2023年陜西省渭南市臨渭區(qū)尚德高考考前模擬數(shù)學(xué)試題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3,請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。

4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

a,a>b11

1.定義b=<,,已知函數(shù)/(x)=--------—,g(x)=----------—,則函數(shù)E(x)=/(x)③g(x)的最小值

b,a<b2-sin-x2-cos-x

為()

24

A.-B.1C.-D.2

33

(x—1)3X<1

2.已知函數(shù)/(x)=<，一，若f(a)>于(b),則下列不等關(guān)系正確的是()

Inx,x>1

11LL

A.—_7<p~~-B.

a~+1b+\

C.a1<abD.ln(“2+1)〉In,2+1)

3.若xe[0,l]時(shí)，ex-\2x-a\>0,則。的取值范圍為()

A.[-1,1]B.[2-e,e-2]C.[2-e,l]D.[21n2-2,l]

4.已知函數(shù)/(x)滿(mǎn)足/(4)=17,設(shè)/(%)=%,貝！!”0=17”是，，/=4”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之稱(chēng)，登泰山的路線(xiàn)有四條：紅門(mén)盤(pán)道徒步線(xiàn)路，桃花峪登山線(xiàn)路，天外村汽車(chē)登

山線(xiàn)路，天燭峰登山線(xiàn)路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的線(xiàn)路時(shí)，發(fā)現(xiàn)三人走的線(xiàn)路均不同，且均沒(méi)有走天外村

汽車(chē)登山線(xiàn)路，三人向其他旅友進(jìn)行如下陳述：

甲：我走紅門(mén)盤(pán)道徒步線(xiàn)路，乙走桃花峪登山線(xiàn)路；

乙：甲走桃花峪登山線(xiàn)路，丙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線(xiàn)路；

丙：甲走天燭峰登山線(xiàn)路，乙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線(xiàn)路；

事實(shí)上，甲、乙、丙三人的陳述都只對(duì)一半，根據(jù)以上信息，可判斷下面說(shuō)法正確的是()

A.甲走桃花峪登山線(xiàn)路B.乙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線(xiàn)路

C.丙走桃花峪登山線(xiàn)路D.甲走天燭峰登山線(xiàn)路

6.《九章算術(shù)》“少?gòu)V”算法中有這樣一個(gè)數(shù)的序列：列出“全步”（整數(shù)部分）及諸分子分母，以最下面的分母遍乘各

分子和“全步”，各自以分母去約其分子，將所得能通分之分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分約簡(jiǎn)，又用最下面的分母去遍乘諸（未通者）

分子和以通之?dāng)?shù)，逐個(gè)照此同樣方法，直至全部為整數(shù)，例如：〃=2及〃=3時(shí)，如圖：

n=3

記5“為每個(gè)序列中最后一列數(shù)之和，則&為（）

A.147B.294C.882D.1764

7.已知數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和為a,=l,4=2且對(duì)于任意〃￡“滿(mǎn)足5川+21=2（5〃+1）,則（）

A.%=7B.$6=240C.4O=19D.S20=381

8.將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案種數(shù)是（）

A.18種B.36種C.54種D.72種

9.若|函|=1,\OB\=y[3,OAOB=0,點(diǎn)C在AB上，且ZAOC=30°，設(shè)元=加礪+〃麗（機(jī),〃G碼,

則%的值為（）

n

A.-B.3C.—D.J3

33

13

10.已知。=log|213,c=log]314,則a,方,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

11.一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示（其中主視圖也叫正視圖，左視圖也叫側(cè)視圖），則這個(gè)四棱錐中最最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度是

).

（俯視圖）

A.276B.4C.2A/3D.272

12.已知a=ln3/=k>g3e,c=log?e,則下列關(guān)系正確的是（）

A.c<h<aB.a<b<cC.h<a<cD.b<c<a

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C:（x—加）2+丁=，（加>0）.已知過(guò)原點(diǎn)。且相互垂直的兩條直線(xiàn)4和4,其中4

與圓。相交于A,B兩點(diǎn),，2與圓。相切于點(diǎn)。?若AB=OD，則直線(xiàn)4的斜率為.

14.已知數(shù)列伍“｝的前n項(xiàng)和公式為S?=2n2-n+l,則數(shù)列｛a?｝的通項(xiàng)公式為一.

15.兩光滑的曲線(xiàn)相切，那么它們?cè)诠颤c(diǎn)處的切線(xiàn)方向相同.如圖所示，一列圓C,,：V+（y—a,）=/2（或>0,%>0,

n=l,2…）逐個(gè)外切，且均與曲線(xiàn)尸必相切，若n=1,貝！）ai=___，"產(chǎn)

16.如圖，在平行四邊形A3C。中，A3=2,A￡>=1,則/.麗的值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

x=tX=cos0

17.(12分)已知直線(xiàn)/：，6+也/a為參數(shù))，曲線(xiàn)￡：<,八（。為參數(shù)）.

y=sin〃

(1)設(shè)/與G相交于A,3兩點(diǎn)，求|A8|;

(2)若把曲線(xiàn)G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的;倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的半倍，得到曲線(xiàn)G，設(shè)點(diǎn)P是曲線(xiàn)G上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線(xiàn)/距離的最小值.

18.(12分)〃x)=lnx—or有最大值，且最大值大于0.

(1)求。的取值范圍；

2

(2)當(dāng)a時(shí)，/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)內(nèi),X2(西<%)，證明：X1X2<30.

(參考數(shù)據(jù)：In0.9a-0.1)

19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，以。為極點(diǎn),?軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線(xiàn)Gpcos7=4asm"a>0)>

"

2+―

/2,

直線(xiàn)/的參數(shù)方程為4(/為參數(shù)).直線(xiàn)/與曲線(xiàn)。交于M,N兩點(diǎn).

7+

2「

(I)寫(xiě)出曲線(xiàn)。的直角坐標(biāo)方程和直線(xiàn)/的普通方程(不要求具體過(guò)程)；

(II)設(shè)若PM，|MV］，|兩成等比數(shù)列，求”的值.

20.(12分)已知4(-2,0),8(2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足直線(xiàn)出與直線(xiàn)依的斜率之積為-：，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C.

(1)求曲線(xiàn)C的方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)p(1,0)的直線(xiàn)/與曲線(xiàn)C交于Af,N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)/且與直線(xiàn)I垂直的直線(xiàn)與x=4相交于點(diǎn)T,求日就

的最小值及此時(shí)直線(xiàn)/的方程.

21.（12分）已知函數(shù)/（x）=sinx+

（I）求/（2019萬(wàn)）的值;

(U)若且0<a〈"，求cosa的值.

22.(10分)已知?jiǎng)狱c(diǎn)”到定點(diǎn)(1,0)的距離比到)’軸的距離多1.

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；

(2)設(shè)A,B是軌跡C在(x20)上異于原點(diǎn)。的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線(xiàn)。4和08的傾斜角分別為a和夕，當(dāng)a,￡變

T[

化且0+/?=§時(shí)，證明：直線(xiàn)A3恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得F(x)>/(x),F(x)>g(x),則2F(%)>f(x)+g(x)，再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的

形式，可求得函數(shù)的最小值.

【詳解】

依題意得/(%)(幻，F(xiàn)(x)>g(x),貝!]2F(x)N/(x)+g(x),

11111,,

f(x)+g(x)=-~~+----—=-(-~+-----)[(2-sin-x)+(2—cosx)]

2-sinx2-cos-x32-sinx2—cos~x

1232222

12-cosx2-sin1.12-cosx2-sinxx4/止口所止2-cos?x2-sinx

-(2+------+------—)>-(2+2J----------------)=-(當(dāng)且僅當(dāng)-~=------—

32-sin'x2-cos-x3V2-sin-x2-cos'x32-sin'x2-cos-

sin?x=cos?x=g時(shí)"=”成立.此時(shí),/(x)=g(x)='|,/.2F(x)>F(x)的最小值為g,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查求分段函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出2R(x)2/(x)+g(x),再由基本不等式求得最值，屬

于中檔題.

2.B

【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性得到。方的大小關(guān)系，再利用不等式的性質(zhì)，即可得答案.

【詳解】

???/(X)在K上單調(diào)遞增，&f(a)>f(b),：.a>b.

：。力的符號(hào)無(wú)法判斷，故/與》2,標(biāo)與川，的大小不確定,

對(duì)A,當(dāng)。=11=-1時(shí)，1—==一，故A錯(cuò)誤；

礦+1b~+\

對(duì)C,當(dāng)。=1,。=一1時(shí)，cr=\,ab=-\,故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,當(dāng)a=l,b=-l時(shí)，ln(〃+l)=lnW+1),故D錯(cuò)誤；

對(duì)B,對(duì)。>6,則指>*,故3正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性、不等式性質(zhì)的運(yùn)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算

求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.D

【解析】

由題得2x-e*VaV2x+e'對(duì)Vxw［0,1］恒成立，令/(x)=2x-,g(x)=2x+e",然后分別求出

gGL即可得”的取值范圍?

【詳解】

由題得2x—e*<a<2x+e(^Vxe［0,l］恒成立，

令/(x)=2x-ex,g(x)-2x+ex,

_f(x)=2-，在［0,1］單調(diào)遞減，且/'(In2)=0,

.?.”到在(0,1112)上單調(diào)遞增，在(In2,1)上單調(diào)遞減，

.q/(x)a=/(ln2)=21n2-2,

又g(x)=2x+e'在［0,1］單調(diào)遞增，aWg(xL=g(0)=1,

??.”的取值范圍為［21n2—2,1］.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了不等式恒成立問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.求解不等式恒成立問(wèn)題，可采用參變

量分離法去求解.

4.B

【解析】

結(jié)合函數(shù)的對(duì)應(yīng)性，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解：若％=4,則/(%)="4)=17,即％=17成立，

^f(x)=x2+l,則由，(％)=%=17,得/=±4,

則“%=17”是“七=4”的必要不充分條件，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合函數(shù)的對(duì)應(yīng)性是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

5.D

【解析】

甲乙丙三人陳述中都提到了甲的路線(xiàn)，由題意知這三句中一定有一個(gè)是正確另外兩個(gè)錯(cuò)誤的，再分情況討論即可.

【詳解】

若甲走的紅門(mén)盤(pán)道徒步線(xiàn)路，則乙，丙描述中的甲的去向均錯(cuò)誤，又三人的陳述都只對(duì)一半，則乙丙的另外兩句話(huà)“丙走紅

門(mén)盤(pán)道徒步線(xiàn)路”，“乙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線(xiàn)路”正確，與“三人走的線(xiàn)路均不同”矛盾.

故甲的另一句“乙走桃花峪登山線(xiàn)路''正確，故丙的“乙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線(xiàn)路''錯(cuò)誤，“甲走天燭峰登山線(xiàn)路''正確.乙的話(huà)中

“甲走桃花峪登山線(xiàn)路”錯(cuò)誤，“丙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線(xiàn)路”正確.

綜上所述,甲走天燭峰登山線(xiàn)路，乙走桃花峪登山線(xiàn)路，丙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線(xiàn)路

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了判斷與推理的問(wèn)題，重點(diǎn)是找到三人中都提到的內(nèi)容進(jìn)行分類(lèi)討論，屬于基礎(chǔ)題型.

6.A

【解析】

根據(jù)題目所給的步驟進(jìn)行計(jì)算，由此求得56的值.

【詳解】

依題意列表如下：

上列乘6上列乘5上列乘2

163060

31530

2

1

21020

3

13_15

15

42T

\6

612

5?

\_

1510

6

所以$6=60+30+20+15+12+10=147.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查合情推理，考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，屬于基礎(chǔ)題.

7.D

【解析】

利用數(shù)列的遞推關(guān)系式判斷求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后求解數(shù)列的和，判斷選項(xiàng)的正誤即可.

【詳解】

當(dāng).2時(shí)，S?+l+S?_,=2(S.+1)=>S?+1-S?=Sn-S?.1+2=a?+l=a?+2.

二1

所以數(shù)列伍“｝從第2項(xiàng)起為等差數(shù)列，4=.c.,

2九一2,幾?2

所以，%=6,ci\Q=18.

S“=%+色節(jié))("1)=“(〃_1)+1,九=16x15+1=241,

520=20x19+1=381.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用、數(shù)列求和以及數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題.

8.B

【解析】

把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)即得.

【詳解】

把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，

則不同的分配方案有C；閥=36種.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查排列組合，屬于基礎(chǔ)題.

9.B

【解析】

利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可算出.

【詳解】

解：=30°

cos<OC,OA>=—

2

OCOA_V3

(^inOA+OA百

|mOA+|(?A|2

m|(9A|4-nOB-OA也

2

yjm2|O4|2+2mnOAOB+n2|ofi|2|OA|

V|OA|=1,|OB|=X/3,OAOB=0

.m_>/3

yjtn2+3n22

/.m2=9力2

又???C在AB上

m>09n>0

/.-=3

n

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了向量的基本運(yùn)算的應(yīng)用，向量的基本定理的應(yīng)用及向量共線(xiàn)定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用.

10.D

【解析】

由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得〃最小，利用作差法，結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的性質(zhì)即可比較a和c的大小關(guān)

系，進(jìn)而得解.

【詳解】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知0<。=,4<i，

由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知。=bgi213>l,c=log1314>l,所以〃最小;

而由對(duì)數(shù)換底公式化簡(jiǎn)可得a-c=log1213-log13l4

=lgl3_lgl4

"lgl2lgl3

_lg213-lg12-lgl4

Igl2-lgl3

'l]2

由基本不等式可知[g12Jgl4V1(lgl2+lgl4)，代入上式可得

'][2

,lg213--(Igl2+lgl4)

底13-電12.電1430I

Igl2-lgl3Igl2-lgl3

lg213--lgl68

[2J

Igl2-lgl3

1A(i

lgl3+lgl68-lgl3—lgl68

2/v2

Igl2-lgl3

(lgl3+lgV168)-(lgl3-lg^68)

Igl2-lgl3”

所以a〉c,

綜上可知a>c>Z?,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)變形，對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，作差法比較大小，屬于中檔題.

11.A

【解析】

作出其直觀圖，然后結(jié)合數(shù)據(jù)根據(jù)勾股定定理計(jì)算每一條棱長(zhǎng)即可.

【詳解】

根據(jù)三視圖作出該四棱錐的直觀圖，如圖所示，其中底面是直角梯形，且4D=A3=2,BC=4,

平面ABC。，且94=2,

PB=V22+22=2V2>PD=V22+22=2V2?CD=2也，PC=yJp^+AC2=A/4+20=2>/6?

.?.這個(gè)四棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度是2".

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了四棱錐的三視圖的有關(guān)計(jì)算，正確還原直觀圖是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

12.A

【解析】

首先判斷a*,c和1的大小關(guān)系，再由換底公式和對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx的單調(diào)性判斷仇c的大小即可.

【詳解】

因?yàn)閍=ln3>lne>l,b-log,e=—,c=loge=—,l<ln3<ln^,所以c<人<1,綜上可得c<Z?<a.

In3TIn萬(wàn)

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了換底公式和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.土亞

5

【解析】

設(shè)值利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，列出式子

4：-y=0,/2：x+ky=O,

,求出人的值即可.

解：由圓C:（x—m）2+產(chǎn)=戶(hù)（加＞o）,可知圓心。（加,0）,半徑為r.

設(shè)直線(xiàn)4："-y=0,貝!](：x+分1=(),

圓心到直線(xiàn)《的距離為,

OD-Vm2-r2,,:AB=OD

AB—yjrrT—r2?

圓心C（加,0）到直線(xiàn)的距離為半徑，即不工=「

I92

yjm~一廣

解得』咨

故答案為：土N5

5

【點(diǎn)睛】

本題主要考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的運(yùn)用，并結(jié)合圓的方程，垂徑定理的基本知識(shí)，屬于中檔題.

2,n=1

14.4

4n-3,n>2

【解析】

由題意,根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)為與前n項(xiàng)和S“之間的關(guān)系，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

【詳解】

由題意，可知當(dāng)〃=1時(shí)，4=5=2；

當(dāng)〃》2時(shí)，an=Sn-S,i=2/一〃一2（n—+〃-1=4〃一3.

1,n-\

又因?yàn)閝=1不滿(mǎn)足勺=4〃-3,所以為=

[4n-3,n>2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和S“之間的關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中解答中熟記數(shù)列的通項(xiàng)an與

前n項(xiàng)和S“之間的關(guān)系，合理準(zhǔn)確推導(dǎo)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5

15.-?

4

【解析】

第一空：將圓￡：/+3一%）2=1與聯(lián)立，利用△=（）計(jì)算即可；

第二空：找到兩外切的圓的圓心與半徑的關(guān)系4=%_1+*+小再將Cjd+G—aju不與y=x2聯(lián)立，得到

a?=r^+-,與4=a?_t++rn結(jié)合可得rn為等差數(shù)列，進(jìn)而可得rn.

【詳解】

當(dāng)「1=1時(shí)，圓G：x2+（y-qj2=1,

與y=x?聯(lián)立消去）'得y2_（2q_l）y+q2_]=o,

則△=（2q—l）2-4（<-1）=0,解得q=（；

由圖可知當(dāng)〃N2時(shí),%=%+*+/①,

將C?：J+（y_q）2=￡與y=x2聯(lián)立消去），得

y2_（24_l）y+%2f2=0，

則△=（2a“—4（42_目=0,

整理得a?=d+；,代入①得小1*；+%*+小

整理得4一小i=l,

則rn=6+（〃-1）=〃.

故答案為：—-；n.

4

【點(diǎn)睛】

本題是拋物線(xiàn)與圓的關(guān)系背景下的數(shù)列題，關(guān)鍵是找到圓心和半徑的關(guān)系，建立遞推式，由遞推式求通項(xiàng)公式，綜合

性較強(qiáng)，是一道難度較大的題目.

16.-3

【解析】

根據(jù)A8C。是平行四邊形可得出恁.麗=通2一42,然后代入48=2,40=1即可求出恁.麗的值.

【詳解】

'：AB=2,AD=1,

：.ACBD=(JB+ADy(BA+BC)

=(而+呵?(而-幽

=/一而2

=1-4

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量加法的平行四邊形法則，相等向量和相反向量的定義，向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)|AB|=1；(2)26.

【解析】

(1)將直線(xiàn)/和曲線(xiàn)G化為普通方程，聯(lián)立直線(xiàn)/和曲線(xiàn)G，可得交點(diǎn)坐標(biāo)，可得|A5|的值;

(2)可得曲線(xiàn)的參數(shù)方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式結(jié)合三角形的最值可得答案.

【詳解】

解：(I)直線(xiàn)/的普通方程為y=G(x—1),G的普通方程f+y2=i.

聯(lián)立方程組解得/與G的交點(diǎn)為A(l,0),B；，-乎，則=

1八

X=—COS0/廠、

(2)曲線(xiàn)的參數(shù)方程為2(6為參數(shù))，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為;cos6，Wsin。

y=—sinO'

-cos^--sin(9-5/3

從而點(diǎn)尸到直線(xiàn)/的距離是，22乎任sin,—：+2

a=

2

由此當(dāng)sin6-：=-1時(shí)，d取得最小值，且最小值為2百-6

4

【點(diǎn)睛】

本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化及參數(shù)方程的基本性質(zhì)、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式等，屬于中檔題.

(n

18.(1)0,-；(2)證明見(jiàn)解析.

Iej

【解析】

(1)求出函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?0,+紇)，r(x)=L管，分040和4>0兩種情況討論，分析函數(shù))，=/(%)

的單調(diào)性，求出函數(shù)y=/(x)的最大值，即可得出關(guān)于實(shí)數(shù)"的不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

(2)利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)y=/(x)在(0,3)上遞增，在(3,”)上遞減，可得出0<%<3<々，由

=3M玉一?+當(dāng)Tn30,構(gòu)造函數(shù)g(x)=31nx_q+?_ln30,證明出

y(Xy5Xyjx

(30、

g(xJ>0,進(jìn)而得出/(%)>/—，再由函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(3,+s)上的單調(diào)性可證得結(jié)論.

7

【詳解】

(1)函數(shù)/(x)=lnx-ar的定義域?yàn)?0,+“)，且(3=上左.

當(dāng)“M0時(shí)，對(duì)任意的x〉0,/'(x)>0,

此時(shí)函數(shù)y=/(力在((),+e)上為增函數(shù)，函數(shù)V=/(%)為最大值;

當(dāng)a>0時(shí)，令/'(x)=0,得工=’.

a

當(dāng)0<x<4時(shí)，/'(x)>0,此時(shí)函數(shù)y=/(x)單調(diào)遞增；

a

當(dāng)尤〉工時(shí)，r(x)<。，此時(shí)函數(shù)y=/(x)單調(diào)遞減.

a

所以，函數(shù)y=/(x)在x處取得極大值，亦即最大值,

a

即"%)皿=U=-lna—l>0,解得0<a<：.

綜上所述，實(shí)數(shù)4的取值范圍是0<。<!；

e

(2)當(dāng)a=g時(shí)，/(x)=lnx-；x,定義域?yàn)?0,+力)，

/'(x)=L_：=t，當(dāng)0<%<3時(shí)，/'(x)>0；當(dāng)x>3時(shí)，fr(x)<0.

所以，函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,3),單調(diào)遞減區(qū)間為(3,”).

由于函數(shù)y=/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)X1、工2且，0<X1<3<X2,

???/㈤~管)=?)T倍1回一升(那一半=3八一>詈E3。,

、玉J1玉JI3J(玉玉JI

,、x10

構(gòu)造函數(shù)g(x)=31nx-]+-y-ln30,其中0<尤<3,

”、3120X3-9X2+60

g(“)=；人?一D丁7人3x3

令〃(x)=j?—9/+60,〃'(x)=3x?—18x=3x(x-6),當(dāng)0cx<3時(shí)，〃'(％)<(),

所以，函數(shù)y=〃(x)在區(qū)間((),3)上單調(diào)遞減，則〃(x)>〃⑶=6〉0,則g'(x)<0.

所以，函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(0,3)上單調(diào)遞減，

?.?0"<3,/..?(%,)>^(3)=31n3-l+--ln30=ln0.9+->0,

99

即/⑸-/伶]=/(3)-/當(dāng)=g(玉)>0,即日，

\x\JW1%J

303010/、/、

?.?0<玉<3,o且%>3,而函數(shù)y=/(x)在(3,+oo)上為減函數(shù),

X<

所以，2~9因此，x^x2<3().

x\

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的最值求參數(shù)，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，利用所證不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)是解答

的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.

19.(I)x'=4ay<a>0>x-y+1=0；(II)

-4

【解析】

(I)利用所給的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程，直接整理化簡(jiǎn)得到直角坐標(biāo)方程和普通方程；(II)聯(lián)立直線(xiàn)的參數(shù)方程和c

的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合韋達(dá)定理以及等比數(shù)列的性質(zhì)即可求得答案.

【詳解】

(I)曲線(xiàn)C：pcos~。=4〃sin。0>0)，兩邊RI時(shí)乘以p

可得p~8s%-4apsin0(a>0)9化簡(jiǎn)得)x~=4ay(a>0)；

,并

x=-2+--t,

直線(xiàn)/的參數(shù)方程為無(wú)(/為參數(shù))，可得

y=T+yf

x-y=-L得x-y+l=0；

"

/

2+「

r2

將<M(/為參數(shù))代入J=4ay{a>0)并整理得

b7+

r7

/-4y[2(a+l)t+8(a+1)=0

f+=

韋達(dá)定理：](24&(a+l),tI-t2=8(a+1)>0

由題意得|AW=\PM\\PN\即小6「=\tj-t\

2

可得+t^-4tJ-t2=t1-t2

即32s+if=40(a+I),a>0

解得a=-

4

【點(diǎn)睛】

本題考查了極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)和普通方程的互化，以及參數(shù)方程的綜合知識(shí)，結(jié)合等比數(shù)列，熟練運(yùn)

用知識(shí)，屬于較易題.

r221777I

20.(1)一+2_=1(XH±2)(2)77六77的最小值為1，此時(shí)直線(xiàn)/：x=\

43')\MN\

【解析】

(D用直接法求軌跡方程，即設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P(x,y),把已知用坐標(biāo)表示并整理即得.注意取值范圍；

⑵設(shè)/：x=my+l,將其與曲線(xiàn)C的方程聯(lián)立，消元并整理得(3加2+4*+6陽(yáng)一9=0,

設(shè)N丫2)，則可得,+%，，,%，由|MN|=Ji+加回-必|求出,

ITFI

將直線(xiàn)ET方程y=-〃z(x-l)與x=4聯(lián)立，得7(4,一3力)，求得|7萬(wàn)],計(jì)算偏就，設(shè).顯然.21，構(gòu)

造/（。=盟j=+；卜21）,由導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求得其最小值，同時(shí)可得直線(xiàn)/的方程.

【詳解】

3yy3

（1）設(shè)P（x,y）,則即即1_2）.口=々

22

整理得上+匕=1（%7±2）

43、'

（2）設(shè)/：x=my+l,將其與曲線(xiàn)C的方程聯(lián)立，得3（沖+l『+4y2=12

即(3加2+4)/+6陽(yáng)—9=0

6m9

設(shè)（，），），貝乂+%=一

MXi%,NG%!13療+4'5|>2--3/?2+4

\MN\=yll+m2-6mj4x-9」2(>+1)

W+43m2+43m2+4

將直線(xiàn)ET：丁=一加（》-1）與兀=4聯(lián)立，得T（4,-3〃z）

.,.附=19+9/=3小+〃

?］、

??瑞4焉斗日

V/n2+1?

設(shè)/=1府+1?顯然—1

1

構(gòu)造/?）金步+^I）

/'（'）=；（3一5）＞0在/€[1，”）上恒成立

所以y=/（。在[1,+8）上單調(diào)遞增

^4l3/+；1）"b當(dāng)且僅當(dāng)即加=。時(shí)取“="

所以

即缶U的最小值為1,此時(shí)直線(xiàn)/：x=l.

|MN\

（注：1.如果按函數(shù)y=x+L的性質(zhì)求最值可以不扣分；2.若直線(xiàn)方程按斜率是否存在討論，則可以根據(jù)步驟相應(yīng)給

X

分.）

【點(diǎn)睛】

本題考查求軌跡方程，考查直線(xiàn)與橢圓相交中的最值.直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題中常采用“設(shè)而不求”的思想方法，即設(shè)交

點(diǎn)坐標(biāo)為a，M),(龍2,必)，設(shè)直線(xiàn)方程，直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立并消元，然后用韋達(dá)定理得為+%2，％%2(或

乂+%，弘%)，把這個(gè)代入其他條件變形計(jì)算化簡(jiǎn)得出結(jié)論，本題屬于難題，對(duì)學(xué)生的邏輯推理、運(yùn)算求解能力有一

定的要求.

21.(I)一地；(II)2近.

26

【解析】

(I)直接代入再由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；

(D)先得