全國通用版講義第二章 平面向量2-4-2

2．4.2向量在物理中的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題的過程.2.體會向量是一種處理物理問題的重要工具.3.培養(yǎng)運(yùn)用向量知識解決物理問題的能力．知識點(diǎn)一向量的線性運(yùn)算在物理中的應(yīng)用思考1向量與力有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？答案向量與力都包括大小、方向兩個要素，但與向量不同是力還包括作用點(diǎn)這一要素．思考2向量的運(yùn)算與速度、加速度與位移有什么聯(lián)系？答案速度、加速度與位移的合成與分解，實(shí)質(zhì)上是向量的加減法運(yùn)算，而運(yùn)動的疊加也用到向量的合成．梳理(1)用向量解決力的問題，通常把向量的起點(diǎn)平移到同一個作用點(diǎn)上．(2)向量在解決涉及速度、位移等物理量的合成與分解時，實(shí)質(zhì)就是向量的線性運(yùn)算．知識點(diǎn)二向量的數(shù)量積在物理中的應(yīng)用思考向量的數(shù)量積與功有什么聯(lián)系？答案物理上力做功的實(shí)質(zhì)是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，它的實(shí)質(zhì)是向量的數(shù)量積．梳理物理上力的做功就是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一個實(shí)數(shù)，它可正可負(fù)，也可以為零．力的做功涉及兩個向量及這兩個向量的夾角，它的實(shí)質(zhì)是向量F與s的數(shù)量積．知識點(diǎn)三向量方法解決物理問題的步驟用向量理論討論物理學(xué)中的相關(guān)問題，一般來說分為四個步驟(1)問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．(2)建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型．(3)求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等．(4)回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題．1．功是力F與位移S的數(shù)量積．(√)2．力的合成與分解體現(xiàn)了向量的加減法運(yùn)算．(√)3．某輪船需橫渡長江，船速為v1，水速為v2，要使輪船最快到達(dá)江的另一岸，則需保持船頭方向與江岸垂直．(√)類型一向量的線性運(yùn)算在物理中的應(yīng)用例1(1)在重300N的物體上系兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側(cè)，與鉛垂線的夾角分別為30°，60°(如圖)，求重物平衡時，兩根繩子拉力的大?。馊鐖D，兩根繩子的拉力之和eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，且|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OG,\s\up6(→))|＝300N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠AOC＝30°，則∠OAC＝90°，從而|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|·cos30°＝150eq\r(3)(N)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|·sin30°＝150(N)，所以|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝150(N)．答與鉛垂線成30°角的繩子的拉力是150eq\r(3)N，與鉛垂線成60°角的繩子的拉力是150N.(2)帆船比賽是借助風(fēng)帆推動船只在規(guī)定距離內(nèi)競速的一項(xiàng)水上運(yùn)動，如果一帆船所受的風(fēng)力方向?yàn)楸逼珫|30°，速度為20km/h，此時水的流向是正東，流速為20km/h.若不考慮其他因素，求帆船的速度與方向．解建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，風(fēng)的方向?yàn)楸逼珫|30°，速度為|v1|＝20km/h，水流的方向?yàn)檎龞|，速度為|v2|＝20km/h，設(shè)帆船行駛的速度為v，則v＝v1＋v2.由題意，可得向量v1＝(20cos60°，20sin60°)＝(10,10eq\r(3))，向量v2＝(20,0)，則帆船的行駛速度為v＝v1＋v2＝(10,10eq\r(3))＋(20,0)＝(30,10eq\r(3))，所以|v|＝eq\r(302＋10\r(3)2)＝20eq\r(3)(km/h)．因?yàn)閠anα＝eq\f(10\r(3),30)＝eq\f(\r(3),3)(α為v和v2的夾角，且為銳角)，所以α＝30°，所以帆船向北偏東60°的方向行駛，速度為20eq\r(3)km/h.反思與感悟利用向量法解決物理問題有兩種思路，第一種是幾何法，選取適當(dāng)?shù)幕?，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量運(yùn)算法則，運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算．第二種是坐標(biāo)法，通過建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算．跟蹤訓(xùn)練1河水自西向東流動的速度為10km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在靜水中的速度為10eq\r(3)km/h，求小船的實(shí)際航行速度．解設(shè)a，b分別表示水流的速度和小船在靜水中的速度，過平面內(nèi)一點(diǎn)O作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))為鄰邊作矩形OACB，連接eq\o(OC,\s\up6(→))，如圖，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，并且eq\o(OC,\s\up6(→))即為小船的實(shí)際航行速度．∴|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋b2)＝20(km/h)，tan∠AOC＝eq\f(10\r(3),10)＝eq\r(3)，∴∠AOC＝60°，∴小船的實(shí)際航行速度為20km/h，按北偏東30°的方向航行．類型二向量的數(shù)量積在物理中的應(yīng)用例2已知兩恒力F1＝(3,4)，F(xiàn)2＝(6，－5)作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)A(20,15)移動到點(diǎn)B(7,0)．(1)求力F1，F(xiàn)2分別對質(zhì)點(diǎn)所做的功；(2)求力F1，F(xiàn)2的合力F對質(zhì)點(diǎn)所做的功．解(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，W1＝F1·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99，W2＝F2·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3.∴力F1，F(xiàn)2對質(zhì)點(diǎn)所做的功分別為－99和－3.(2)W＝F·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(F1＋F2)·eq\o(AB,\s\up6(→))＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102.∴合力F對質(zhì)點(diǎn)所做的功為－102.反思與感悟物理上的功實(shí)質(zhì)上就是力與位移兩矢量的數(shù)量積．跟蹤訓(xùn)練2一個物體受到同一平面內(nèi)的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的作用，沿北偏東45°的方向移動了8m，其中|F1|＝2N，方向?yàn)楸逼珫|30°，|F2|＝4N，方向?yàn)楸逼珫|60°，|F3|＝6N，方向?yàn)楸逼?0°，求合力F所做的功．解以O(shè)為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．則F1＝(1，eq\r(3))，F(xiàn)2＝(2eq\r(3)，2)，F(xiàn)3＝(－3,3eq\r(3))，所以F＝F1＋F2＋F3＝(2eq\r(3)－2,2＋4eq\r(3))．又因?yàn)槲灰苨＝(4eq\r(2)，4eq\r(2))，所以合力F所做的功為W＝F·s＝(2eq\r(3)－2)×4eq\r(2)＋(2＋4eq\r(3))×4eq\r(2)＝4eq\r(2)×6eq\r(3)＝24eq\r(6)(J)．即合力F所做的功為24eq\r(6)J.1.用兩條成120°角的等長的繩子懸掛一個燈具，如圖所示，已知燈具重10N，則每根繩子的拉力大小為______N.答案10解析設(shè)重力為G，每根繩的拉力分別為F1，F(xiàn)2，則由題意得F1，F(xiàn)2與－G都成60°角，且|F1|＝|F2|.∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10N，∴每根繩子的拉力都為10N.2．已知一個物體在大小為6N的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為100m，且F與s的夾角為60°，則力F所做的功W＝________J.答案300解析W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉＝6×100×cos60°＝300(J)．3．一條河寬為800m，一船從A處出發(fā)垂直到達(dá)河正對岸的B處，船速為20km/h，水速為12km/h，則船到達(dá)B處所需時間為________min.答案3解析∵v實(shí)際＝v船＋v水＝v1＋v2，|v1|＝20km/h，|v2|＝12km/h，∴|v|＝eq\r(|v1|2－|v2|2)＝eq\r(202－122)＝16(km/h)．∴所需時間t＝eq\f(0.8,16)＝0.05(h)＝3(min)．∴該船到達(dá)B處所需的時間為3min.4．一艘船從南岸出發(fā)，向北岸橫渡．根據(jù)測量，這一天水流速度為3km/h，方向正東，風(fēng)的方向?yàn)楸逼?0°，受風(fēng)力影響，靜水中船的漂行速度為3km/h，若要使該船由南向北沿垂直于河岸的方向以2eq\r(3)km/h的速度橫渡，求船本身的速度大小及方向．解如圖，設(shè)水的速度為v1，風(fēng)的速度為v2，v1＋v2＝a.易求得a的方向是北偏東30°，a的大小是3km/h.設(shè)船的實(shí)際航行速度為v，方向由南向北，大小為2eq\r(3)km/h.船本身的速度為v3，則a＋v3＝v，即v3＝v－a，由數(shù)形結(jié)合知，v3的方向是北偏西60°，大小是eq\r(3)km/h.用向量理論討論物理中相關(guān)問題的步驟一般來說分為四步：(1)問題的轉(zhuǎn)化，把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題；(2)模型的建立，建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；(3)參數(shù)的獲取，求出數(shù)學(xué)模型的相關(guān)解；(4)問題的答案，回到物理現(xiàn)象中，用已經(jīng)獲取的數(shù)值去解釋一些物理現(xiàn)象.一、選擇題1．一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：N)的作用而處于平衡狀態(tài)，已知F1，F(xiàn)2成90°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2N和4N，則F3的大小為()A．6NB．2NC．2eq\r(5)ND．2eq\r(7)N答案C2．已知三個力F1＝(－2，－1)，F(xiàn)2＝(－3,2)，F(xiàn)3＝(4，－3)同時作用于某物體上一點(diǎn)，為使物體保持平衡，需再加上一個力F4，則F4等于()A．(－1，－2)B．(1，－2)C．(－1,2)D．(1,2)答案D解析∵物體平衡，∴F1＋F2＋F3＋F4＝0，∴F4＝－F1－F2－F3＝－(－2，－1)－(－3,2)－(4，－3)＝(1,2)．故選D.3．用力F推動一物體水平運(yùn)動sm，設(shè)F與水平面的夾角為θ，則力F對物體所做的功為()A．|F|·sB．Fcosθ·sC．Fsinθ·sD．|F|cosθ·s答案D4．已知兩個力F1，F(xiàn)2的夾角為90°，它們的合力大小為10N，合力與F1的夾角為60°，那么F1的大小為()A．5eq\r(3)NB．5NC．10ND．5eq\r(2)N答案B解析如圖，有|F1|＝|F|cos60°＝10×eq\f(1,2)＝5(N)．5．已知作用在點(diǎn)A的三個力F1＝(3,4)，F(xiàn)2＝(2，－5)，F(xiàn)3＝(3,1)，且A(1,1)，則合力f＝F1＋F2＋F3的終點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(9,1)B．(1,9)C．(9,0)D．(0,9)答案A解析f＝F1＋F2＋F3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，設(shè)合力f的終點(diǎn)為P(x，y)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋f＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．6．質(zhì)點(diǎn)P在平面上作勻速直線運(yùn)動，速度向量ν＝(4，－3)(即點(diǎn)P的運(yùn)動方向與ν相同，且每秒移動的距離為|ν|個單位)．設(shè)開始時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－10,10)，則5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(－2,4)B．(－30,25)C．(10，－5)D．(5，－10)答案C解析設(shè)(－10,10)為點(diǎn)A,5秒后P點(diǎn)的坐標(biāo)為A1(x，y)，則eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(x＋10，y－10)，由題意可知，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝5ν，即(x＋10，y－10)＝(20，－15)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋10＝20，,y－10＝－15，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝－5.))7．河水的流速為5m/s，若一艘小船沿垂直于河岸方向以12m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船在靜水中的速度大小為()A．13m/sB．12m/sC．17m/sD．15m/s答案A解析設(shè)小船在靜水中的速度為v1，河水的流速為v2，v1與v2的合速度為v，∵為了使航向垂直河岸，船頭必須斜向上游方向，即小船在靜水中的速度v1斜向上游方向，河水速度v2平行于河岸，合速度v指向?qū)Π?，∴靜水速度|v1|＝eq\r(|v|2＋|v2|2)＝eq\r(122＋52)＝13(m/s)．二、填空題8．若eq\o(OF1,\s\up6(→))＝(2,2)，eq\o(OF2,\s\up6(→))＝(－2,3)分別表示F1，F(xiàn)2，則|F1＋F2|為________．答案5解析∵F1＋F2＝(0,5)，∴|F1＋F2|＝eq\r(02＋52)＝5.9．一物體在力F1＝(3，－4)，F(xiàn)2＝(2，－5)，F(xiàn)3＝(3,1)的共同作用下從點(diǎn)A(1,1)移動到點(diǎn)B(0,5)．在這個過程中三個力的合力所做的功等于________．答案－40解析∵F1＝(3，－4)，F(xiàn)2＝(2，－5)，F(xiàn)3＝(3,1)，∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8)．又∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0－1,5－1)＝(－1,4)，∴F·eq\o(AB,\s\up6(→))＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，即三個力的合力做的功等于－40.10．一個重20N的物體從傾斜角為θ，斜面長1m的光滑斜面頂端下滑到底端，若重力做的功是10J，則θ＝________.答案30°解析∵WG＝G·s＝|G||s|·cos(90°－θ)＝20×1×cos(90°－θ)＝10J，∴cos(90°－θ)＝eq\f(1,2)，∴θ＝30°.11．河水的流速為2m/s，一艘小船以10m/s的速度沿垂直于對岸的方向行駛，則小船在靜水中的速度大小為________m/s.答案2eq\r(26)解析設(shè)河水的流速為v1，小船在靜水中的速度為v2，船的實(shí)際速度為v，則v＝v1＋v2，|v1|＝2m/s，|v|＝10m/s.所以|v2|＝|v－v1|＝eq\r(v2－2v·v1＋v\o\al(2,1))＝eq\r(100－0＋4)＝eq\r(104)＝2eq\r(26)(m/s)．三、解答題12．在水流速度為4千米/時的河流中，有一艘船沿與水流垂直的方向以8千米/時的速度航行，求船實(shí)際航行的速度的大?。馊鐖D，用v0表示水流速度，v1表示與水流垂直的方向的速度．則v0＋v1表示船實(shí)際航行的速度，∵|v0|＝4千米/時，|v1|＝8千米/時，∴|v0＋v1|＝eq\r(42＋82)＝4eq\r(5)(千米/時)．故船實(shí)際航行的速度為4eq\r(5)千米/時．13．質(zhì)量m＝2.0kg的木塊，在平行于斜面向上的拉力F＝10N的作用下，沿傾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0m的距離．(g＝9.8N/kg)(1)分別求物體所受各力對物體所做的功；(2)在這個過程中，物體所受各力對物體做功的代數(shù)和是多少？解(1)木塊受三個力的作用，重力G，拉力F和支持力FN，如圖所示，拉力F與位移s方向相同，所以拉力對木塊所做的功為WF＝F·s＝|F||s|cos0°＝20(J)；支持力FN與位移方向垂直，不做功，所以WN＝FN·s＝0；重力G對物體所做的功為WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．(2)物體所受各力對物體做功的代數(shù)和為W＝WF＋WN＋WG＝0.4(J)．四、探究與拓展14．共點(diǎn)力F1＝(lg2，lg2)，F(xiàn)2＝(lg5，lg2)作用在物體M上，產(chǎn)生位移s＝(2lg5,1)，則共點(diǎn)力對物體做的功W為()A．lg2B．lg5C．1D．2答案D解析F1＋F2＝(1,2lg2)．∴W＝(F1＋F2)·s＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2.15．已知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，今有動點(diǎn)P從P0(－1,2)開始，沿著與向量e1＋e2相同的方向做勻速直線運(yùn)動，速度為|e1＋e2|；另一動點(diǎn)Q從Q0(－2，－1)開始，沿著與向量3e1＋2e2相同的方向做勻速直線運(yùn)動，速度為|3e1＋2e2|，設(shè)P，Q在t＝0時分別在P0，Q0處，當(dāng)eq\o(PQ,\s\up6(→))⊥eq\o(P0Q0,\s\up6()