萬有引力定律的推導(dǎo)及完美之處-2023修改整理

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現(xiàn)在由開普勒第一定律來求行星所受的力的量值。既然軌道為橢圓，我們就可把軌道方程寫為

1cosPreθ=+或1cosePPμθ=+把這關(guān)系式1cosePPμθ=+代入比耐公式

2222()dFhdmμμμθ+=-，就得到222222

22()dmhhmFmhdPPrμμμμθ=-+=-=-這表明行星所受力是引力，且與距離平方成反比。

乍一看來，似乎不需要開普勒第三定律就已經(jīng)能推出胡克的萬有引力公式。其實不然，我們并不能把

22hmFPr=-化成22kmFr=-，由于式22hmFPr=-中的h和P對每一個行星來講都具有不同的數(shù)值（2rhθ=，1rμ=，P為橢圓曲線正焦弦長度的一半），而式中的2k是一個與行星無關(guān)的常數(shù)。

開普勒第一定律：行星繞太陽作橢圓運行，太陽位于橢圓的一個焦點上。

開普勒其次定律：行星和太陽之間的連線，在相等的時光內(nèi)所掃過的面積相等。開普勒第三定律：行星公轉(zhuǎn)的周期的平方和軌道半長軸的立方成正比。為了能把22hmFPr=-化為

22kmFr=-，就得利用開普勒第三定律，由行星公轉(zhuǎn)的周期得

22324TPahπ=

雖然h和P都是和行星有關(guān)的常數(shù)，但按照開普勒第三定律中2

3Ta是與行星無關(guān)的常數(shù)，可以得到2Ph（或2

hP）是一個與行星無關(guān)的常數(shù)（即跟行星質(zhì)量無關(guān)，而是由太陽打算了行

星軌道的性質(zhì)）。因而可以令22hkP=，我們就可以把22hmFPr=-化為

22kmFr=-，即

2222hmkmFPrr=-=-

此式稱為胡克的萬有引力公式。雖然得到這樣一個簡潔的公式，但是我們沒法按照這個公式構(gòu)建相應(yīng)的試驗且求出2

k常數(shù)。這就說明胡克的萬有引力公式?jīng)]有有用性。

為了讓胡克的萬有引力公式變得有有用性，我們還得從2k這個常數(shù)著手討論。（1）由于令22hkP=，同時由于2k、2

3Ta為（與行星無關(guān)的）常數(shù)，那么22232244TPahkππ==為常數(shù)，即2

24kkπ='也為常數(shù)。

由于k'是與行星無關(guān)的常數(shù)，按照因果關(guān)系，那么k'就是與太陽有關(guān)的常數(shù)，不行能是其它因素有關(guān)的常數(shù)，也不行能與r有關(guān)。由于力不行能離開物體單獨存在，萬有引力是兩個物體（太陽和行星）產(chǎn)生的。

有了上面確實定，我們知道在2k為常數(shù)的時候，sm（太陽的質(zhì)量）、m（行星的質(zhì)量）

也是常數(shù)?！遱m、m為常數(shù)∴smm?也為常數(shù)。近而2skmm??，

2skm?，…也是常數(shù)。常數(shù)與常數(shù)的加減乘除也是常數(shù)。

（2）從

22kmFr=-中我們不難發(fā)覺要求出2k似乎很難，即使從牛頓第三定律也只能得到

22222222psssspssFFkmkmkmFrrr

kmFr?=-???=?=-???=??pF是行星受到太陽的萬有引力，sF是太陽受到m質(zhì)量行星的萬有引力，m為行星的質(zhì)量，sm為太陽的質(zhì)量，sk是跟太陽有關(guān)的常數(shù)，k是跟行星有關(guān)的常數(shù)，r為行星到太陽的距離。從2222sskmkmrr=-可以知道一個方程兩個未知常數(shù)，（即便m和sm知道）也無法求解，也無法構(gòu)建相應(yīng)的試驗來驗證。但是我們認真觀看22spkmFr=和

22sskmFr=兩式，可以看出pF的大小跟sk常數(shù)的大小有關(guān)，sF的大小跟k常數(shù)的大小有關(guān)。我們還可以從生活中得到一個常識：一個物體受到的萬有引力不僅跟該物體的質(zhì)量大小有關(guān)還跟對其產(chǎn)生萬有引力的物體的質(zhì)量大小有關(guān)。換

句話說，我們這個引力體系不能同時缺少m和sm中的隨意一個。即sk常數(shù)跟太陽的質(zhì)量sm有關(guān)，k常數(shù)跟行星的質(zhì)量m有關(guān)。

明顯易見，（1）（2）都證實了k是跟質(zhì)量有關(guān)的常數(shù)。也說明（1）的規(guī)律是對的。

那么我們不妨設(shè)2ssskGm=，2kGm=，（其中明顯易見sG、G為常數(shù)），然后有

2222psssssspsssFFGmmGmmGmmFGGrrrGmmFr?=-???=?=-?=???=??故有2sGmmFr=-

此式稱為牛頓萬有引力公式。

這樣我們就得到一個未知常數(shù)一個方程，可以求解方程了。同時由力學(xué)平衡條件FF=-我們可以用試驗來求出G常數(shù)。

這就是牛頓萬有引力公式的優(yōu)越性（有用，可驗證，具有對稱美）。從22kmFr=-到2sGmmFr=-這步，我想當年牛頓只不過這么想的（2k既然是個常數(shù)，

那么給它一個常數(shù)G,然后把2k寫成sGm也是一樣的，帶有一個sm更有利于計算和試驗。），根本就沒有經(jīng)過嚴格的證實。他的這個思維跳動導(dǎo)致現(xiàn)在的教科書誤