2012廣東高考熱點(diǎn)題型應(yīng)用題

PAGE4-廣東高考熱點(diǎn)題型聚焦(二)《應(yīng)用題》市教育局教研室廣東課標(biāo)高考三年來風(fēng)格特點(diǎn)“保持將統(tǒng)計中用抽樣樣本估計總體的思想與概率的數(shù)理分析有機(jī)地結(jié)合進(jìn)行考查”（文理差別較大）從改變風(fēng)格，體現(xiàn)創(chuàng)新，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，支持課改考慮應(yīng)用問題除關(guān)注《三角》應(yīng)用題外，結(jié)合廣東課標(biāo)高考（特別是理科）的實際后階段應(yīng)突出應(yīng)用問題的訓(xùn)練.對于基礎(chǔ)較好的理科生要突出函數(shù)、數(shù)列、不等式綜合的問題，強(qiáng)化指定選考科目（不等式選講）與數(shù)列、函數(shù)的綜合應(yīng)用.對于應(yīng)用問題，需進(jìn)一步梳理高中階段可作為應(yīng)用問題載體和工具類的知識.一．體現(xiàn)作為工具類的正、余弦定理在測量中的應(yīng)用（見《三角》部分）二．體現(xiàn)作為工具作用的不等式（導(dǎo)數(shù)）在最值中的應(yīng)用a米a米b米x米y米1．?；~塘是廣東省珠江三角洲一種獨(dú)具地方特色的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)形式，某研究單位打算開發(fā)一個桑基魚塘項目,該項目準(zhǔn)備購置一塊占地平方米的矩形地塊,中間挖成三個矩形池塘養(yǎng)魚,挖出的泥土堆在池塘四周形成基圍(陰影部分所示)種植桑樹,魚塘周圍的基圍寬均為米,如圖所示,池塘所占面積為平方米，其中.(Ⅰ)試用表示；(Ⅱ)若要使最大，則的值各為多少？1.解:(Ⅰ)由題可得：，則………2分………6分(Ⅱ)方法一:………11分當(dāng)且僅當(dāng),即時,取得最大值.……14分方法二:………………11分當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,取得最大值.此時.……14分方法三:設(shè)…………………8分……9分令得當(dāng)時,,當(dāng)時,.∴當(dāng)時,取得最大值.此時.…………14分2．甲、乙兩公司同時開發(fā)同一種新產(chǎn)品，經(jīng)測算，對于函數(shù)f(x),g(x)以及任意的，當(dāng)甲公司投入x萬元作宣傳時，若乙公司投入的宣傳費(fèi)小于f(x)萬元，則乙公司對這一新產(chǎn)品的開發(fā)有失敗的風(fēng)險，否則沒有失敗的風(fēng)險；當(dāng)乙公司投入x萬元作宣傳時，若甲公司投入的宣傳費(fèi)小于g(x)萬元，則甲公司對這一新產(chǎn)品的開發(fā)有失敗的風(fēng)險，否則沒有失敗的風(fēng)險.（Ⅰ）試解釋f(0)=10,g(0)=20的實際意義；（Ⅱ）設(shè)f(x)=x+10,g(x)=,甲、乙兩公司為了避免惡性競爭，經(jīng)過協(xié)商，同意在雙方均無失敗風(fēng)險的情況下盡可能少地投入宣傳費(fèi)用，問甲、乙兩公司各應(yīng)投入多少宣傳費(fèi)？解：（Ⅰ）f(0)=10表示當(dāng)甲公司不投入宣傳費(fèi)時，乙公司要避免新產(chǎn)品的開發(fā)有失敗的風(fēng)險，至少要投入10萬元宣傳費(fèi).g(0)=20表示當(dāng)乙公司不投入宣傳費(fèi)時，甲公司要避免新產(chǎn)品的開發(fā)有失敗的風(fēng)險，至少要投入20萬元宣傳費(fèi).…………3分（Ⅱ）設(shè)甲公司投入宣傳費(fèi)x萬元，乙公司投入宣傳費(fèi)y萬元，…4分依題意，當(dāng)且僅當(dāng)時，雙方均無失敗的風(fēng)險.…8分由(1)、（2）得……………10分即左邊因式分解得：…………………12分答:在雙方均無失敗風(fēng)險的情況下，甲公司至少要投入24萬元，乙公司至少要投入16萬元.……13分3．某旅館有相同標(biāo)準(zhǔn)的床鋪100張，根據(jù)經(jīng)驗，當(dāng)旅館的床價（即每床每天的租金）不超過10元時，床位可以全部租出，當(dāng)床價高于10元，每提高1元，將有3張床空置。旅館定價條件是：⑴床價為1元的整數(shù)倍；⑵該旅館每天支出為575元，床位出租收入必須高于支出。若用表示床價，表示每天出租床位的凈收入（即除去每天支出后的收入）．①把表示成的函數(shù)，并求出其定義域；②如何定價，該旅館每天凈收入最多？解：①依題意，，所以，當(dāng)時，；（2）基于圖形基礎(chǔ)上建模參考題：有三個生活小區(qū),分別位于三點(diǎn)處，且，.今計劃合建一個變電站，為同時方便三個小區(qū)，準(zhǔn)備建在的垂直平分線上的點(diǎn)處，建立坐標(biāo)系如圖，且.(Ⅰ)若希望變電站到三個小區(qū)的距離和最小，點(diǎn)應(yīng)位于何處？(Ⅱ)若希望點(diǎn)到三個小區(qū)的最遠(yuǎn)距離為最小，點(diǎn)應(yīng)位于何處？ 解：在中,,則……1分（Ⅰ）方法一、設(shè)(),點(diǎn)到的距離之和為…5分,令即,又,從而當(dāng)時,;當(dāng)時,.∴當(dāng)時,取得最小值此時,即點(diǎn)為的中點(diǎn).……8分方法二、設(shè)點(diǎn),則到的距離之和為,求導(dǎo)得……5分由即,解得當(dāng)時,;當(dāng)時,∴當(dāng)時,取得最小值,此時點(diǎn)為的中點(diǎn).……8分（Ⅱ）設(shè)點(diǎn),則,點(diǎn)到三點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為①若即,則;②若即,則;∴……11分當(dāng)時,在上是減函數(shù),∴當(dāng)時,在上是增函數(shù),∴∴當(dāng)時,,這時點(diǎn)在上距點(diǎn).……14分（3）基于給出含參函數(shù)上的建模參考題：某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線，但需要經(jīng)環(huán)保部門審批同意方可投入生產(chǎn)，已知該廠連續(xù)生產(chǎn)個月的累計產(chǎn)量為噸，但如果產(chǎn)量超過96噸，將會給環(huán)境造成危害.（1）請你代表環(huán)保部門給廠擬定最長的生產(chǎn)周期；（2）若該廠在環(huán)保部門的規(guī)定下生產(chǎn)，但需要每月交納萬元的環(huán)保稅，已知每噸產(chǎn)品售價萬元，第個月的工人工資為萬元，若每月都贏利，求出的范圍.解：（1）第個月的月產(chǎn)量=.，.令（2）若每月都贏利，則恒成立.即恒成立，令所以.從延續(xù)風(fēng)格，強(qiáng)調(diào)穩(wěn)定考慮最后階段要進(jìn)一加強(qiáng)對概率與統(tǒng)計的梳理，重點(diǎn)解決：）統(tǒng)計中的圖表及其含義，能作統(tǒng)計圖表；（2）落實統(tǒng)計中樣本估計總體數(shù)字特征及其含義；（3）理科重在超幾何分布、二項分布及其期望，文科重在概率思想及概率計算公式以及幾何概型；（4）結(jié)合統(tǒng)計案例的要求，關(guān)注教材中的典型的例、習(xí)題.文科參考題目：1.“根據(jù)《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定：車輛駕駛員血液酒精濃度在20—80mg/100ml（不含80）之間，圖甲屬于酒后駕車，血液酒精濃度在80mg/100ml（含80）以上時，屬醉酒駕車．”圖甲2009年8月15日晚8時開始某市交警一隊在該市一交通崗前設(shè)點(diǎn)對過往的車輛進(jìn)行抽查，經(jīng)過兩個小時共查出酒后駕車者60名，圖甲是用酒精測試儀對這60名酒后駕車者血液中酒精濃度進(jìn)行檢測后依所得結(jié)果畫出的頻率分布直方圖．（1）求這60名酒后駕車者中屬醉酒駕車的人數(shù)；（圖甲中每組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)）圖乙（2）統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，圖乙的程序框圖是對這60名酒后駕車者血液的酒精濃度做進(jìn)一步的統(tǒng)計，求出圖乙輸出的S值，并說明S的統(tǒng)計意義；（圖乙中數(shù)據(jù)與分別表示圖甲中各組的組中值及頻率）圖乙（3）本次行動中，吳、李兩位先生都被酒精測試儀測得酒精濃度屬于70－80的范圍，但他倆堅稱沒喝那么多，是測試儀不準(zhǔn)，交警大隊陳隊長決定在被酒精測試儀測得酒精濃度屬于70－80范圍的酒后駕車者中隨機(jī)抽出2人抽血檢驗，求吳、李兩位先生至少有1人被抽中的概率．解：（1）依題意知醉酒駕車者即血液酒精濃度在80mg/100ml（含80）以上者，由圖甲知，共有（人）（2）由圖乙知輸出的＝＝47（mg/100ml）S的統(tǒng)計意義為60名酒后駕車者血液的酒精濃度的平均值。（3）酒精濃度屬于70－80的范圍的人數(shù)為設(shè)除吳、李兩位先生外其他7人分別為a、b、c、d、e、f、g，則從9人中抽出2人的一切可能的結(jié)果組成的基本事件如下：（吳，李），（吳，a），（吳，b），（吳，c），（吳，d），（吳，e），（吳，f），（吳，g），（李，a），（李，b），（李，c），（李，d），（李，e），（李，f），（李，g），（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（a，g），（b,c），(b,d)，(b,e)，(b,f)，(b,g)，(c,d)，(c,e)，(c,f)，(c,g)，(d,e)，(d,f)，(d,g)，(e,f)，(e,g)，(f,g)共36種．用表示李、吳兩位先生至少有1人被抽中這一事件，則所含的基本事件數(shù)為15，故．2．某園林局對1000株樹木的生長情況進(jìn)行調(diào)查，其中槐樹600株，銀杏樹400株.現(xiàn)用分層抽樣方法從這1000株樹木中隨機(jī)抽取100株，其中銀杏樹樹干周長(單位:cm)的抽查結(jié)果繪成頻率分布直方圖如右：（直方圖中每個區(qū)間僅包含左端點(diǎn)）（1）求直方圖中的值;（2）若已知樹干周長在30cm至40cm之間的4株銀杏樹中有1株患有蟲害,現(xiàn)要對這4株樹逐一進(jìn)行排查直至找出患蟲害的樹木為止.求排查的樹木恰好為2株的概率.解：（1）因為用分層抽樣方法從這1000株樹木中隨機(jī)抽取100株，所以應(yīng)該抽取銀杏樹株3分由直方圖可得銀杏樹樹干周長在、、分別有4、18、6株，所以樹干周長在有40－＝12株，所以5分（2）記這4株樹為，且不妨設(shè)為患蟲害的樹，記恰好在排查到第二株時發(fā)現(xiàn)患蟲害樹為事件A，則A是指第二次排查到的是7分因為求恰好在排查到第二株時發(fā)現(xiàn)患蟲害樹的概率，所以基本事件為：共計12個基本事件10分而事件Ａ中包含的基本事件有3個所以恰好在排查到第二株時發(fā)現(xiàn)患蟲害的概率12分3.在“家電下鄉(xiāng)”活動中，某品牌家電廠家從某地購買該品牌家電的用戶中隨機(jī)抽取20名用戶進(jìn)行滿意度調(diào)查.設(shè)滿意度最低為0，最高為10，抽查結(jié)果統(tǒng)計如下：滿意度分組用戶數(shù)12458（I）完成下列頻率分布直方圖：（II）估計這20名用戶滿意度的中位數(shù)（寫出計算過程）；（III）設(shè)第四組（即滿意度在區(qū)間內(nèi)）的5名用戶的滿意度數(shù)據(jù)分別為：，先從中任取兩名不同用戶的滿意度數(shù)據(jù)、，求的概率.解：（I）頻率分布直方圖如下圖：（II）各組頻率依次為：，∵，而，∴中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，設(shè)為，則有:，解之得，即中位數(shù)為.（III）基本事件共有10個，即，.其中滿足的有7個（除外），從而的概率為.4.某地區(qū)教研部門要對高三期中數(shù)學(xué)練習(xí)進(jìn)行調(diào)研，考察試卷中某道填空題的得分情況.已知該題有兩空，第一空答對得3分，答錯或不答得0分；第二空答對得2分，答錯或不答得0分.第一空答對與否與第二空答對與否是相互獨(dú)立的.從所有試卷中隨機(jī)抽取1000份試卷，其中該題的得分組成容量為1000的樣本，統(tǒng)計結(jié)果如下表：第一空得分情況第二空得分情況得分03得分02人數(shù)198802人數(shù)698302（Ⅰ）求樣本試卷中該題的平均分，并據(jù)此估計這個地區(qū)高三學(xué)生該題的平均分；（Ⅱ）這個地區(qū)的一名高三學(xué)生因故未參加考試，如果這名學(xué)生參加考試，以樣本中各種得分情況的頻率（精確到0.1）作為該同學(xué)相應(yīng)的各種得分情況的概率.試求該同學(xué)這道題第一空得分不低于第二空得分的概率.解：（Ⅰ）設(shè)樣本試卷中該題的平均分為，則由表中數(shù)據(jù)可得: ，據(jù)此可估計這個地區(qū)高三學(xué)生該題的平均分為3.01分.（Ⅱ）依題意，第一空答對的概率為0.8，第二空答對的概率為0.3，記“第一空答對”為事件，“第二空答對”為事件，則“第一空答錯”為事件，“第二空答錯”為事件.若要第一空得分不低于第二空得分，則發(fā)生或與同時發(fā)生，故有： .答：該同學(xué)這道題第一空得分不低于第二空得分的概率為0.94.5.為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對本班50人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：喜愛打籃球不喜愛打籃球合計男生5女生10合計５０已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為．（1）請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；（2）是否有99.5％的把握認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)？說明你的理由；（3）已知喜愛打籃球的10位女生中，還喜歡打羽毛球，還喜歡打乒乓球，還喜歡踢足球，現(xiàn)再從喜歡打羽毛球、喜歡打乒乓球、喜歡踢足球的女生中各選出1名進(jìn)行其他方面的調(diào)查，求和不全被選中的概率．下面的臨界值表供參考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(參考公式：，其中)解：(1)列聯(lián)表補(bǔ)充如下：3分喜愛打籃球不喜愛打籃球合計男生２０５２５女生１０１５２５合計３０２０５０（2）∵5分∴有99.5％的把握認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān).6分（3）從10位女生中選出喜歡打羽毛球、喜歡打乒乓球、喜歡踢足球的各1名，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件如下：，，，，，，，，，，，基本事件的總數(shù)為30，9分用表示“不全被選中”這一事件，則其對立事件表示“全被選中”這一事件，由于由,5個基本事件組成，所以，11分由對立事件的概率公式得.12分6．已知向量，．（Ⅰ）若，分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次時第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足的概率；（Ⅱ）若，求滿足的概率．解：（1）設(shè)表示一個基本事件，則拋擲兩次骰子的所有基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），……，（6，5），（6，6），共36個．……2分用表示事件“”，即.……………3分則包含的基本事件有（1，1），（3，2），（5，3），共3個．…………5分∴．………6分（2）用表示事件“”，即.……7分試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為，………8分構(gòu)成事件的區(qū)域為，如圖所示．…………10分所以所求的概率為．……………12分理科參考題目：1．某射擊運(yùn)動員為爭取獲得2010年廣州亞運(yùn)會的參賽資格正在加緊訓(xùn)練.已知在某次訓(xùn)練中他射擊了槍，每一槍的射擊結(jié)果相互獨(dú)立，每槍成績不低于10環(huán)的概率為，設(shè)為本次訓(xùn)練中成績不低于10環(huán)的射擊次數(shù)，的數(shù)學(xué)期望，方差.（1）求的值；（2）訓(xùn)練中教練要求：若有5槍或5槍以上成績低于10環(huán)，則需要補(bǔ)射，求該運(yùn)動員在本次訓(xùn)練中需要補(bǔ)射的概率.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示.已知：，）解：（1）依題意知，服從二項分布∴①2分又②4分由①②聯(lián)立解得：6分（2）依題意知的可能取值為：0，1，…，10∵（）7分∴＝9分＝10分＝＝＝.∴該運(yùn)動員在本次訓(xùn)練中需要補(bǔ)射的概率為.12分2．五一節(jié)期間，某商場為吸引顧客消費(fèi)推出一項優(yōu)惠活動．活動規(guī)則如下：消費(fèi)額每滿100元可轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤一次，并獲得相應(yīng)金額的返券．（假定指針等可能地停在任一位置,指針落在區(qū)域的邊界時，重新轉(zhuǎn)一次）指針?biāo)诘膮^(qū)域及對應(yīng)的返劵金額見右上表．例如：消費(fèi)218元，可轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和．（1）已知顧客甲消費(fèi)后獲得n次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機(jī)會，已知他每轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤指針落在區(qū)域邊界的概率為，每次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的結(jié)果相互獨(dú)立，設(shè)為顧客甲轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤指針落在區(qū)域邊界的次數(shù)，的數(shù)學(xué)期望,標(biāo)準(zhǔn)差，求、的值；（2）顧客乙消費(fèi)280元，并按規(guī)則參與了活動，他獲得返券的金額記為（元)．求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）依題意知，服從二項分布∴①1分又②2分由①②聯(lián)立解得：4分（2）設(shè)指針落在A,B,C區(qū)域分別記為事件A,B,C.則.由題意得，該顧客可轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次.隨機(jī)變量的可能值為0，30，60，90，120.5分10分所以，隨機(jī)變量的分布列為：0306090120其數(shù)學(xué)期望12分3．為考察某種甲型H1N1疫苗的效果，進(jìn)行動物試驗，得到如右丟失數(shù)據(jù)的列聯(lián)表：設(shè)從沒服疫苗的動物中任取兩只，未感