運價為1.2元（噸·千米），

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這兩次運輸共支出公路運費15000元，鐵路運費97200元。這批產(chǎn)品的銷售款

比原料費與運輸費的和多多少元？

活動2分析解決問題

根據(jù)題意找出題中的已知條件和未知條件。

設(shè)問1.如何設(shè)未知數(shù)？

師生共同分析：銷售款與產(chǎn)品數(shù)量有關(guān)，原料費與原料數(shù)量有關(guān)，而公路

運費與產(chǎn)品數(shù)量和原料數(shù)量都有關(guān)。

設(shè)問2.如何確定題中數(shù)量關(guān)系？

師生列表分析

產(chǎn)品x噸原料y噸合計

公路運（元）

鐵路運（元）

價值(元)

題目所求數(shù)值是產(chǎn)品銷售款－（原料費+運輸費），為此需先解出產(chǎn)品重

x噸，原料重y噸。師生共同根據(jù)上表列方程組解答。

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解：設(shè)產(chǎn)品重x噸，原料重y噸。可列方程組為:

1.5×(20x+10y)=15000

1.2(110x+120y)=97200x=300

解這個方程組，得y=400

因為毛利潤-銷售款-原料費-運輸費=8000x—1000y—15000—

97200=1887800,所以這批產(chǎn)品的銷售款比原料費與運輸?shù)暮?887800元。

三、例題

例一批蔬菜運往某批發(fā)市場，菜農(nóng)準備租用汽車公司的甲、乙兩種貨車。

已知過去兩次租用這兩種貨車的記錄如下所表示，

甲種貨車乙種貨車總量（噸）

（輛）（輛）

第一次4528.5

第二次3627

這批蔬菜需租用5輛甲種貨車、2輛乙種貨車剛好一次運完，如果每噸付20元

運費，問：菜農(nóng)應(yīng)付運費多少元？

解：設(shè)每輛甲種每次運x噸，每輛乙種每次運y噸，根據(jù)題意得

4x+5y=28.5解得x=4

3x+6y=27y=2.5

運費：20（54+22.5）=500元

答：菜農(nóng)應(yīng)付運費500元。

四、練習(xí)

某山區(qū)有23名中、小學(xué)生因貧困失學(xué)要捐助。資助一名中學(xué)生的學(xué)習(xí)費用

需要a元，一名小學(xué)生的學(xué)習(xí)費用需要b元。某校學(xué)生積極捐款，初中各年級

學(xué)生捐款數(shù)額與用其捐助貧困中學(xué)生和小學(xué)生的部分情況如下表：

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捐款數(shù)額（元）捐助貧困中學(xué)生人數(shù)捐助貧困小學(xué)

（名）生人數(shù)（名）

初一年級400024

初二年級420033

初三年級7400

（1）求a、b的值。

（2）初三學(xué)生的捐款解決了其余貧困中小學(xué)生的學(xué)習(xí)費用，請將初三年級學(xué)

生可捐助的貧困中、小學(xué)生人數(shù)直接填入上表中（不必寫出計算過程）。

五、課堂小結(jié)

通過這節(jié)課的討論，你對方程解決實際的方法又有何新的認識？

六、課外作業(yè)

教科書P102—6、7題

8.3實際問題與二元一次方程（3）

板書設(shè)計探究3例題練習(xí)

分析解解

教學(xué)反思：教學(xué)時給學(xué)生足夠的時間與空間充分討論、交流，有利于學(xué)生真正體會問題解決

的過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新和探索精神。

第8課時

8.4三元一次方程組的解法

教學(xué)目標：

1、知識與技能：

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了解三元一次方程組的概念.

2、過程與方法：

掌握解三元一次方程組過程中化三元為二元的思路.會解某個方程只有兩

元的簡單的三元一次方程組．運用引導(dǎo)探究法

3、情感態(tài)度與價值觀：

透消元、化未知為已知的轉(zhuǎn)化思想，養(yǎng)成學(xué)生的合作互助意識，提高學(xué)生

的交流和表達能力。

教學(xué)重點：

使學(xué)生會解簡單的三元一次方程組．通過本節(jié)學(xué)習(xí)，進一步體會“消元”

的基本思想。

教學(xué)難點：

針對方程組的特點，靈活使用代入法、加減法等重要方法

教學(xué)準備：彩色粉筆

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情景

前面我們學(xué)習(xí)了二元一次方程組的解法，有些實際問題可以設(shè)出兩個未知

數(shù)，列出二元一次方程組來求解。實際上，有不少問題中會含有更多的未知數(shù)，

對于這樣的問題，我們將如何來解決呢？

二、新課

活動1

【引例】小明手頭有12張面額分別為1元，2元，5元的紙幣，共計22

元，其中1元紙幣的數(shù)量是2元紙幣數(shù)量的4倍，求1元，2元，5元紙幣各多

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少張．

提出問題：1．題目中有幾個條件？2．問題中有幾個未知量？3．根據(jù)等量

關(guān)系你能列出方程組嗎？

活動2

【列表分析】（師生共同完成）

（三個量關(guān)系）每張面值×張數(shù)=錢數(shù)

1元xx

2元y2y

5元z5z

合計1222

注1元紙幣的數(shù)量是2元紙幣數(shù)量的4倍，即x=4y

解：（學(xué)生敘述個人想法，教師板書）設(shè)1元，2元，5元的張數(shù)

為x張，y張，z張.

xyz12,

根據(jù)題意列方程組為：x2y5z22,

x4y.

【得出定義】（師生共同總結(jié)概括）

這個方程組有三個相同的未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，

并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組．

活動3探究三元一次方程組的解法

【解法探究】怎樣解這個方程組呢？能不能類比二元一次方程組的解法，

設(shè)法消去一個或兩個未知數(shù)，把它化成二元一次方程組或一元一次方程呢？

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xyz12①

解方程組x2y5z22②

x4y③

分析1：發(fā)現(xiàn)三個方程中x的系數(shù)都是1，因此確定用減法“消x”.

分析2：方程③是關(guān)于x的表達式，確定“消x”的目標.

【方法歸納】根據(jù)方程組的特點，由學(xué)生歸納出此類方程組為：

類型一：有表達式，用代入法.

類型二：缺某元，消某元.

二、例題

例1解三元一次方程組

3x+4z=7①

2x+3y+z=9②

5x-9y+7z=8③

解：②3+③，得

11x+10z=35④

①與④組成方程組得3x+4z=7

11x+10z=35

解這個方程組得x=5,

z=-2

1

把x=5，z=-2代入②，得25+3y-2=9，解得y=

3

所以，這個三元一次方程組的解為x=5,

y=1

3

z=-2

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例2在等式y(tǒng)=ax2+bx+c中，當(dāng)x=-1時，y=0；當(dāng)x=2時，y=3；當(dāng)x=5

時，y=60.求a,b,c的值。

解:略

三、課堂練習(xí)教科書P106—練習(xí)

四、課堂小結(jié)

1.解三元一次方程組的基本思路：通過“代入”或“加減”進行消元，把

“三元”化為“二元”，使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進而轉(zhuǎn)

化為解一元一次方程．

即三元一次方程組消元二元一次方程組消元一元一次方程

2.解題要有策略，今天我們學(xué)到的策略是：有表達式，用代入法；缺某元，

消某元

五、課外作業(yè)教科書P106—習(xí)題8.4第1題

8.4三元一次方程組解法舉例

xyz12①

板書設(shè)計x2y5z22②——定義：解法：

x4y③

例1例2

解解

教學(xué)反思：鼓勵學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上，積極地參與到對數(shù)學(xué)問題的討論中來，敢于

發(fā)表自己的觀點。通過小組合作可以培養(yǎng)學(xué)生的團隊精神，通過動手操作、探索，使學(xué)生更

好地體會

第9課時

習(xí)題課

教學(xué)目標：

1、知識與技能：

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復(fù)習(xí)并掌握本單元知識點，能熟練運用這些知識點進行計算

2、過程與方法：

經(jīng)歷自主探究的過程，發(fā)展思維能力，經(jīng)歷自主探究的過程，發(fā)展思維能

力。自主探究，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)

3、情感態(tài)度與價值觀：

使學(xué)生認識來源于實踐又反作用于實踐，數(shù)學(xué)知識是普遍聯(lián)系的。培養(yǎng)學(xué)

生一絲不茍、嚴肅認真的學(xué)習(xí)態(tài)度和勇于創(chuàng)新精神。

教學(xué)重點：