一階線性微分方程_第1頁
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一階線性微分方程第一頁，共23頁。5.3.1一階線性齊次方程一階線性齊次方程為(利用分離變量法)齊次方程的通解為(5.12)第二頁，共23頁。例1求解初值問題：解方程寫成第三頁，共23頁。線性非齊次方程討論兩邊積分非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比5.2.3一階線性非齊次方程第四頁，共23頁。常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.實(shí)質(zhì):未知函數(shù)的變量代換.作變換積分得第五頁，共23頁。一階線性非齊次微分方程的通解為:對(duì)應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解即非齊次通解

=齊次通解

+非齊次特解——線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，是很優(yōu)良的性質(zhì)。通解y可以寫成兩部分之和：第六頁，共23頁。解方程變形為這里由公式，第七頁，共23頁。解方程變形為這是典型的一階線性方程，于是方程的通解為第八頁，共23頁。解求導(dǎo)，得OxxyP(x,y)A(1,1)如圖，依題意第九頁，共23頁。第十頁，共23頁。5.3.3可化為一階線性方程的方程—Bernoulli方程Bernoulli方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程為線性微分方程.

方程為非線性微分方程.解法:需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.第十一頁，共23頁。代入上式求出通解后，將代入即得第十二頁，共23頁。解方程可寫成方程化為第十三頁，共23頁。練習(xí)用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:解所求通解為第十四頁，共23頁。解分離變量法得所求通解為第十五頁，共23頁。解代入原式分離變量法得所求通解為另解這是關(guān)于x的一階線形微分方程。第十六頁，共23頁。利用變量代換將一個(gè)微分方程化為變量可分離的方程或化為已知其求解步驟的方程是求解微分方程的一種最常用的思想方法.如齊次方程、可化為齊次方程的方程、一階線性方程、Bernoulli方程等都是通過變量代換來求解方程的。將變換為也是經(jīng)?？梢钥紤]的方法.第十七頁，共23頁。解如圖，過P(x,y)的切線方程為第十八頁，共23頁。第十九頁，共23頁。第二十頁，共23頁。解用常數(shù)變易法求出另一個(gè)解.設(shè)是方程的

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