材料力學(xué)第9章組合變形

材料力學(xué)第9章組合變形第9章組合變形

2§9.1組合變形的概念與工程實例（了解）§9.2組合變形的分析方法（掌握）§9.3斜彎曲（掌握）§9.3拉伸(壓縮)與彎曲組合變形的強(qiáng)度計算（掌握）§9.4彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形（掌握）3關(guān)鍵術(shù)語：組合變形，斜彎曲，截面核心重點(diǎn)：

1、組合變形的分析方法

2、組合變形的解題步驟

3、幾種典型的組合變形強(qiáng)度設(shè)計難點(diǎn)

1、正確判斷組合變形類型

2、正確判斷危險截面和危險點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)4一、組合變形的概念§9.1

組合變形的概念與工程實例基本變形

軸向拉壓

剪切

扭轉(zhuǎn)

彎曲

構(gòu)件在荷載作用下發(fā)生兩種或兩種以上的基本變形,則構(gòu)件的變形稱為組合變形.組合變形

斜彎曲-2個方向的平面彎曲

拉（壓）與彎曲

彎曲與扭轉(zhuǎn)

拉（壓）、彎、扭二、工程實例

5鉆床及計算簡圖qFhg（a）長江三峽大壩拉壓與彎曲組合變形（b）計算簡圖FM6拉壓與彎曲組合變形計算簡圖

吊車梁的牛腿柱受偏心壓力作用產(chǎn)生壓縮與彎曲組合變形二、工程實例

7斜彎曲屋架橫梁產(chǎn)生斜彎曲變形

二、工程實例

8彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形卷揚(yáng)機(jī)軸xyzFMeMe二、工程實例

§9.2組合變形的分析方法9一、組合變形的分析方法-----疊加法

疊加原理：在線彈性、小變形下，構(gòu)件在多個載荷作用下的內(nèi)力、應(yīng)力和變形，等于在每一荷載單獨(dú)作用下產(chǎn)生的內(nèi)力、應(yīng)力和變形的疊加。由于組合變形是幾種基本變形相互組合的結(jié)果，因此，在進(jìn)行組合變形下的強(qiáng)度和剛度計算時，只需分別計算形成這種組合變形的幾種基本變形下的應(yīng)力和變形，然后進(jìn)行疊加即可得到組合變形下的應(yīng)力和變形。10

1、荷載簡化或分解

將荷載簡化或分解成只產(chǎn)生一種基本變形的簡單荷載；

2、計算各基本變形下的應(yīng)力和變形

計算出各簡單荷載作用下的應(yīng)力和變形，分析其危險截面和危險點(diǎn)應(yīng)力；

3、疊加將各基本變形計算結(jié)果疊加即得組合變形的結(jié)果。

4、強(qiáng)度校核

根據(jù)危險點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)選用強(qiáng)度理論進(jìn)行校核。二、組合變形的計算步驟11=++=+FFyFxFyFx§9.3斜彎曲

12一、斜彎曲的概念

斜彎曲是兩個平面彎曲的組合。

外力都作用在通過軸線的同一平面內(nèi)，而這一平面不是對稱面(或主軸平面)；所有外力都作用在通過軸線的兩個不同的對稱面(或主軸平面)。

斜彎曲的撓曲線不在外力作用平面內(nèi)，是一條空間曲線。13z中性軸yFz中性軸F斜彎曲平面彎曲斜彎曲與平面彎曲的區(qū)別：平面彎曲：梁變形后，軸線位于外力所在的平面之內(nèi)。加載方向與中性軸垂直，中性軸過橫截面形心。斜彎曲：梁變形后，軸線位于外力所在的平面之外，加載方向與中性軸不垂直，中性軸過橫截面形心。14二、斜彎曲桿件的內(nèi)力、應(yīng)力的計算以矩形截面梁為例

1分解：將外力沿橫截面的兩個形心主軸分解，于是得到兩個正交的平面彎曲。FzFyzFφyFFyFzxyzLhb152、計算各基本變形條件下的內(nèi)力、應(yīng)力FFyFzxyzLhbFzFyzFφyx

LxyzFyFzφ16MZ對應(yīng)的應(yīng)力：MZ對應(yīng)的最大拉、壓應(yīng)力：（1）由Fy引起的截面上的彎矩和應(yīng)力M合彎矩z++++﹣﹣﹣﹣yBADC++++﹣﹣﹣﹣Mz作用x

LxyzFyFzφMzyzABCD17My對應(yīng)的正應(yīng)力：My對應(yīng)的最大正應(yīng)力（2）由Fz引起的截面上的彎矩和應(yīng)力z++++﹣﹣﹣﹣yBADC++++﹣﹣﹣﹣x

LxyzFyFzφxyzMyABCD18yyyy各荷載作用下的應(yīng)力分布情況y19任一橫截面的內(nèi)力橫截面上最大正應(yīng)力z++++﹣﹣﹣﹣yBADC++++﹣﹣﹣﹣z++++﹣﹣﹣﹣yBADC++++﹣﹣﹣﹣Mz作用My作用y3.疊加：將兩個平面彎曲的計算結(jié)果進(jìn)行疊加橫截面任一點(diǎn)的應(yīng)力20三、斜彎曲強(qiáng)度條件z++++﹣﹣﹣﹣yBADC++++﹣﹣﹣﹣z++++﹣﹣﹣﹣yBADC++++﹣﹣﹣﹣Mz作用My作用y危險點(diǎn)為單向應(yīng)力狀態(tài)，故強(qiáng)度條件為：危險點(diǎn)應(yīng)力：由于梁的強(qiáng)度主要由正應(yīng)力控制，所以，通常只考慮彎矩引起的正應(yīng)力而不考慮切應(yīng)力。若拉、壓許用應(yīng)力不相等，則21四、斜彎曲的中性軸中性軸——由橫截面上彎曲正應(yīng)力為零的點(diǎn)組成.令中性軸為一條過截面形心的直線.中性軸方程橫截面任一點(diǎn)的應(yīng)力中性軸斜率yyzF中性軸22中性軸的斜率y中性軸通過截面形心，將截面劃分為受拉區(qū)和受壓區(qū)。中性軸的位置與截面形狀、大小以及外力作用方向有關(guān)。

對中性軸的討論：中性軸與載荷面不垂直------斜彎曲。中性軸與載荷面垂直-----平面彎曲。如圓、正方形截面梁yzF中性軸23截面有棱角，則D1，D2點(diǎn)必在棱角處。zyF中性軸截面上的D1D2zy中性軸D1D2作中性軸的平行線，與截面周邊相切于D1，D2點(diǎn)，該兩點(diǎn)即為截面上拉應(yīng)力和壓應(yīng)力最大的點(diǎn)。24五、斜彎曲的變形利用疊加原理計算梁自由端撓度：總撓度：FFyFzxyzLhbyzF中性軸wywzw25yzF中性軸wywzwθ設(shè)總撓度w與y軸的夾角為θ（3）若，Iz=Iy，則θ=φ，撓曲線平面與荷載平面重合?？梢姡海?）一般情況下，Iz≠Iy，θ≠φ，撓曲線平面與荷載平面不重合；

(2)θ=α,即撓曲線w所在平面與中性軸垂直。五、斜彎曲的變形26例題9.1如圖

所示的懸臂梁，在全梁縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)承受均布荷載q=5kN/m，在自由端的水平對稱平面內(nèi)受集中力P=2kN的作用。已知截面為25a工字鋼，材料的彈性模量E=2×105MPa，試求：（1）梁的最大拉、壓應(yīng)力。（2）若[σ]=160MPa，校核梁的強(qiáng)度是否安全。yxzP=2kNq=5kN/m27q=5kN/m，P=2kN的作用。25a工字鋼，E=2×105MPa解（1）畫內(nèi)力圖確定危險截面

查表得由于截面對稱，最大拉、壓應(yīng)力相等。安全yxzP=2kNq=5kN/mMZMy（2）校核梁的強(qiáng)度§9.4拉伸(壓縮)與彎曲組合變形28一、變形特點(diǎn)

桿件發(fā)生拉伸（壓縮）與彎曲的組合變形.二、受力特點(diǎn)在兩類載荷作用下，桿件將產(chǎn)生拉伸（壓縮）與彎曲組合變形：（1）桿件受軸向力和橫向力共同作用。（2）桿件受作用線與軸線平行但不通過截面形心的外力作用，即受偏心力作用。F1F229三、內(nèi)力分析xyOzMzFN橫截面上內(nèi)力

2.彎曲

1.拉(壓):軸力FN彎矩

Mz

，My剪力Fs因為剪力引起的切應(yīng)力較小,故一般不考慮.

MyF1F2FS四、應(yīng)力分析30橫截面上任意一點(diǎn)（z,y）處的正應(yīng)力計算公式為1、軸力FN對應(yīng)的正應(yīng)力——均勻分布2、彎矩MZ，My對應(yīng)的正應(yīng)力——線性分布3、疊加：截面上任一點(diǎn)的應(yīng)力為符號：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。xyOzMzFN

My(z,y)F1F2314、危險點(diǎn)應(yīng)力：FNF五、強(qiáng)度條件若拉、壓許用應(yīng)力不相等，則危險點(diǎn)為單向應(yīng)力狀態(tài)，故強(qiáng)度條件為：32例題9.2懸臂吊車如圖所示,橫梁用20a工字鋼制成.其抗彎截面系數(shù)Wz

=2.37×105mm3,橫截面面積A=3550mm2,總荷載F=34kN,橫梁材料的許用應(yīng)力為[]=125MPa,當(dāng)?shù)踯囆凶叩紻點(diǎn)時，梁AB的彎矩達(dá)到最大。試校核橫梁AB的強(qiáng)度。FACD1.2m1.2mB30°33Wz

=237cm3,橫截面面積A=35.5cm2,F=34kN,[]=125MPa.FACD1.2m1.2mB30°BADFFAyFAx

FNBC30°解：（1）分析AB的受力情況,判斷其變形

AB桿為平面彎曲與軸向壓縮組合變形

34Wz

=237cm3,橫截面面積A=35.5cm2,F=34kN,[]=125MPa.FACD1.2m1.2mB30°BADFFAyFAx

FNBC30°

AB桿為平面彎曲與軸向壓縮組合變形

（2）畫內(nèi)力圖，判斷危險截面和危險點(diǎn)橫梁AB的軸力橫梁AB的最大彎矩：FN（-）29.4kN危險截面：中間截面D危險點(diǎn)：在該截面的上邊緣，最大壓應(yīng)力（+）

M35（3）危險點(diǎn)的應(yīng)力計算最大彎曲正應(yīng)力危險點(diǎn)的應(yīng)力：橫梁AB的強(qiáng)度滿足要求。FN（-）29.4kN軸向壓縮正應(yīng)力：BADFFAyFAx

FNBC30°（+）

MWz

=237cm3,橫截面面積A=35.5cm2,F=34kN,[]=125MPa.§9.5偏心受壓(拉）?截面核心36

偏心荷載：縱向荷載不通過桿件截面形心，這種荷載稱為偏心荷載。偏心荷載將引起桿件壓（拉）與彎曲組合變形。偏心距e：加力線與軸線間的垂直距離。37xFyze一、單向偏心受壓與雙向偏心受壓桿件xFyzA(yF,zF)偏心荷載作用點(diǎn)在截面形心軸上，偏心距為e。偏心荷載作用點(diǎn)不在截面形心軸上單向偏心雙向偏心38二、單向偏心受壓（拉）桿件的強(qiáng)度計算

如偏心荷載作用在截面形心軸上某點(diǎn)，偏心距為e。+=應(yīng)力分析：xFzyexFzyeMz=FexFzy=+xzyMz=Fe=39最大壓應(yīng)力：最大拉應(yīng)力：x+=強(qiáng)度條件：中性軸不通過截面形心中性軸若拉、壓許用應(yīng)力不相等，則xFzye40三、雙向偏心受壓（拉）桿件的強(qiáng)度計算

偏心荷載作用點(diǎn)不在截面形心軸上FyzMzMyxxFyzA(yF,zF)=xFyzA(yF,zF)My41FMz

24xFzyA(yF,zF)oxFzyoxzyoxzyoMyMz++=截面上任一點(diǎn)A(y,

z)

的應(yīng)力：（1）應(yīng)力分析My24yz42（2）強(qiáng)度條件最大拉應(yīng)力在4點(diǎn):最大壓應(yīng)力在2點(diǎn):強(qiáng)度條件：FMz

24=My24yz43yz（3）中性軸方程因為中性軸上的應(yīng)力σ=0，所以可得中性軸方程式中：iy、iz是慣性半徑；yF、zF是偏心荷載F的坐標(biāo)?？梢姡弘p向偏心時，中性軸是一條不通過截面形心的直線。中性軸44（1）中性軸是一條不通過截面形心的直線。（2）中性軸的位置僅取決于外力作用點(diǎn)的位置(yF、zF)和橫截面的形狀與幾何尺寸，而與外力大小無關(guān)。中性軸方程A(yF,zF)zy中性軸D2D1（3）外力作用點(diǎn)A與中性軸分別處于截面形心的相對兩邊。（4）中性軸將截面分為受拉區(qū)和受壓區(qū)。（5）對于周邊具有棱角的截面,其危險點(diǎn)必定在截面的棱角處。yz45特殊情況：（a）若載荷作用在z軸上，則A(yF,zF)zy中性軸D2D1A(0,zF)zy中性軸中性軸方程中性軸平行于y軸（a）若載荷作用在y軸上，則中性軸方程中性軸平行于z軸A(yF,0)zy中性軸中性軸方程46四、截面核心若設(shè)中性軸在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為ay、az，將z=0，y=0代入上式可得中性軸方程A(yF,zF)zy中性軸D2D1當(dāng)中性軸與截面相切或遠(yuǎn)離截面時,整個截面上將只有壓（或拉）應(yīng)力。偏心距yF、zF愈小ay、az愈大中性軸離截面形心越遠(yuǎn)對于受壓（拉）桿件，使截面只產(chǎn)生壓（拉）應(yīng)力的外力作用的范圍稱為該截面的截面核心。ayazyz47yz中性軸yz中性軸中性軸yz(yF,zF)(yF,zF)(yF,zF)48截面上不出現(xiàn)拉應(yīng)力條件：對于單向偏心壓縮桿件，截面最大拉應(yīng)力：則偏心距e應(yīng)滿足截面核心這個概念在土建工程中具有重要的意義。

如磚、石、混凝土等建筑材料構(gòu)件，一般要求橫截面上不出現(xiàn)拉應(yīng)力，需要確定截面核心的位置和范圍。xFyze49解：截面上不出現(xiàn)拉應(yīng)力條件：

例9.3

確定直徑為d的受壓圓柱的截面核心對于直徑為d的圓截面：代入上式，得上式說明，當(dāng)壓力F作用點(diǎn)位于截面核心以內(nèi)時，桿截面上不會出現(xiàn)拉應(yīng)力，力作用點(diǎn)在1點(diǎn)，則中性軸為AB，根據(jù)圓截面的對稱性，截面核心為直徑≤d／８的同心圓．50解：截面上不出現(xiàn)拉應(yīng)力條件：

例9.4確定尺寸為h×b矩形截面桿的截面核心當(dāng)壓力F作用在y軸上1點(diǎn)時：代入（1）式，得力作用點(diǎn)在1點(diǎn)，則中性軸為AB，力作用點(diǎn)在2點(diǎn)，則中性軸為BC，外力沿12直線移動，中性軸則由AB旋轉(zhuǎn)到BC,根據(jù)中性軸為直線，可得出矩形截面的截面核心為菱形（1234）．當(dāng)壓力F作用在z軸上2點(diǎn)時：代入（1）式，得（1）hbABCDyzO

234b/61h/6

51例題9.5

正方形截面立柱的中間處開一個槽,使截面面積為原來截面面積的一半.求開槽后立柱的的最大壓應(yīng)力是原來不開槽的幾倍.FFaaaa52未開槽前立柱為軸向壓縮解：Faa開槽后1-1是危險截面危險截面為偏心壓縮未開槽的最大壓應(yīng)力σ’開槽后最大壓應(yīng)力σ’’F

Fa/2F11§9.6彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形53

一、彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形

桿件在荷載作用下同時產(chǎn)生彎曲變形和扭轉(zhuǎn)變形，桿件所發(fā)生的變形就是彎扭組合變形。卷揚(yáng)機(jī)軸xyzFMM=FD/2MeFFDMe54研究對象:圓截面桿受力特點(diǎn)：桿件受橫向力作用但橫向力的作用線不通過截面形心(受扭轉(zhuǎn)力偶和橫向力作用)變形特點(diǎn)：桿件產(chǎn)生平面彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形。laABCF卷揚(yáng)機(jī)軸55二、內(nèi)力分析

設(shè)一直徑為d

的等直圓桿AB,B端具有與AB成直角的剛臂.研究AB桿的內(nèi)力.將力F向AB桿右端截面的形心B簡化得:

橫向力

F

（引起平面彎曲）

力偶矩

Me=Fa

（引起扭轉(zhuǎn)）

AB

桿為彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形x彎矩：扭矩：固定端A截面為危險截面畫內(nèi)力圖確定危險截面56橫截面上：扭矩T彎矩M切應(yīng)力正應(yīng)力剪力產(chǎn)生的切應(yīng)力與扭矩產(chǎn)生的切應(yīng)力相比很小，可忽略不計。三、應(yīng)力分析

最大彎曲正應(yīng)力:在C1

、C2處最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力：在截面周邊上的各點(diǎn)處.

TC3C4C2C1危險點(diǎn):危險截面上C1

、C2

點(diǎn)C1

點(diǎn)的單元體如圖示。

C1C2C4C357危險點(diǎn)的三個主應(yīng)力：四、強(qiáng)度計算一般軸為鋼材，在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下采用第三或第四強(qiáng)度理論。若按第三強(qiáng)度理論，則強(qiáng)度條件為：若按第四強(qiáng)度理論，則強(qiáng)度條件為：或：58該公式適用于圖示的平面應(yīng)力狀態(tài).

是危險點(diǎn)的正應(yīng)力,

是危險點(diǎn)的切應(yīng)力，且橫截面不限于圓形截面。討論該公式適用于：彎扭組合變形;

拉（壓）與扭轉(zhuǎn)的組合變形;

拉（壓）、扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合變形（1）59（2）對于圓截面桿彎扭組合變形時,相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式可改寫為式中W為圓桿的抗彎截面系數(shù)，M、T分別為危險截面的彎矩和扭矩。以上兩式只適用于彎扭組合變形下的圓截面桿。60例題9.6

水平直角折桿，已知F1=0.5kN,F2=1kN,[]=160MPa.（1）用第三強(qiáng)度理論計算AB的直徑（2）若AB桿的直徑d=40mm,并在B端加一軸向拉力

F3=20kN,校核AB桿的強(qiáng)度.F1F2ABCD400400500F2Me解:（1）用第三強(qiáng)度理論計算AB的直徑

①、判斷桿件的變形將F2向AB桿的軸線簡化得

AB為彎扭組合變形F1ABC400400F1F2ABCD400400500②