簡(jiǎn)明微積分定積分的概念與性質(zhì)

第三節(jié)

定積分的概念與性質(zhì)一、引入定積分概念的實(shí)例二、定積分的概念三、定積分的幾何意義四、定積分的性質(zhì)一、引入定分概念的例

引例1

曲邊梯形的面積曲邊梯形

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b](a<b)上非負(fù)且連續(xù)，由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸圍成的圖形稱(chēng)為曲邊梯形，其中曲線弧y=f(x)稱(chēng)為曲邊，線段ab稱(chēng)為底邊.yNy=f(x)M問(wèn)題

求由x=a,

x=b,

y=0與y=f(x)

所圍成的曲邊梯形的面積.xoab求曲邊梯形的面積A的具體做法：(1)分割在(a,b)內(nèi)插入n–1個(gè)分點(diǎn)把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間記每一個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為過(guò)每個(gè)分點(diǎn)x

(i=1,2,…,n)作y軸的平行線，將曲i邊梯形分割成n個(gè)小曲邊梯形.我們同樣可以用這種“分割，近似、求和，取極限”的方法解決變速直線運(yùn)動(dòng)的路程的問(wèn)題.以上兩問(wèn)題雖然不同，但解決問(wèn)題的方法卻相同，即歸結(jié)為求同一結(jié)構(gòu)的總和的極限.由此引入定積分的概念.二、定分的概念

定義定積分(簡(jiǎn)稱(chēng)積分)其中f(x)叫做被積函數(shù)，f(x)dx叫做被積表達(dá)式，x叫做積分變量，a叫做積分下限，b叫做積分上限，[a,b]叫做積分區(qū)間.根據(jù)定積分的定義，前面所討論的兩個(gè)引例就可以用定積分概念來(lái)描述：曲線、x軸及兩條直線x=a,x=b所圍成的曲邊梯形面積A等于函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，即質(zhì)點(diǎn)在變力F(s)作用下作直線運(yùn)動(dòng)，由起始位置a移動(dòng)到b，變力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做之功等于函數(shù)F(s)在[a,b]上的定積分，即如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分存在，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積.定積分的存在定理關(guān)于定積分的概念，還應(yīng)注意兩點(diǎn):(1)定積分是積分和式的極限，是一個(gè)數(shù)值，定積分值只與被積函數(shù)f(x)及積分區(qū)間[a,b]有關(guān)，而與積分變量的記法無(wú)關(guān).即有(2)在定積分的定義中，總假設(shè)

，為了時(shí)作如下規(guī)定：今后的使用方便，對(duì)于三、定分的幾何意

如果在[a,b]上，則在幾何上表示由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積

.如果在[a,b]上，此時(shí)由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方，則定積分在幾何上表示上述曲邊梯形的面積A的相反數(shù)

.如果在[a,b]上f(x)既可取正值又可取負(fù)值，則定積分在幾何上表示介于曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸之間的各部分面積的代數(shù)和.四、定分的

設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在[a,b]上可積性質(zhì)1

兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的定積分等于它們定積分的代數(shù)和，即性質(zhì)2

被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外，即性質(zhì)

3

如果積分區(qū)間[a,b]被分點(diǎn)c分成區(qū)間[

c

和

cba,

]

[

,

]，則當(dāng)c在區(qū)間[a,b]之外時(shí)，上面表達(dá)式也成立.性質(zhì)3表明定積分對(duì)積分區(qū)間具有可加性，這個(gè)性質(zhì)可以用于求分段函數(shù)的定積分.例1解利用定積分的幾何意義，可分別求出性質(zhì)4性質(zhì)5特別的,性質(zhì)6(定積分估值定理)證明例2解性質(zhì)7(積分中值定理)

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)

，使下式成立證明

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值定理，f(x)在[a,b]上一定有最大值M和最小值m，由定積分的性質(zhì)6，有介于f(x)在[a,b]上的最大值M和最小即數(shù)值值m之間.性質(zhì)7的幾何意義：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，我們稱(chēng)為函數(shù)f(x)在[a,b]上的平均值.如已知某地某時(shí)自0至24時(shí)天氣溫度曲線為