非線性系統(tǒng)分析謝克明

非線性系統(tǒng)分析謝克明第1頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三知識要點非線性系統(tǒng)的特點，非線性系統(tǒng)的相平面法分析---相軌跡、奇點、奇線、極限環(huán)。非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)法---描述函數(shù)的定義、非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)、自持振蕩的條件，非線性系統(tǒng)的校正。第2頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三7.1非線性系統(tǒng)概述控制系統(tǒng)包含一個或一個以上具有非線性特性的元件或環(huán)節(jié)時，此系統(tǒng)則為非線性系統(tǒng)。7.1.1非線性系統(tǒng)的特點1．非線性系統(tǒng)的數(shù)學描述2.系統(tǒng)的瞬態(tài)響應3.系統(tǒng)的穩(wěn)定性

4.系統(tǒng)的自持振蕩（自激振蕩）5.多值響應和跳躍諧振

第3頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三7.1.2非線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計方法非線性系統(tǒng)采用非線性微分方程描述，至今尚沒有統(tǒng)一的求解方法，其理論也還不完善。由于非線性系統(tǒng)的特點，線性系統(tǒng)的分析方法均不能采用。分析非線性系統(tǒng)工程上常采用的方法有：1．線性化近似法對于某些非線性特性不嚴重的系統(tǒng)，或系統(tǒng)僅僅只研究平衡點附近特性時，可以用小偏差線性化方法，將非線性系統(tǒng)近似線性化。第4頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三2．分段線性近似法將非線性系統(tǒng)近似為幾個線性區(qū)域，每個區(qū)域有對應的線性化微分方程描述。3．相平面法相平面法是非線性系統(tǒng)的圖解分析法，采用在相平面上繪制相軌跡曲線，確定非線性系統(tǒng)在不同初始條件下系統(tǒng)的運動形式。該方法只適用最高為二階的系統(tǒng)。4．描述函數(shù)法描述函數(shù)法是線性系統(tǒng)頻率特性法的推廣，采用諧波線性化將非線性特性近似表示為復變增益環(huán)節(jié)，應用頻率法分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自持振蕩。該方法適用于非線性系統(tǒng)中線性部分具有良好的低通濾波特性的系統(tǒng)。第5頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三5．李雅普諾夫法李雅普諾夫法是根據(jù)廣義能量函數(shù)概念分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性。原則上適用所以非線性系統(tǒng)，但對大多數(shù)非線性系統(tǒng)，尋找李雅普諾夫函數(shù)相當困難，關(guān)于李雅普諾夫法在現(xiàn)代控制理論中作祥解。6．計算機輔助分析利用計算機模擬非線性系統(tǒng)，特別上采用MATLAB軟件工具中的Simulink來模擬非線性系統(tǒng)方便且直觀，為非線性系統(tǒng)的分析提供了有效工具。第6頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三7.2典型非線性特性按非線性環(huán)節(jié)特性的形狀可以將非線性環(huán)節(jié)劃分為死區(qū)特性、飽和特性、繼電特性、間隙特性等。死區(qū)特性（不靈敏區(qū)）死區(qū)特性的的數(shù)學描述為：

死區(qū)特性對系統(tǒng)性能的影響：（1）由于死去的存在，增大了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，降低了系統(tǒng)的控制精度；（2）若干擾信號落在死區(qū)段，可大大提高系統(tǒng)的抗干擾能力。第7頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三2．飽和特性飽和特性對系統(tǒng)性能的影響：（1）將使系統(tǒng)的開環(huán)增益有所降低，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性有利；（2）使系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)態(tài)跟蹤精度下降。有時從系統(tǒng)安全性的考慮，常常加入各種限幅裝置，其特性也屬飽和特性。

第8頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三3．間隙特性（回環(huán)特性）間隙特性對系統(tǒng)的影響：一般來說，間隙使系統(tǒng)輸出相位滯后，降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量，控制系統(tǒng)的動態(tài)特性變壞，甚至使系統(tǒng)振蕩；間隙的存在使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差擴大，穩(wěn)態(tài)特性變差。第9頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三4．繼電器特性第10頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三（1）理想繼電器特性（2）死區(qū)繼電器特性第11頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三（3）回環(huán)繼電器特性

（4）死區(qū)加回環(huán)繼電器特性第12頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三7.3相平面分析法相平面法是龐加萊（Poincare）提出的，它是一種求解二階非線性微分方程組的圖解法，它比較直觀、準確地反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡狀態(tài)的特性、不同初始狀態(tài)和輸入信號下系統(tǒng)的運動形式。雖然相平面法適用一階、二階非線性控制系統(tǒng)的分析，但它形成特定的相平面法，它對弄清高階非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性、極限環(huán)等特殊現(xiàn)象，也起到了直觀形象的作用。第13頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三7.3.1相平面的基本概念設(shè)二階非線性系統(tǒng)的微分方程為：若令則二階系統(tǒng)可寫成兩個一階微分方程，即第14頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三1.相平面，相點和相軌跡

以為橫坐標，為縱坐標的平面稱為相平面，相應的分析法稱為相平面法；相平面上的點稱為相點；由某一初始條件出發(fā)在相平面上繪出的曲線稱為相平面軌跡，簡稱相軌跡；不同初始條件下構(gòu)成的相軌跡，稱為相軌跡族，由相軌跡族構(gòu)成的圖稱為相平面圖，簡稱相圖。第15頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三2.相軌跡方程和平衡點考察二階非線性時不變微分方程:引入相平面的概念，將二階微分方程改寫成二元一階微分方程組:第16頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三一般形式為消去時間變量t，得到相軌跡的斜率方程求解可得相軌跡方程，即表示相平面上的一條曲線，即相軌跡。第17頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三相軌跡的性質(zhì)：1.一般情況下，相軌跡不相交。相點處的斜率由唯一確定，不同條件下的相軌跡是不會相交。2.當某一相點滿足第18頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三

此時兩個狀態(tài)變量對時間的變化率都為零，系統(tǒng)的狀態(tài)不再發(fā)生變化，即系統(tǒng)到達了平衡狀態(tài)，相應的狀態(tài)點（相點）稱為系統(tǒng)的平衡點。平衡點處有的斜率第19頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三則上式不能唯一確定其斜率，相軌跡上斜率不確定的點在數(shù)學上也稱為奇點，故平衡點即為奇點。

奇點處，由于相軌跡的斜率dx2／dx1為不定值，可理解為有多條相軌跡在此交匯或由此出發(fā)，即相軌跡可以在奇點處相交。第20頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三7.3.2線性系統(tǒng)的相軌跡

線性二階系統(tǒng)微分方程為:相軌跡的斜率方程為:第21頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三系統(tǒng)的奇點(平衡點)滿足解得為系統(tǒng)的奇點。系統(tǒng)的特征根為對于不同的阻尼比二階系統(tǒng)的特征根不同，系統(tǒng)的時域響應由特征根決定，而時域響應和響應的導數(shù)決定系統(tǒng)的相軌跡。

第22頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三1、無阻尼運動（=0）此時系統(tǒng)特征根為一對共軛虛根，相軌跡方程變?yōu)?/p>

對上式分離變量并積分，得式中，A為由初始條件決定的積分常數(shù)。第23頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三初始條件不同時,上式表示的系統(tǒng)相軌跡是一族同心橢圓，每一個橢圓對應一個等幅振動。在原點處有一個平衡點(奇點)，該奇點附近的相軌跡是一族封閉橢圓曲線，這類奇點稱為中心點。無阻尼二階線性系統(tǒng)的相軌跡第24頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三2、欠阻尼運動（01）

系統(tǒng)特征方程的根為一對具有負實部的共軛復根,系統(tǒng)的零輸入解為

式中,A、B、為由初始條件確定的常數(shù)。時域響應過程是衰減振蕩的。

第25頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三可求出系統(tǒng)有一個位于相平面原點的平衡點（奇點），不同初始條件出發(fā)的相軌跡呈對數(shù)螺旋線收斂于該平衡點，這樣的奇點稱為穩(wěn)定焦點。欠阻尼二階線性系統(tǒng)的響應和相軌跡第26頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三3、過阻尼運動（＞1）系統(tǒng)特征根為兩負實根,已知系統(tǒng)零輸入解的表達式為

式中,A1,A2——初始條件決定的常數(shù)；1,2——特征根第27頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三不同初始條件下系統(tǒng)的響應曲線如圖所示。相軌跡是一族匯聚到原點的拋物線，單調(diào)地趨于平衡點(奇點)—坐標原點，如圖所示。這種奇點稱為穩(wěn)定節(jié)點。

過阻尼二階線性系統(tǒng)的響應和相軌跡第28頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三4、負阻尼運動(<0)（系統(tǒng)不穩(wěn)定，根據(jù)極點位置分三種情況分別討論）

(l)-1＜＜0時,特征根為S右半平面的共軛復根,響應為振蕩發(fā)散,相軌跡是一族從原點向外卷的對數(shù)螺旋線,如圖所示。奇點為坐標原點,稱為不穩(wěn)定焦點。

-1＜＜0時的相軌跡第29頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三(2)

＜-1時，特征根是兩個正實根，響應為單調(diào)發(fā)散，相軌跡是一族從原點出發(fā)向外單調(diào)發(fā)散的拋物線，如圖所示。奇點為坐標原點，稱為不穩(wěn)定節(jié)點。

＜-1時的相軌跡第30頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三(3)對圖所示的正反饋二階系統(tǒng)

方框圖其特征方程式為特征根為第31頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三特殊情況：兩邊積分得：雙曲線方程特征根為一正，一負第32頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三特征根為一對符號相反的實根，響應依然單調(diào)發(fā)散的，相軌跡是一族雙曲線，如圖所示。這時的奇點也是坐標原點，稱為鞍點。相軌跡第33頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三以上分析表明，二階線性系統(tǒng)特征根在復平面上位置不同時，時域響應的形式不同，相軌跡的形狀也完全不同?？梢娤嘬壽E的形狀與系統(tǒng)閉環(huán)極點的位置密切相關(guān)，與奇點類型也密切相關(guān)。第34頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三根與相軌跡j0j0j0節(jié)點穩(wěn)定焦點中心不穩(wěn)定節(jié)點不穩(wěn)定焦點鞍點λ1j0λ2j0λ2λ1j0λ1λ235第35頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三第36頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三第37頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三7.3.3二階非線性系統(tǒng)的線性化對于非線性系統(tǒng)，描述二階非線性系統(tǒng)的微分方程為表示非線性系統(tǒng)的平衡點（奇點），它往往不止一個。第38頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三對于非線性系統(tǒng)，奇點類型與相軌跡的類型僅適用于奇點附近的區(qū)域。整個系統(tǒng)的相圖就可能由幾個不同類型的相軌跡組成。對于非線性系統(tǒng)奇點性質(zhì)分析，采用小范圍線性化的方法。假設(shè)奇點在坐標原點，將在奇點附近展開成泰勒級數(shù)，并取一次近似，第39頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三假若平衡點在坐標原點時得：第40頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三令：方程組可改寫為特征方程線性化方程組第41頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三在一般情況下，線性化方程在平衡點附近的相軌跡與非線性系統(tǒng)在平衡點附近的相軌跡具有同樣的形狀特征。但是，若線性化方程求解至少有一個根為零，根據(jù)李雅普諾夫小偏差理論，不能根據(jù)一階線性化方程確定非線性系統(tǒng)平衡點附近的特性，此時，平衡點附近的相軌跡要考慮高階項。第42頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三例：確定非線性系統(tǒng)的奇點及附近的相軌跡。解：令求得奇點（0，0），（-2，0）。第43頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三（1）奇點（0，0）線性化方程為特征根（0,0)奇點為穩(wěn)定焦點，其附近的相軌跡為收斂的對數(shù)螺旋線。（2）奇點（-2，0）奇點不在坐標原點，令，則原方程變?yōu)榈?4頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三線性化方程：特征根S1=-1.69，S2=1.19（-2，0）奇點為不穩(wěn)定的鞍點，相軌跡為雙曲線。第45頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三系統(tǒng)的相平面圖第46頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三對于非線性系統(tǒng)還有一種與線性系統(tǒng)不同的運動狀態(tài)---自持振蕩，它在相平面圖上表現(xiàn)為一條孤立封閉曲線，稱之為極限環(huán)或奇線。極限環(huán)附近的相軌跡都卷向極限環(huán)，或從極限環(huán)卷出。因此，極限環(huán)將相平面分成內(nèi)部平面和外部平面，極限環(huán)內(nèi)部（外部）的相軌跡，不能穿過極限環(huán)進入它的外部（內(nèi)部）。2.極限環(huán)（奇線）第47頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三分析極限環(huán)鄰近相軌跡的特點，可將極限環(huán)分成：（1）穩(wěn)定極限環(huán)：極限環(huán)內(nèi)部和外部的相軌跡均收斂于該極限環(huán)，穩(wěn)定極限環(huán)對應穩(wěn)定的自持振蕩。（2）不穩(wěn)定極限環(huán)：極限環(huán)內(nèi)部和外部的相軌跡均從該極限環(huán)發(fā)散出去，不穩(wěn)定極限環(huán)對應不穩(wěn)定的自持振蕩。第48頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三（3）半穩(wěn)定極限環(huán)：極限環(huán)內(nèi)部和外部的相軌跡有一側(cè)收斂于該極限環(huán)，而另一側(cè)的相軌跡從極限環(huán)發(fā)散出去，半穩(wěn)定極限環(huán)。穩(wěn)定的極限環(huán)可通過實驗觀察到。第49頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三7.3.4相軌跡圖的繪制繪制相軌跡圖可采用解析法、圖解法、實驗法和計算機輔助法。1．解析法解析法一般用于系統(tǒng)的微分方程比較簡單或可以用分段線性化的方程。例7-3試繪制圖7-15所示系統(tǒng)在三種情況下的

第50頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三分別對應平面上為開口向右，向左頂點在c軸上的兩條拋物線。位置與初始條件或另一個區(qū)域的相軌跡與開關(guān)線的交點有關(guān)。開關(guān)線是過坐標原點的直線，斜率與值有關(guān)。第51頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三1。當時，開關(guān)線為軸，相軌跡由兩個拋物線封閉組成，對應的運動是周期運動，如圖所示。第52頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三2。當時，開關(guān)線向右傾斜，位于1，3象限，相軌跡仍由兩個拋物線組成，但每次切換時，均增大，對應的運動是振蕩發(fā)散運動，如圖所示。第53頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三3。當時，開關(guān)線向左傾斜，位于2，4象限，相軌跡仍由兩個拋物線組成，但每次切換時，均減小，對應的運動是振蕩收斂運動，如圖所示。第54頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三1、等傾線法當系統(tǒng)相軌跡方程不易用解析法求解時,可使用等傾線法繪制系統(tǒng)的相軌跡。將上式表示為：對非線性系統(tǒng)：第55頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三其中，是相軌跡的斜率，令，為一常數(shù)，則有，上式稱為等傾線方程，各相軌跡與該曲線交點的斜率相等，且等于。第56頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三繪制思路：對于給定斜率，求解等傾線方程，得到一條等傾曲線。給定不同的值，可在相平面上繪制不同的等傾曲線。由給定的初始條件出發(fā)，沿各條等傾曲線所決定相軌跡的切線方向，依次畫出系統(tǒng)相軌跡。

第57頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三解：系統(tǒng)的微分方程可以化或令得等傾線方程取不同的值，分別繪制等傾線，等傾線為直線【例】線性二階系統(tǒng)的運動方程為試用等傾線法繪制系統(tǒng)的相軌跡。第58頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三圖中作出了取不同值時的等傾線及等傾線上表示斜率值的小線段。若給定的初始條件為A點,從A點出發(fā)順時針將各小線段光滑地聯(lián)接起來,就得到了從A點出發(fā)的一條相軌跡。繪制非線性系統(tǒng)相軌跡的圖解方法還有法等。系統(tǒng)相軌跡圖第59頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三7.3.5由相軌跡圖求時間相軌跡圖是系統(tǒng)的輸出響應或誤差響應在相平面上的映象，它雖然可以反映系統(tǒng)時間響應的主要特征，但不能直接顯示時間信息。如需要求出系統(tǒng)的時間響應，就必須確定相軌跡上各點對應的時間，可以采用以下兩種方法近似求取。1．根據(jù)相軌跡的平均斜率求時間t設(shè)系統(tǒng)的相軌跡如圖所示，設(shè)相軌跡由A點轉(zhuǎn)移到B點所需的時間為第60頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三故在此期間的平均值為：據(jù)此可求得相軌跡由A點轉(zhuǎn)移到B點所需的時間為第61頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三用同樣的方法可求出相軌跡由B點轉(zhuǎn)移到C點的時間，以次類推可得的曲線。

2．面積法求時間設(shè)系統(tǒng)的相軌跡如圖所示

第62頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三例：設(shè)恒溫箱動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，若要求溫度保持200度，恒溫箱由常溫20度啟動，試在相平面上作出溫度控制的相軌跡，并計算升溫時間。第63頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三第64頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三相應的相軌跡為直線，相軌跡在開關(guān)線上跳至另一條相軌跡。第65頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三第66頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三7.3.6非線性系統(tǒng)的相平面分析[例]圖為帶死區(qū)的繼電器的非線性系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)在靜止狀態(tài)下施加階躍信號r(t)=R·1(t)，試分析系統(tǒng)的動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性。第67頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三解：線性部分的微分方程為非線性部分的特性為第68頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三相平面取

，則有非線性方程轉(zhuǎn)化為三個線性微分方程，它們分別對應于相平面上I，II，III區(qū)。I區(qū)：對相平面的區(qū)域

I區(qū)相軌跡的等傾線方程為第69頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三I區(qū)內(nèi)相軌跡的等傾線為一系列平行于軸的直線。II區(qū)：對相平面的區(qū)域II區(qū)相軌跡的等傾線方程為II區(qū)內(nèi)相軌跡是斜率的直線或者是的直線。III區(qū)：對相平面的區(qū)域III區(qū)相軌跡的等傾線方程為III區(qū)內(nèi)相軌跡的等傾線為一系列平行于軸的直線

第70頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三假設(shè)T=1，K=5，a=0.2，M=0.2分別作出三個區(qū)域的等傾線如圖所示，由不同初始條出發(fā)作出系統(tǒng)的相軌跡如圖所示第71頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三7.4描述函數(shù)法7.4.1描述函數(shù)的定義設(shè)非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。在此假定：①非線性環(huán)節(jié)不是時間的函數(shù)；②非線性環(huán)節(jié)特性是斜對稱的；③系統(tǒng)的線性部分具有較好的低通濾波性能。第72頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性為

當非線性環(huán)節(jié)的輸入為正弦信號

非線性環(huán)節(jié)的輸出一般不是正弦信號，但仍是一個周期信號，其傅立葉級數(shù)展開式為第73頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三非線性環(huán)節(jié)的輸出信號y(t)中含有基波及各高次諧波。通常諧波的次數(shù)越高，其相應的傅立葉系數(shù)越小，即相應的諧波分量幅值就越小。如果系統(tǒng)線性部分G(s)具有良好的低通濾波特性，則高次諧波分量通過線性部分后將被衰減到忽略不計，可以近似認為當輸入為正弦信號x(t)時，只有y(t)的基波分量沿閉環(huán)反饋回路送至比較點，其高次諧波分量可忽略不計，即只考慮一次諧波，第74頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三非線性環(huán)節(jié)相當于一個對正弦輸入信號的幅值及相位進行變換的環(huán)節(jié)，可以仿照線性系統(tǒng)頻率特性的概念建立非線性環(huán)節(jié)的等效幅相特性。定義：正弦信號作用下非線性環(huán)節(jié)輸出量的基波分量與其輸入正弦量的復數(shù)比稱為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，記為N(A)，其數(shù)學表達式為第75頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三7.4.2典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)1.死區(qū)特性的描述函數(shù)輸出波形是單值奇對稱的，所以，并且第76頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三第77頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三2.理想繼電器特性的描述函數(shù)傅氏展開斜對稱、奇函數(shù)A0=An=0(偶次對稱性)第78頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三3.一般非線性

描述函數(shù)不僅適合于分段線性系統(tǒng)，也適合于一般非線性系統(tǒng)，只要能求出非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。我們舉一個例子:因為它是單值、奇對稱的，，先求出：

第79頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三所以

第80頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三飽和特性死區(qū)特性死區(qū)飽和特性常見非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)第81頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三7.4.3非線性系統(tǒng)的的簡化當系統(tǒng)由多個非線性環(huán)節(jié)和多個線性環(huán)節(jié)組合時，可通過等效變換，使系統(tǒng)簡化為典型的非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，如圖所示1．非線性環(huán)節(jié)的串聯(lián)若兩個非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，可采用作圖方法求得串聯(lián)后的等效非線性特性。如圖所示的兩個非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，求得等效后的非線性特性。第82頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三由圖可知，等效后的非線性為死區(qū)飽和特性

第83頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三參數(shù)的求取：

第84頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三2．非線性環(huán)節(jié)的并聯(lián)兩個非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)，則等效非線性特性為兩個非線性特性的疊加。如圖為死區(qū)非線性和死區(qū)繼電器非線性特性的并聯(lián)。第85頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三第86頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三7.4.4描述函數(shù)分析法

假設(shè)非線性系統(tǒng)的線性動態(tài)部分具有良好的低通特性，那么非線性特性可以用描述函數(shù)

1.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性根據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻率特性分析法，將頻率特性推廣到非線性系統(tǒng)，則其閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性為：

第87頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三系統(tǒng)的特征方程為：

假設(shè)G(s)是最小相位環(huán)節(jié)，與線性系統(tǒng)的Nyquist判據(jù)比較，非線性系統(tǒng)中的相當于線性系統(tǒng)中的臨界穩(wěn)定點（-1,j0)。

第88頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三(1)如果在復平面上，-1／N(A)曲線不被G(j)曲線所包圍，則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

第89頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三(2)如果在復平面上，-1／N(A)曲線被G(j)曲線所包圍，則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。

第90頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三(3)如果在復平面上-1／N(A)曲線與G(j)曲線相交，非線性系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，則在非線性系統(tǒng)中產(chǎn)生周期性振蕩（穩(wěn)定或不穩(wěn)定），穩(wěn)定自持振蕩的振幅由-1／N(A)曲線交點處對應的A值決定，振蕩的頻率由G(j)曲線交點處的值決定。第91頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三2.自持振蕩非線性系統(tǒng)的自持振蕩是在沒有外界輸入信號作用下，系統(tǒng)產(chǎn)生的具有固定頻率和振幅的穩(wěn)定的等幅運動。若滿足即系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩。如果不止一組參數(shù)滿足，則系統(tǒng)存在幾個等幅運動（穩(wěn)定或不穩(wěn)定的自持振蕩）。描述函數(shù)的負倒第92頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三當微小擾動使振幅A增大到c點時，

c點“(-1,j0)”被G(j)軌跡包圍， 系統(tǒng)不穩(wěn)定； 振幅A繼續(xù)增大； 不返回到a。當微小擾動使振幅A減小到d點，d點“(-1,j0)”未被G(j)軌跡包圍， 系統(tǒng)穩(wěn)定； 振幅A繼續(xù)減??； 不返回到a。a點為不穩(wěn)定自持振蕩點。分析法第93頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三當微小擾動使振幅A增大到e點時，

e點“(-1,j0)”未被G(j)軌跡包圍， 系統(tǒng)穩(wěn)定； 振幅A減??； 返回到b。當微小擾動使振幅A減小到f點，

f點“(-1,j0)”被G(j)軌跡包圍， 系統(tǒng)不穩(wěn)定； 振幅A增大； 返回到b。b點為穩(wěn)定自持振蕩點。第94頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三具有飽和特性的非線性系統(tǒng)A＝a時A∞時G1(j)軌跡不與負倒描述函數(shù)軌跡相交

不存在自持振蕩G2(j)軌跡與負倒描述函數(shù)軌跡相交b點:穩(wěn)定自振交點bAb3.非線性系統(tǒng)描述函數(shù)分析第95頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三具有死區(qū)特性的非線性系統(tǒng)A＝a時A∞時G1(j)軌跡不與負倒描述函數(shù)軌跡相交不存在自持振蕩G2(j)軌跡與負倒描述函數(shù)軌跡相交b點:不穩(wěn)定自振交點第96頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三具有理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)負倒描述函數(shù)軌跡為整個負實軸2）如有數(shù)個交點

必有穩(wěn)定的自振交點1）如只有一個交點

必為穩(wěn)定的自振交點第97頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三例如圖所示系統(tǒng)試求：①當K＝10時，該系統(tǒng)是否存在自持振蕩，如果存在則求出自持振蕩的振幅和頻率；②當K為何值時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界狀態(tài)。非線性飽和特性參數(shù)a=1、k=2第98頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三相交于穩(wěn)定自振交點mA＝a時A∞時負倒描述函數(shù)軌跡為實軸上（-0.5，-∞)。第99頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三a/A=0.24A=4.38A=4.38穩(wěn)定自振交點m:第100頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三臨界狀態(tài)下，軌跡在負實軸上的交點nK=3第101頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三例：非線性系統(tǒng)如圖所示，若T=0.25,試求系統(tǒng)自持振蕩時輸出振蕩的振幅和頻率。第102頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三第103頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三11.11.4122.32.5345610110-0.36-0.78-1.36-1.63-1.8-2.22-3.04-3.85-4.65-7.81-8.6第104頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三1.51.72.02.22.32.534567101215-5.56-4.33-3.13-2.58-2.36-2-1.39-0.78-0.5-0.35-0.26-0.13-0.09-0.061.30.570-0.2-0.27-0.36-0.46-0.47-0.42-0.37-0.33-0.24-0.2-0.16第105頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三由圖所示，兩條曲線交于A，B兩點，且B對應穩(wěn)定自持振蕩，參數(shù)X/h=1.1,w=12,所以自持振蕩幅值X=1.1，頻率w=12第106頁，共121頁，2023年，2月20日，星期三將振幅X折算到輸出端，考慮到第107頁，共121頁，20