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第八章二元一次方程組
第1課時(shí)
8.1二元一次方程組
教學(xué)目標(biāo):
1、知識(shí)與技能:
了解二元一次方程、二元一次方程組和它的解的含義且會(huì)檢驗(yàn)一對(duì)數(shù)值是
不是某個(gè)二元一次方程的解。
2、過(guò)程與方法:
經(jīng)過(guò)利用已有知識(shí)解決新問(wèn)題的探索過(guò)程,通過(guò)觀察、歸納、實(shí)踐等方法
獲得數(shù)學(xué)思想。方法是引導(dǎo)探究法
3、情感態(tài)度與價(jià)值觀:
體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索和創(chuàng)造,認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)必須循序漸進(jìn)。
教學(xué)重點(diǎn):
了解二元一次方程,二元一次方程組以及二元一次方程組的解
教學(xué)難點(diǎn):
了解二元一次方程組的解的含義。
授課類型:新授課
教學(xué)準(zhǔn)備:彩色粉筆、小黑板
教學(xué)過(guò)程:
一、復(fù)習(xí)提問(wèn)
1.什么叫一元一次方程?什么叫一元一次方程的解?怎樣檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是否是
這個(gè)方程的解?
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二、新授課
問(wèn)題:(出示小黑板)籃球聯(lián)賽中,每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù),每隊(duì)勝一場(chǎng)得
2分.負(fù)一場(chǎng)得1分,某隊(duì)為了爭(zhēng)取較好的名次,想在全部22場(chǎng)比賽中得到40
分,那么這個(gè)隊(duì)勝負(fù)場(chǎng)數(shù)分別是多少?
思考:這個(gè)問(wèn)題中包含了哪些必須同時(shí)滿足的條件?設(shè)勝的場(chǎng)數(shù)是x,負(fù)
的場(chǎng)數(shù)是y,你能用方程把這些條件表示出來(lái)嗎?
由問(wèn)題知道,題中包含兩個(gè)必須同時(shí)滿足的條件:
勝的場(chǎng)數(shù)+負(fù)的場(chǎng)數(shù)=總場(chǎng)數(shù),勝場(chǎng)積分+負(fù)場(chǎng)積分=總積分.
這兩個(gè)條件可以用方程x+y=22,2x+y=40表示.
上面兩個(gè)方程中,每個(gè)方程都含有兩個(gè)未知數(shù)(x和y),并且含有未知數(shù)
的項(xiàng)的次數(shù)都是1,像這樣的方程叫做二元一次方程.
把兩個(gè)方程合在一起,寫成
x+y=22①
2x+y=40②
像這樣,把兩個(gè)二元一次方程合在一起,就組成了一個(gè)二元一次方程組.
探究:滿足方程①,且符合問(wèn)題的實(shí)際意義的x、y的值有哪些?把它們填入
表中.
X
Y
上表中哪對(duì)x、y的值還滿足方程②
一般地,使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值,叫做二元一次
方程的解.二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解,叫做二元一次方程組的解.
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三、例題講解
例1(1)方程(a+2)x+(b-1)y=3是關(guān)于x、y的二元一次方程,
試求a、b的取值范圍.
(2)方程x∣a∣–1+(a-2)y=2是關(guān)于x、y的二元一次方程,試
求a的值.
解:略
例2若方程x2m–1+5y3n–2=7是二元一次方程.求m、n的值
解:略
四、課堂練習(xí):
1、(補(bǔ)充練習(xí))請(qǐng)你判斷下列式子是否為二元一次方程?
2
(1)x-2y=8;(2)x2+y=0;(3)x=+1;
y
(4)a+1b;(5)xy+y=2;(6)x+2y=0.
23
2、教科書P89——練習(xí)
五、課堂小結(jié)
1.什么是二元一次方程,什么是二元一次方程組?
2.什么是二元一次方程組的解?如何檢驗(yàn)一對(duì)數(shù)是不是某個(gè)方程組的解?
六、課外作業(yè)
教科書第90頁(yè)習(xí)題8.1。
8.1二元一次方程組.
二元一次方程:例1例2
板書設(shè)計(jì)二元一次方程組:解解
二元一次方程的解:
二元一次方程組的解
教學(xué)反思:教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上,積極地參與到對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的討論中來(lái),
敢于發(fā)表自己的觀點(diǎn),尊重理解他人的見解,在交流中獲益。
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第2課時(shí)
8.2消元——解二元一次方程組(代入法)
教學(xué)目標(biāo):
1、知識(shí)與技能:
掌握用代入消元法解二元一次方程組的基本步驟,初步體會(huì)解二元一次方
程組的基本思路是消元。
2、過(guò)程與方法:
通過(guò)實(shí)踐中體會(huì)根據(jù)方程組未知數(shù)系數(shù)的特點(diǎn),選擇較為合理、簡(jiǎn)單的表
示方法,將一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)。用引導(dǎo)探究法
3、情感態(tài)度與價(jià)值觀:
通過(guò)研究解決問(wèn)題的方法,培養(yǎng)學(xué)生合作交流意識(shí)與探究精神。
教學(xué)重點(diǎn):
用代入法把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。
教學(xué)難點(diǎn):
用代入法求出一個(gè)未知數(shù)值后,把它代入哪個(gè)方程求另一個(gè)未知數(shù)的值
授課類型:新授課
教學(xué)準(zhǔn)備:彩色粉筆、小黑板
教學(xué)過(guò)程:
一、創(chuàng)設(shè)情境知識(shí)回顧
1、什么是二元一次方程及二元一次方程的解?
2、什么是二元一次方程組及二元一次方程組的解?
3、(出示小黑板)籃球聯(lián)賽中,每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù),每隊(duì)勝一場(chǎng)得2
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分.負(fù)一場(chǎng)得1分,某隊(duì)為了爭(zhēng)取較好的名次,想在全部22場(chǎng)比賽中得到40
分,那么這個(gè)隊(duì)勝負(fù)場(chǎng)數(shù)分別是多少?
在上述問(wèn)題中,我們可以設(shè)出兩個(gè)未知數(shù),列出二元一次方程組.這個(gè)問(wèn)題
能用一元一次方程解決嗎?
二、講授新課
上面的問(wèn)題可以用兩種方法求解:
方法一:可列一元一次方程來(lái)解方法二:可列二元一次方程組來(lái)解
解:設(shè)這個(gè)隊(duì)勝了x場(chǎng),解:設(shè)這個(gè)隊(duì)勝場(chǎng)數(shù)為
則負(fù)了(22-x)場(chǎng),x場(chǎng),負(fù)了y場(chǎng),
由題意的得由題意得
xy22
2x+(22-x)=40(以下略)y22x
2xy40
這里所用的是是將未知數(shù)的個(gè)數(shù)有多化少,逐一解決的想法——消
元思想。具體是由x+y=22得y=22-x,再把y=22-x代人2x+y=40得2x+(22-x)
=40,這樣就消掉了一個(gè)未知數(shù)y,把原來(lái)的二元一次方程組就化為了我們
熟悉的一元一次方程,這就是代入消元法,簡(jiǎn)稱代入法
三、例題講解
例1解方程組:
xy7,①
①
3xy17.②
解:由①得y=7-x.③
將③代入②,得3x+7-x=17,即x=5.
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將x=5代入③,得y=2.
x5,
所以
y2.
例2教科書p92——例2
讓學(xué)生自己概括上面解法的思路,對(duì)有困難的同學(xué),教師加以引導(dǎo),并總
結(jié)出解方程的步驟:
1.選取一個(gè)方程,將它寫成用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù),記作方程
③。
2.把③代人另一個(gè)方程,得一元一次方程。
3.解這個(gè)一元一次方程,得一個(gè)未知數(shù)的值。
4.把這個(gè)未知數(shù)的值代人③,求出另一個(gè)未知數(shù)值,從而得到方程組的
解。
四、課堂練習(xí):教科書P93——練習(xí)1,2,3,4
五、課堂小結(jié):
1.解二元一次方程組的思路。
2.掌握代入消元法解二元一次方程組的一般步驟。
六、課外作業(yè):教科書P97習(xí)題8.2——2題
教學(xué)
8.2消元——解二元一次方程組(代入法)
反思:教學(xué)
代入法:例1例2
中提出板書設(shè)計(jì)問(wèn)題
基本思想:消元解解
后留給學(xué)生
足夠的獨(dú)立
思考和自主探究的時(shí)間與空間,為學(xué)生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì),并鼓勵(lì)學(xué)生積極地投
入到小組討
論中去,
第3課時(shí)
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8.2消元——解二元一次方程組(加減法)
教學(xué)目標(biāo):
1、知識(shí)與技能:
熟練掌握用加減法解二元一次方程組,體會(huì)解二元一次方程組的基本思路
是“消元”。
2、過(guò)程與方法:
通過(guò)用代入法解二元一次方程組,引出加減法,進(jìn)一步認(rèn)識(shí)消元的重要性。
方法是引導(dǎo)探究法
3、情感態(tài)度與價(jià)值觀:
滲透消元、化未知為已知的轉(zhuǎn)化思想,養(yǎng)成學(xué)生的合作互助意識(shí),提高學(xué)
生的交流和表達(dá)能力。
教學(xué)重點(diǎn):
熟練地用加減法解一般形式的二元一次方程組。
教學(xué)難點(diǎn):
準(zhǔn)確地把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。
教學(xué)準(zhǔn)備:彩色粉筆
教學(xué)過(guò)程:
一、創(chuàng)設(shè)情境
用代入法解方程組
2x+5y=9①
3x+5y=11②
解:由①得,
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x=95y③
2
把③代人②,得
95y
3+5y=11,
2
解得y=1
把y=1代入①,得
x=2
∴這個(gè)方程組的解為
x=2
y=1
這個(gè)方程組還有沒(méi)有其它解法呢?
二、新授課
1、提出問(wèn)題,引發(fā)討論
我們知道,對(duì)于方程組
2x+5y=9①
3x+5y=11②
可以用代入消元法求解。
這個(gè)方程組的兩個(gè)方程中,y的系數(shù)有什么關(guān)系??利用這種關(guān)系你能發(fā)現(xiàn)
新的消元方法嗎?(引出課題)
解:②-①得
x=2
把x=2代入①,得
22+5y=9,
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即y=1
∴這個(gè)方程組的解為
x=2
y=1
2.想一想:聯(lián)系上面的解法,想一想應(yīng)怎樣解方程組
3x+10y=2.8①
15x-10y=8②
分析:這兩個(gè)方程中未知數(shù)y的系數(shù)互為相反數(shù),?因此由①+②可消去未知
數(shù)y,從而求出未知數(shù)x的值。
解:由①+②得
18x=10.8,
即x=0.6,
把x=0.6代入①得
y=-0.1
∴這個(gè)方程組的解為
x=0.6
y=-0.1
3、加減消元法的概念
從上面兩個(gè)方程組的解法可以發(fā)現(xiàn),把兩個(gè)二元一次方程的兩邊分別進(jìn)行
相加減,就可以消去一個(gè)未知數(shù),得到一個(gè)一元一次方程。
兩個(gè)二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí),將兩個(gè)方程的兩邊
分別相加或相減,就能消去這個(gè)未知數(shù),得到一個(gè)一元一次方程,這種方法叫
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做加減消元法,簡(jiǎn)稱加減法。
三、例題講解
例用加減法解方程組
3x+4y=16①
5x-6y=33②
解:①3,②2得
9x+12y=48③
10x-12y=66④
③+④得
19x=114,
解得x=6
把x=6代入①得
36+4y=16
解得y=-1
2
∴這個(gè)方程組的解為
x=6
y=-1
2
四、課堂練習(xí)
教科書P96—練習(xí)1
五、課堂小結(jié)
(1)用加減消元法解二元一次方程組的基本思路仍然是“消元”.
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(2)用加減法解二元一次方程組的一般步驟:
第一步:在所解的方程組中的兩個(gè)方程,如果某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反
數(shù),?可以把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加,消去這個(gè)未知數(shù);如果未知數(shù)的系數(shù)相
等,?可以直接把兩個(gè)方程的兩邊相減,消去這個(gè)未知數(shù).
第二步:如果方程組中不存在某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值相等,那么應(yīng)選出一
組系數(shù)(選最小公倍數(shù)較小的一組系數(shù)),求出它們的最小公倍數(shù)(如果一個(gè)系數(shù)
是另一個(gè)系數(shù)的整數(shù)倍,該系數(shù)即為最小公倍數(shù)),然后將原方程組變形,使新方
程組的這組系數(shù)的絕對(duì)值相等(都等于原系數(shù)的最小公倍數(shù)),再加減消元.
六、作業(yè)
教科書第98頁(yè)習(xí)題8.2第3題。
8.2消元——解二元一次方程組(加減法)
定義引例例練習(xí):
板書設(shè)計(jì)
解
教學(xué)反思:通過(guò)動(dòng)手操作、主動(dòng)思考、合作交流的“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程,讓學(xué)生親
身體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程,增強(qiáng)動(dòng)手操作和合作交流能力,利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題。
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第4課時(shí)
8.2消元——二元一次方程組的解法
教學(xué)目標(biāo):
1.知識(shí)與技能:熟練掌握用代入法、加減法解二元一次方程組,體會(huì)解
二元一次方程組的基本思路是“消元”。
2.過(guò)程與方法:使學(xué)生了解用加減法解二元一次方程組的一般步驟,能
熟練地用加減法解較復(fù)雜的二元一次方程組。引導(dǎo)探究法。
3、情感態(tài)度與價(jià)值觀:滲透消元、化未知為已知的轉(zhuǎn)化思想,養(yǎng)成學(xué)生
的合作互助意識(shí),提高學(xué)生的交流和表達(dá)能力。
教學(xué)重點(diǎn):
用代入法、加減法解二元一次方程組.
教學(xué)難點(diǎn):
將方程組化成兩個(gè)方程中的某一未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等。
教學(xué)準(zhǔn)備:彩色粉筆
教學(xué)過(guò)程:
一、復(fù)習(xí)
下列方程組用加減法可消哪一個(gè)元,如何消元,消元后的一元一次方程是
什么?
3x+4y=-3.44x-2y=5.6
6x-4y=5.27x-2y=7.7
二、新課
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用代入法解二元一次方程的基本思想是消元,只有消去一個(gè)未知數(shù),才能
把二元轉(zhuǎn)化為熟悉的一元方程求解,為了消元,除了代入法還有加減法。
解題時(shí)先觀察方程組,在這個(gè)方程組中,未知數(shù)x的系數(shù)有什么特點(diǎn)?怎樣
才能把這個(gè)未知數(shù)消去?你的根據(jù)是什么?
例4.解方程組3x+7y=9①
4x-7y=5②
解:①+②,得7x=14
x=2兩個(gè)方程中,未知數(shù)y的
將x=2代入①,得系數(shù)是互為相反數(shù),而互
6+7y=9為相反數(shù)的和為零,所以
3
=應(yīng)把方程①的兩邊分別加
y7
∴x=2上方程②的兩邊。
3
=
y7
三、鞏固練習(xí)
解下列方程組
5xy7,4x3y5,
1.2.
3xy1.4x6y14.
0.5x3y1,
6x7y5,
3.4.1
6x7y19.x5y3.
2
四、課堂小結(jié)
加減法解二元一次方程組,兩方程中若有一個(gè)未知數(shù)系數(shù)的絕對(duì)值相等,
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可直接加減消元;若同一未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值不等,則應(yīng)選一個(gè)或兩個(gè)方程變
形,使一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等,然后再直接用加減法求解;若方程組
比較復(fù)雜,應(yīng)先化簡(jiǎn)整理。
五、作業(yè)
教科書第98頁(yè)習(xí)題8.2第5題。
8.2消元——二元一次方程組的解法
引例例題
板書設(shè)計(jì)
分析解學(xué)生練習(xí)
教學(xué)反思:除題目明確要求解法外,我們要能做到熟練而靈活地解方程組,就
必須要仔細(xì)觀察方程組特點(diǎn),選擇恰當(dāng)?shù)奶幚矸绞胶徒夥?,這樣做不但較為簡(jiǎn)
便,快捷,還能減少運(yùn)算量,確保準(zhǔn)確性,這還需要同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中精
心思考、不斷總結(jié)、用心領(lǐng)悟!
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第5課時(shí)
8.3實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組(1)
教學(xué)目標(biāo):
1、知識(shí)與技能:
能夠找出實(shí)際問(wèn)題中的已知數(shù)和未知數(shù),分析它們之間的數(shù)量關(guān)系,列出方
程組。進(jìn)一步運(yùn)用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題,能把實(shí)際問(wèn)題建立成數(shù)學(xué)模
型。
2、過(guò)程與方法:
經(jīng)歷用方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程,掌握用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題
的方法,讓學(xué)生逐步建立方程思想。用引導(dǎo)探究法。
3、情感態(tài)度與價(jià)值觀:
培養(yǎng)分析、解決問(wèn)題的能力,體會(huì)二元一次方程組的應(yīng)用價(jià)值,激發(fā)學(xué)生的
探究欲望和學(xué)習(xí)熱情。
教學(xué)重點(diǎn):
能根據(jù)題意列二元一次方程組;根據(jù)題意找出等量關(guān)系;
教學(xué)難點(diǎn):
正確發(fā)找出問(wèn)題中的兩個(gè)等量關(guān)系
教學(xué)準(zhǔn)備:彩色粉筆、小黑板
教學(xué)過(guò)程:
一、創(chuàng)設(shè)情境
前面我們結(jié)合實(shí)際問(wèn)題,討論了用方程組表示問(wèn)題中的條件以及如何解方
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程組,本節(jié)我們繼續(xù)探究用方程組解決實(shí)際問(wèn)題。
列方程解應(yīng)用題的步驟是什么?(審題、設(shè)未知數(shù)、列方程、
方程、檢驗(yàn)并答)
二、新課
活動(dòng)1課本99頁(yè)探究1
養(yǎng)牛場(chǎng)原有30只大牛和15只小牛,1天約用飼料675千克,一周后又購(gòu)進(jìn)
12只大牛和5只小牛,這時(shí)1天約用飼料940千克。飼養(yǎng)員里大叔估計(jì)每只大
牛1天約需飼料18千克到20千克,每只小牛1天約需飼料7千克到8千克。
你能否通過(guò)計(jì)算檢驗(yàn)他的估計(jì)?(出示小黑板)
問(wèn)題:1、題中有哪些已知量?哪些未知量?2、題中等量關(guān)系有哪些?3、
如何解這個(gè)應(yīng)用題?
本題的等量關(guān)系是(1)30只母牛和15只小牛一天需用飼料為675kg;(2)
(30+12)只母牛和(15+5)只小牛一天需用飼料為940kg
活動(dòng)2解決問(wèn)題
找出題中的已知條件和未知條件。判斷李大叔的估計(jì)是否正確。
方法(1):假設(shè)李大叔的估計(jì)是否正確,根據(jù)題中給定的數(shù)量關(guān)系來(lái)檢驗(yàn)。
方法(2):根據(jù)題中給定的數(shù)量關(guān)系求出平均每只大牛和每只小牛1天各
需飼料量,在來(lái)判斷李大叔的估計(jì)是否正確。
哪種方法比較簡(jiǎn)便?如果選用第二種方法,如何計(jì)算平均每只大牛和每只
小牛1天各需飼料量?
然后師生共同探討解題過(guò)程。板書解題過(guò)程。
總結(jié):用方程組解決實(shí)際問(wèn)題有哪些步驟?
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(1)設(shè)未知數(shù)
(2)找等量關(guān)系
(3)列方程組
(4)解方程組
(5)檢驗(yàn)并作答
二、例題
例:有大小兩種貨車,2輛大車與3輛小車一次可以運(yùn)貨15.5噸,5輛大
車與6輛小車一次可以運(yùn)貨35噸,3輛大車與5輛小車一次可以運(yùn)貨多少噸?
(出示小黑板)
解:設(shè)1輛大車一次可以運(yùn)貨x噸,1輛小車一次可以運(yùn)貨y噸。依題
意得
2x+3y=15.5
5x+6y=35
解得,x=4
y=2.5
3x+5y=24.5
答:3輛大車與5輛小車一次可以運(yùn)貨24.5噸。
三、課堂練習(xí)
1、某所中學(xué)現(xiàn)在有學(xué)生4200人,計(jì)劃一年后初中在樣生增
8%,高中在校生增加11%,這樣全校學(xué)生將增加10%,這所學(xué)?,F(xiàn)在的初中
在校生和高中在校生人數(shù)各是多少人?
2、某工廠第一車間比第二車間人數(shù)的4少30人,如果從第二車間調(diào)出10
5
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人到第一車間,則第一車間的人數(shù)是第二車間的3,問(wèn)這兩車間原有多少人?
4
3、某運(yùn)輸隊(duì)送一批貨物,計(jì)劃20天完成,實(shí)際每天多運(yùn)送5噸
結(jié)果不但提前2天完成任務(wù)并多運(yùn)了10噸,求這批貨物有多少噸?原計(jì)劃每天
運(yùn)輸多少噸?
四、課堂小結(jié)
由學(xué)生歸納出本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容,談一談本節(jié)課得到了什么啟示?
五、課外作業(yè)
教科P101—2,3題
8.3實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程(1)
板書設(shè)計(jì)探究1例練習(xí)
分析解
教學(xué)反思:教學(xué)中注意發(fā)揮學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性,引導(dǎo)學(xué)生先獨(dú)立探究,再進(jìn)行合作交流,
讓學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題的探究過(guò)程,加深學(xué)生對(duì)牛飼料問(wèn)題的理解,滲透數(shù)學(xué)建模思想,使學(xué)生進(jìn)
一步熟悉利用方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程
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第6課時(shí)
8.3實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程(2)
教學(xué)目標(biāo):
1、知識(shí)與技能
能夠找出實(shí)際問(wèn)題中的已知數(shù)和未知數(shù),分析它們之間的數(shù)量關(guān)系,列出方
程組。
2、過(guò)程與方法:
經(jīng)歷用方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程,體會(huì)方程組是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中含有多個(gè)
未知數(shù)的問(wèn)題的有效數(shù)學(xué)模型。進(jìn)一步運(yùn)用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題。用
引導(dǎo)探究法
3、情感態(tài)度與價(jià)值觀:
在用方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中,體驗(yàn)數(shù)學(xué)的實(shí)際性,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的
興趣,滲透《中華人民共和國(guó)土地管理法》
教學(xué)重點(diǎn):
讓學(xué)生實(shí)踐與探索,運(yùn)用二元一次方程解決有關(guān)配套與設(shè)計(jì)的應(yīng)用題
教學(xué)難點(diǎn):
尋找等量關(guān)系
教學(xué)準(zhǔn)備:彩色粉筆、小黑板
教學(xué)過(guò)程:
一、情景導(dǎo)入
前面我們初步體驗(yàn)了用方程組解決實(shí)際問(wèn)題的全過(guò)程,其實(shí)生產(chǎn)、生活中還
有許多問(wèn)題也能用方程組解決,那么我們這節(jié)課繼續(xù)探討用二元一次方程組解
決實(shí)際問(wèn)題。
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二、新課
探究2(出示小黑板)據(jù)統(tǒng)計(jì)資料,甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量比
是1:2?,F(xiàn)要把一塊長(zhǎng)200米、寬100米的長(zhǎng)方形土地,分為兩塊小長(zhǎng)方形土地,
分別種植兩種作物。怎樣劃分這塊土地,使甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3:
4?
讓我們先來(lái)了解一下《中華人民共和國(guó)土地管理法》第一條為了加強(qiáng)
土地管理,維護(hù)土地的社會(huì)主義公有制,保護(hù)、開發(fā)土地資源,合理利用土地,
切實(shí)保護(hù)耕地,促進(jìn)社會(huì)經(jīng)濟(jì)的可持續(xù)發(fā)展。任何單位和個(gè)人不得侵占、買賣
或者以其他形式非法轉(zhuǎn)讓土地。土地使用權(quán)可以依法轉(zhuǎn)讓。國(guó)家為了公共利益
的需要,可以依法對(duì)土地實(shí)行征收或者征用并給予補(bǔ)償。第三條十分珍惜、
合理利用土地和切實(shí)保護(hù)耕地是我國(guó)的基本國(guó)策。各級(jí)人民政府應(yīng)當(dāng)采取措
施,全面規(guī)劃,嚴(yán)格管理,保護(hù)、開發(fā)土地資源,制止非法占用土地的行為。
問(wèn)題:
1、“甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量比是1:2”是什么意思?
2、“甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量比為3:4”是什么意思?
3、本題中有哪些等量關(guān)系?
提示:若甲種作物單位產(chǎn)量是a,那么乙種作物單位產(chǎn)量是多少?
分析:如圖,一種種植方案為:甲、乙兩種作物的種植區(qū)域分別為長(zhǎng)方形
AEFD和BCFE,設(shè)AE=xm,BE=ym根據(jù)問(wèn)題中涉及長(zhǎng)度、產(chǎn)量的數(shù)量關(guān)系,
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列方程組
x+y=200解得x=120
100x:2100y=3:4y=80
即過(guò)長(zhǎng)方形土地的長(zhǎng)邊上離一端120m處,作這條邊的垂線,把這塊土地分
為兩塊長(zhǎng)方形土地,較大一塊種甲種作物,較小的一塊種乙種作物。
三、例題
例(出示小黑板)某農(nóng)場(chǎng)300名職工耕種51公頃土地,計(jì)劃種植水稻、
棉花、和蔬菜,已知種植植物每公頃所需的勞動(dòng)力人數(shù)及投入的設(shè)備獎(jiǎng)金如下
表:
農(nóng)作物品種每公頃需勞動(dòng)力每公頃需投入獎(jiǎng)金
水稻4人1萬(wàn)元
棉花8人1萬(wàn)元
蔬菜5人2萬(wàn)元
已知該農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃在設(shè)備投入67萬(wàn)元,應(yīng)該怎樣安排這三種作物的種植面
積,才能使所有職工都有工作,而且投入的資金正好夠用?
解:設(shè)安排x公頃種水稻,y公頃種棉花,那么由已知(2)可知,
種蔬菜有(51-x-y)公頃。根據(jù)題意得
4x+8y+5(51-x-y)=300解得x=15
x+y+2(51-x-y)=67y=20
51-x-y=16
答:安排15公頃種水稻,20公頃種棉花,16公頃種蔬菜.
四、課堂練習(xí):
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學(xué)生在手工實(shí)踐課中,遇到這樣的問(wèn)題:要用20張白卡紙制作包裝紙盒。
每張白卡紙可以做盒身2個(gè),或者做盒底蓋3個(gè),如果1個(gè)盒身和2個(gè)盒底蓋
可以做成一個(gè)包裝紙盒,那么能否將這些白卡紙分成兩部分,一部分做盒身,
一部分做盒底蓋,使做成的盒身和盒底蓋正好配套?請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種分法。
五、課堂小結(jié)
通過(guò)這節(jié)課的討論,你對(duì)方程解決實(shí)際的方法又有何新的認(rèn)識(shí)?
六、課外作業(yè)
教科書P102—4、5題
8.3實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程(2)
板書設(shè)計(jì)探究2例題練習(xí)
分析解解
教學(xué)反思:教學(xué)中注意發(fā)揮學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性,引導(dǎo)學(xué)生先獨(dú)立探究,再進(jìn)行合作交流,
讓學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題的探究過(guò)程
第7課時(shí)
8.3實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程(3)
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教學(xué)目標(biāo):
1、知識(shí)與技能:
經(jīng)歷用列表的方式分析問(wèn)題中所蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系,列出二元一次方程組。
2、過(guò)程與方法:
進(jìn)一步經(jīng)歷用列表的方式分析題目中的各個(gè)量得關(guān)系,體會(huì)方程組是刻畫
現(xiàn)實(shí)的有效數(shù)學(xué)模型;進(jìn)一步運(yùn)用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題,引導(dǎo)探究法
3、情感態(tài)度與價(jià)值觀:
陪養(yǎng)分析、解決問(wèn)題的能力,體會(huì)二元一次方程組的應(yīng)用價(jià)值。
教學(xué)重點(diǎn):
用列表的方式分析題目中的各個(gè)量的關(guān)系。
教學(xué)難點(diǎn):
借助列表分析問(wèn)題中所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系
教學(xué)準(zhǔn)備:彩色粉筆、小黑板
教學(xué)過(guò)程:
一、創(chuàng)設(shè)情境
前面我們已經(jīng)體驗(yàn)了兩次用方程組解決實(shí)際問(wèn)題的全過(guò)程,其實(shí)生產(chǎn)、生
活中有許多問(wèn)題也能用方程組來(lái)解決,那么我們這節(jié)課繼續(xù)探討用二元一次方
程組解決實(shí)際問(wèn)題。
二、新課
活動(dòng)1:(出示問(wèn)題)如圖,長(zhǎng)青化工廠與A,B兩地有公路、鐵路相
連,這家工廠從A地購(gòu)買一批每噸1000元的原料運(yùn)回工廠,制成的產(chǎn)品噸8000
元運(yùn)到B地,公路運(yùn)價(jià)為1.5元(噸·千米),鐵路運(yùn)價(jià)為1.2元(噸·千米),
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這兩次運(yùn)輸共支出公路運(yùn)費(fèi)15000元,鐵路運(yùn)費(fèi)97200元。這批產(chǎn)品的銷售款
比原料費(fèi)與運(yùn)輸費(fèi)的和多多少元?
活動(dòng)2分析解決問(wèn)題
根據(jù)題意找出題中的已知條件和未知條件。
設(shè)問(wèn)1.如何設(shè)未知數(shù)?
師生共同分析:銷售款與產(chǎn)品數(shù)量有關(guān),原料費(fèi)與原料數(shù)量有關(guān),而公路
運(yùn)費(fèi)與產(chǎn)品數(shù)量和原料數(shù)量都有關(guān)。
設(shè)問(wèn)2.如何確定題中數(shù)量關(guān)系?
師生列表分析
產(chǎn)品x噸原料y噸合計(jì)
公路運(yùn)(元)
鐵路運(yùn)(元)
價(jià)值(元)
題目所求數(shù)值是產(chǎn)品銷售款-(原料費(fèi)+運(yùn)輸費(fèi)),為此需先解出產(chǎn)品重
x噸,原料重y噸。師生共同根據(jù)上表列方程組解答。
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解:設(shè)產(chǎn)品重x噸,原料重y噸??闪蟹匠探M為:
1.5×(20x+10y)=15000
1.2(110x+120y)=97200x=300
解這個(gè)方程組,得y=400
因?yàn)槊麧?rùn)-銷售款-原料費(fèi)-運(yùn)輸費(fèi)=8000x—1000y—15000—
97200=1887800,所以這批產(chǎn)品的銷售款比原料費(fèi)與運(yùn)輸?shù)暮?887800元。
三、例題
例一批蔬菜運(yùn)往某批發(fā)市場(chǎng),菜農(nóng)準(zhǔn)備租用汽車公司的甲、乙兩種貨車。
已知過(guò)去兩次租用這兩種貨車的記錄如下所表示,
甲種貨車乙種貨車總量(噸)
(輛)(輛)
第一次4528.5
第二次3627
這批蔬菜需租用5輛甲種貨車、2輛乙種貨車剛好一次運(yùn)完,如果每噸付20元
運(yùn)費(fèi),問(wèn):菜農(nóng)應(yīng)付運(yùn)費(fèi)多少元?
解:設(shè)每輛甲種每次運(yùn)x噸,每輛乙種每次運(yùn)y噸,根據(jù)題意得
4x+5y=28.5解得x=4
3x+6y=27y=2.5
運(yùn)費(fèi):20(54+22.5)=500元
答:菜農(nóng)應(yīng)付運(yùn)費(fèi)500元。
四、練習(xí)
某山區(qū)有23名中、小學(xué)生因貧困失學(xué)要捐助。資助一名中學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用
需要a元,一名小學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用需要b元。某校學(xué)生積極捐款,初中各年級(jí)
學(xué)生捐款數(shù)額與用其捐助貧困中學(xué)生和小學(xué)生的部分情況如下表:
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捐款數(shù)額(元)捐助貧困中學(xué)生人數(shù)捐助貧困小學(xué)
(名)生人數(shù)(名)
初一年級(jí)400024
初二年級(jí)420033
初三年級(jí)7400
(1)求a、b的值。
(2)初三學(xué)生的捐款解決了其余貧困中小學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用,請(qǐng)將初三年級(jí)學(xué)
生可捐助的貧困中、小學(xué)生人數(shù)直接填入上表中(不必寫出計(jì)算過(guò)程)。
五、課堂小結(jié)
通過(guò)這節(jié)課的討論,你對(duì)方程解決實(shí)際的方法又有何新的認(rèn)識(shí)?
六、課外作業(yè)
教科書P102—6、7題
8.3實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程(3)
板書設(shè)計(jì)探究3例題練習(xí)
分析解解
教學(xué)反思:教學(xué)時(shí)給學(xué)生足夠的時(shí)間與空間充分討論、交流,有利于學(xué)生真正體會(huì)問(wèn)題解決
的過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新和探索精神。
第8課時(shí)
8.4三元一次方程組的解法
教學(xué)目標(biāo):
1、知識(shí)與技能:
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了解三元一次方程組的概念.
2、過(guò)程與方法:
掌握解三元一次方程組過(guò)程中化三元為二元的思路.會(huì)解某個(gè)方程只有兩
元的簡(jiǎn)單的三元一次方程組.運(yùn)用引導(dǎo)探究法
3、情感態(tài)度與價(jià)值觀:
透消元、化未知為已知的轉(zhuǎn)化思想,養(yǎng)成學(xué)生的合作互助意識(shí),提高學(xué)生
的交流和表達(dá)能力。
教學(xué)重點(diǎn):
使學(xué)生會(huì)解簡(jiǎn)單的三元一次方程組.通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí),進(jìn)一步體會(huì)“消元”
的基本思想。
教學(xué)難點(diǎn):
針對(duì)方程組的特點(diǎn),靈活使用代入法、加減法等重要方法
教學(xué)準(zhǔn)備:彩色粉筆
教學(xué)過(guò)程:
一、創(chuàng)設(shè)情景
前面我們學(xué)習(xí)了二元一次方程組的解法,有些實(shí)際問(wèn)題可以設(shè)出兩個(gè)未知
數(shù),列出二元一次方程組來(lái)求解。實(shí)際上,有不少問(wèn)題中會(huì)含有更多的未知數(shù),
對(duì)于這樣的問(wèn)題,我們將如何來(lái)解決呢?
二、新課
活動(dòng)1
【引例】小明手頭有12張面額分別為1元,2元,5元的紙幣,共計(jì)22
元,其中1元紙幣的數(shù)量是2元紙幣數(shù)量的4倍,求1元,2元,5元紙幣各多
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少?gòu)垼?/p>
提出問(wèn)題:1.題目中有幾個(gè)條件?2.問(wèn)題中有幾個(gè)未知量?3.根據(jù)等量
關(guān)系你能列出方程組嗎?
活動(dòng)2
【列表分析】(師生共同完成)
(三個(gè)量關(guān)系)每張面值×張數(shù)=錢數(shù)
1元xx
2元y2y
5元z5z
合計(jì)1222
注1元紙幣的數(shù)量是2元紙幣數(shù)量的4倍,即x=4y
解:(學(xué)生敘述個(gè)人想法,教師板書)設(shè)1元,2元,5元的張數(shù)
為x張,y張,z張.
xyz12,
根據(jù)題意列方程組為:x2y5z22,
x4y.
【得出定義】(師生共同總結(jié)概括)
這個(gè)方程組有三個(gè)相同的未知數(shù),每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,
并且一共有三個(gè)方程,像這樣的方程組叫做三元一次方程組.
活動(dòng)3探究三元一次方程組的解法
【解法探究】怎樣解這個(gè)方程組呢?能不能類比二元一次方程組的解法,
設(shè)法消去一個(gè)或兩個(gè)未知數(shù),把它化成二元一次方程組或一元一次方程呢?
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xyz12①
解方程組x2y5z22②
x4y③
分析1:發(fā)現(xiàn)三個(gè)方程中x的系數(shù)都是1,因此確定用減法“消x”.
分析2:方程③是關(guān)于x的表達(dá)式,確定“消x”的目標(biāo).
【方法歸納】根據(jù)方程組的特點(diǎn),由學(xué)生歸納出此類方程組為:
類型一:有表達(dá)式,用代入法.
類型二:缺某元,消某元.
二、例題
例1解三元一次方程組
3x+4z=7①
2x+3y+z=9②
5x-9y+7z=8③
解:②3+③,得
11x+10z=35④
①與④組成方程組得3x+4z=7
11x+10z=35
解這個(gè)方程組得x=5,
z=-2
1
把x=5,z=-2代入②,得25+3y-2=9,解得y=
3
所以,這個(gè)三元一次方程組的解為x=5,
y=1
3
z=-2
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例2在等式y(tǒng)=ax2+bx+c中,當(dāng)x=-1時(shí),y=0;當(dāng)x=2時(shí),y=3;當(dāng)x=5
時(shí),y=60.求a,b,c的值。
解:略
三、課堂練習(xí)教科書P106—練習(xí)
四、課堂小結(jié)
1.解三元一次方程組的基本思路:通過(guò)“代入”或“加減”進(jìn)行消元,把
“三元”化為“二元”,使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組,進(jìn)而轉(zhuǎn)
化為解一元一次方程.
即三元一次方程組消元二元一次方程組消元一元一次方程
2.解題要有策略,今天我們學(xué)到的策略是:有表達(dá)式,用代入法;缺某元,
消某元
五、課外作業(yè)教科書P106—習(xí)題8.4第1題
8.4三元一次方程組解法舉例
xyz12①
板書設(shè)計(jì)x2y5z22②——定義:解法:
x4y③
例1例2
解解
教學(xué)反思:鼓勵(lì)學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上,積極地參與到對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的討論中來(lái),敢于
發(fā)表自己的觀點(diǎn)。通過(guò)小組合作可以培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)精神,通過(guò)動(dòng)手操作、探索,使學(xué)生更
好地體會(huì)
第9課時(shí)
習(xí)題課
教學(xué)目標(biāo):
1、知識(shí)與技能:
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復(fù)習(xí)并掌握本單元知識(shí)點(diǎn),能熟練運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算
2、過(guò)程與方法:
經(jīng)歷自主探究的過(guò)程,發(fā)展思維能力,經(jīng)歷自主探究的過(guò)程,發(fā)展思維能
力。自主探究,引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)
3、情感態(tài)度與價(jià)值觀:
使學(xué)生認(rèn)識(shí)來(lái)源于實(shí)踐又反作用于實(shí)踐,數(shù)學(xué)知識(shí)是普遍聯(lián)系的。培養(yǎng)學(xué)
生一絲不茍、嚴(yán)肅認(rèn)真的學(xué)習(xí)態(tài)度和勇于創(chuàng)新精神。
教學(xué)重點(diǎn):
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