理論力學(xué)模板

理論力學(xué)模板第1頁(yè)/共80頁(yè)第十一章動(dòng)量矩定理本章我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容動(dòng)量矩的概念

AngularMomentum轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

MassmomentofInertia動(dòng)量矩定理

TheoremofAngularMomentum質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

TheoremofAngularMomentumforparticlesystemaboutbarycenter剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

DifferentialEquationofPlaneMotion第2頁(yè)/共80頁(yè)第十一章動(dòng)量矩定理均質(zhì)對(duì)稱(chēng)圓盤(pán)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)其動(dòng)量：

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量不能描述質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，動(dòng)量定理也不能闡明這種運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，而必須用其它理論來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。第3頁(yè)/共80頁(yè)第十一章動(dòng)量矩定理PARTA動(dòng)量矩的概念第4頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artA動(dòng)量矩1.質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定義

設(shè)質(zhì)點(diǎn)M的質(zhì)量為m,某瞬時(shí)速度為v,質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于固定點(diǎn)O的矢徑為r,則質(zhì)點(diǎn)對(duì)于固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定義為:質(zhì)點(diǎn)M的動(dòng)量對(duì)于O點(diǎn)的矩,稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)對(duì)于O點(diǎn)的動(dòng)量矩。第5頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artA動(dòng)量矩2.質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸的動(dòng)量矩

質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定義為：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量mv

在Oxy平面內(nèi)的投影(mv)xy對(duì)于點(diǎn)O的矩。

對(duì)于固定軸z的動(dòng)量矩是代數(shù)量，其正負(fù)號(hào)的規(guī)定按照右手定則確定。（類(lèi)似于空間力對(duì)軸的矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定）單位:kg·m2/s定義第6頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artA動(dòng)量矩3.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩

質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)O的動(dòng)量矩的矢量和稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩。

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸z的動(dòng)量矩

根據(jù)前面的關(guān)系，容易得到第7頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artA動(dòng)量矩4.剛體的動(dòng)量矩平移剛體對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩:

剛體平移時(shí)，可將剛體視為一個(gè)全部質(zhì)量集中于質(zhì)心的質(zhì)點(diǎn)來(lái)計(jì)算其動(dòng)量矩。平移剛體對(duì)定軸的動(dòng)量矩:

第8頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artA動(dòng)量矩4.剛體的動(dòng)量矩定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩:

引入:則:MassmomentofInertia

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)其轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的乘積。第9頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artA動(dòng)量矩4.剛體的動(dòng)量矩剛體一般平面運(yùn)動(dòng)對(duì)定軸的動(dòng)量矩*

運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)垂直于質(zhì)量對(duì)稱(chēng)平面的固定軸的動(dòng)量矩，等于剛體隨同質(zhì)心作平動(dòng)時(shí)質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)該軸的動(dòng)量矩與繞質(zhì)心軸作轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)量矩之和。第10頁(yè)/共80頁(yè)第十一章動(dòng)量矩定理PARTB轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第11頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artB轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1.定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

r:微質(zhì)量dm

到a軸的垂直距離單位:kg·m2質(zhì)量連續(xù)分布的情況：第12頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artB轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1.定義

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是正標(biāo)量，其大小不僅與剛體質(zhì)量大小和質(zhì)量的分布情況有關(guān)，還與對(duì)應(yīng)的a軸的位置有關(guān)。

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的量度。第13頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artB轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2.回轉(zhuǎn)半徑引入回轉(zhuǎn)半徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

對(duì)于均質(zhì)剛體，回轉(zhuǎn)半徑僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無(wú)關(guān)。對(duì)于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質(zhì)剛體，其回轉(zhuǎn)半徑是相同的。第14頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artB轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3.平行移軸公式

如圖所示兩個(gè)平行軸，其中一軸通過(guò)剛體質(zhì)心，另一軸為與質(zhì)心軸平行的任意軸。

若d

為兩平行軸的垂直距離，則有:

剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方之乘積。第15頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artB轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3.平行移軸公式證明第16頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artB轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

討論如圖所示，剛體的質(zhì)量為m，對(duì)z1軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,求對(duì)z2.軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。×第17頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artB轉(zhuǎn)動(dòng)慣量4.規(guī)則均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參考教材第18頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artB轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

例題1如圖所示均質(zhì)圓盤(pán)的質(zhì)量為m(灰色部分的質(zhì)量),半徑為R,中間被挖去半徑為r

的一個(gè)圓形部分，r=R/3，求該盤(pán)對(duì)A軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。第19頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artB轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[解]第20頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artB轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

例題2直桿的質(zhì)量:m1

均質(zhì)圓盤(pán)質(zhì)量:m2

在某瞬時(shí)角速度等于w,計(jì)算系統(tǒng)對(duì)垂直于平面且通過(guò)O點(diǎn)的軸的動(dòng)量矩。第21頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artB轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[解]注意平行移軸公式在本例中的應(yīng)用第22頁(yè)/共80頁(yè)第十一章動(dòng)量矩定理PARTC動(dòng)量矩定理第23頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artC動(dòng)量矩定理1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理由于：并且根據(jù)動(dòng)量定理:則可得：向三個(gè)坐標(biāo)軸投影第24頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artC動(dòng)量矩定理1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一點(diǎn)之矩。這就是質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理。質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一軸之矩。第25頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artC動(dòng)量矩定理2.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒若稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒.則為常矢量根據(jù)動(dòng)量矩定理為常數(shù)第26頁(yè)/共80頁(yè)3．動(dòng)量矩守恒定律若則常量。有心力：力作用線(xiàn)始終通過(guò)某固定點(diǎn),該點(diǎn)稱(chēng)力心.

常矢量若則常矢量,面積速度定理：質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下其面積速度守恒.(1)與必在一固定平面內(nèi),即點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是平面曲線(xiàn).即常量因此,常量面積速度第27頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artC動(dòng)量矩定理

例題3求單擺的運(yùn)動(dòng)方程，球A的質(zhì)量為m第28頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artC動(dòng)量矩定理[解]根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理若j

0,sinj

j第29頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artC動(dòng)量矩定理[解]邊界條件第30頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artC動(dòng)量矩定理3.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理:對(duì)于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系:由于得到：向直角坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸進(jìn)行投影第31頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artC動(dòng)量矩定理4.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒定理若稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒則有常矢量根據(jù)常量第32頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artC動(dòng)量矩定理

例題4輪子的質(zhì)量為:M

重物A

和B的質(zhì)量分別為:

m1

m2

設(shè)m1>m2繩子無(wú)滑動(dòng)。計(jì)算重物A

的加速度第33頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artC動(dòng)量矩定理[解]分析作用在系統(tǒng)上的力以及各個(gè)運(yùn)動(dòng)量計(jì)算系統(tǒng)對(duì)垂直于平面通過(guò)點(diǎn)O的軸的動(dòng)量矩輪子:物塊A:物塊B:整個(gè)系統(tǒng):第34頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artC動(dòng)量矩定理[解]第35頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artC動(dòng)量矩定理應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理求解的基本步驟1、取研究對(duì)象，常取整個(gè)系統(tǒng)為研究的質(zhì)點(diǎn)系。2、進(jìn)行受力分析，作受力圖，只需分析外力；3、進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析。4、根據(jù)受力和運(yùn)動(dòng)分析結(jié)果，列寫(xiě)方程，特別注意動(dòng)量矩和力矩正向規(guī)定要統(tǒng)一。5、由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)，給出相關(guān)運(yùn)動(dòng)量之間關(guān)系，求解。第36頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artC動(dòng)量矩定理

例題5

如圖所示卷?yè)P(yáng)機(jī)鼓輪為均質(zhì)圓盤(pán)，重為W1

，半徑為R，小車(chē)總重為W2，作用于鼓輪上的力矩為M，軌道的傾角為q，繩的重量及摩擦均忽略不計(jì)，求小車(chē)上升的加速度。第37頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artC動(dòng)量矩定理【解】選小車(chē)和鼓輪組成的質(zhì)點(diǎn)系為對(duì)象，

進(jìn)行受力分析設(shè)某瞬時(shí)小車(chē)的速度為v，則鼓輪的角速度為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸Oz的動(dòng)量矩為所有外力對(duì)軸Oz的矩為第38頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artC動(dòng)量矩定理【解】由于：則有：根據(jù)動(dòng)量矩定理：解得：當(dāng)小車(chē)向上加速上升第39頁(yè)/共80頁(yè)求：剪斷繩后,角時(shí)的.已知：兩小球質(zhì)量皆為,初始角速度。例11-3第40頁(yè)/共80頁(yè)時(shí),

時(shí),解：2.受力1.對(duì)象：兩個(gè)小球若則常量。第41頁(yè)/共80頁(yè)r1r2ABz解：分析小球受力。v2v1

思考題：小球系于線(xiàn)的一端，線(xiàn)穿過(guò)鉛直小孔，力F將線(xiàn)緩慢向下拉。開(kāi)始時(shí)，小球以勻速v1沿半徑為r1的圓周運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)小球被拉至B處(2r2=r1)時(shí)的速度v2

。F∵∑MZ(F(e))=0，∴LZ=const!初瞬時(shí)(A處)，LZA

=mv1r1，B處，LZB

=mv2r2，∴

mv1r1

=mv2r2得：v2

=2v1mgT而

r1

=2r2第42頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artC動(dòng)量矩定理5.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的度量.剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積等于作用于剛體的主動(dòng)力對(duì)該軸之矩的代數(shù)和。第43頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artC動(dòng)量矩定理

例題6PhysicalPendulum(復(fù)擺)

擺的質(zhì)量:m

擺的質(zhì)心位置:C擺對(duì)懸掛點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JO求擺微幅擺動(dòng)的周期T第44頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artC動(dòng)量矩定理[解]分析作用在剛體上的力根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程若j

較小(小于5度)…第45頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artC動(dòng)量矩定理[解]注意,若已知JC則有

JO=JC+ma2利用本例，可以通過(guò)測(cè)出零部件的擺動(dòng)周期，再求出它的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。第46頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artC動(dòng)量矩定理第47頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artC動(dòng)量矩定理第48頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artC動(dòng)量矩定理

系統(tǒng)重心越高，則系統(tǒng)對(duì)地面支點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大，可以知道，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小與重心對(duì)地面高度的平方成正比而人體在失衡傾斜一個(gè)小的角度時(shí)，使人體旋轉(zhuǎn)的重力矩也增加了，在傾斜角度相同時(shí)，重重力矩的大小與重心的高度成正比，于是，重心越高，重力矩產(chǎn)生的角加速度越小，產(chǎn)生同樣傾斜角度所用的時(shí)間越長(zhǎng)，人體就越有時(shí)間通過(guò)肢體運(yùn)動(dòng)調(diào)整自己重心的位置，處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)

一個(gè)明顯的事實(shí)是，可以輕易地頂一個(gè)雞毛簞子在鼻尖上，使它處于動(dòng)態(tài)平衡不倒下來(lái)，但卻不容易頂一支鉛筆在鼻尖上，使它不倒下來(lái)。第49頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artC動(dòng)量矩定理

例題7

均質(zhì)桿OA長(zhǎng)l,質(zhì)量為m,其O端用鉸鏈支承，A端用細(xì)繩懸掛，如圖所示。試求將細(xì)繩突然剪斷的瞬時(shí)，鉸鏈O處的約束反力。第50頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artC動(dòng)量矩定理[解]分析作用在桿上的力及其運(yùn)動(dòng)量:在剪斷繩子的瞬時(shí)第51頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artC動(dòng)量矩定理[解]根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得到第52頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artC動(dòng)量矩定理1、解題步驟同質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理。2、研究對(duì)象僅包含一個(gè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體。3、動(dòng)量矩（轉(zhuǎn)角、角速度、角加速度）和力矩正向規(guī)定要統(tǒng)一。

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程應(yīng)用說(shuō)明：第53頁(yè)/共80頁(yè)第十一章動(dòng)量矩定理PARTD質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理*第54頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artD質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理1質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩即對(duì)定軸的動(dòng)量矩：第55頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artD質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理1質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩即對(duì)定軸的動(dòng)量矩：第56頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artD質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

例題8*曲柄以勻角速度w

繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)連桿AB帶動(dòng)滑塊A和B分別在垂直和水平滑道中運(yùn)動(dòng)。如圖所示，已知OC=AC=BC=l,曲柄質(zhì)量為m,連桿質(zhì)量為2m,試求系統(tǒng)在圖示位置時(shí)對(duì)O軸的動(dòng)量矩第57頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artD質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理[解]第58頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artD質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理2相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)質(zhì)心的主矩。質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理第59頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artD質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理2相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心軸的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心（軸）的動(dòng)量矩守恒：若則若則第60頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artD質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理第61頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artD質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理第62頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artD質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理航天員在太空中如何控制身體的姿態(tài)？第63頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artD質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理航天員在太空中如何控制身體的姿態(tài)？

載人飛船中的宇航員在地球引力作用下繞地球沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)。但是在飛船坐標(biāo)系中看來(lái)，他處于失重狀態(tài)，并在飛船中漂浮，因而相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩守恒。第64頁(yè)/共80頁(yè)第十一章動(dòng)量矩定理PARTE剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程第65頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artE剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程設(shè)剛體在力F1,F2,….Fn作用下作平面運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)可知，剛體的平面運(yùn)動(dòng)可分解為兩種基本運(yùn)動(dòng)：1固連在質(zhì)心C

上的動(dòng)坐標(biāo)系x’Cy’的平移;2繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng).第66頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artE剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體相對(duì)于質(zhì)心C的動(dòng)量矩為：根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理有第67頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artE剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程將上兩式投影至直角坐標(biāo)系，有：第68頁(yè)/共80頁(yè)P(yáng)artE剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程例題9如圖所示質(zhì)量m的圓柱體放在斜面上，接觸面的靜滑動(dòng)摩擦因數(shù)為m,計(jì)算若圓柱體只滾不滑情況下斜面角度q

的最大值。