高等數(shù)學(xué) 隱函數(shù)

第四節(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、相關(guān)變化率機動目錄上頁下頁返回結(jié)束隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)

相關(guān)變化率

第二章一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程可確定y是

x的函數(shù),由表示的函數(shù),稱為顯函數(shù).例如,可確定顯函數(shù)可確定y是x的函數(shù),但此隱函數(shù)不能顯化.函數(shù)為隱函數(shù)

.則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法:兩邊對

x

求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù)的方程)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1求方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：方程兩邊分別對

x

求導(dǎo)數(shù)，所以例2.求由方程在x=0

處的導(dǎo)數(shù)解:

方程兩邊對

x

求導(dǎo)得因x=0時y=0,故確定的隱函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并求出寫出通過曲線上點的切線方程.解：方程兩邊對

x

求導(dǎo)解出得將代入得解得所以點的切線方程為即例4.求橢圓在點處的切線方程.解:

橢圓方程兩邊對

x

求導(dǎo)故切線方程為即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.求由方程二階導(dǎo)數(shù)。確定的隱函數(shù)的機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解：方程兩邊分別對

x

求導(dǎo)數(shù)，所以機動目錄上頁下頁返回結(jié)束練：求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束對數(shù)求導(dǎo)法：

對冪指函數(shù)和某些復(fù)雜的根式或分式用此法求導(dǎo)簡便些.1)對冪指函數(shù)都可導(dǎo).兩邊取對數(shù)(化成了隱函數(shù)),然后按隱函數(shù)求導(dǎo)法求出的導(dǎo)數(shù).即例6.求的導(dǎo)數(shù).解:兩邊取對數(shù),化為隱式兩邊對x

求導(dǎo)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2)有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便.例如,兩邊取對數(shù)兩邊對

x求導(dǎo)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.設(shè)

對x

求導(dǎo)兩邊取對數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束求導(dǎo)數(shù)。機動目錄上頁下頁返回結(jié)束練習(xí)設(shè)求解：兩邊取對數(shù)得方程兩邊分別對

x

求導(dǎo)數(shù)，二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程可確定一個

y

與

x之間的函數(shù)可導(dǎo),且則時,有時,有(此時看成x

是

y的函數(shù))關(guān)系,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束若上述參數(shù)方程中二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù).利用新的參數(shù)方程,可得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例8已知橢圓的直角坐標(biāo)方程為求及寫出橢圓的參數(shù)方程；解：橢圓的參數(shù)方程為：為求列出參數(shù)方程：例9.已知橢圓的參數(shù)方程為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束求橢圓在相應(yīng)的點處的切線方程。解:當(dāng)時，橢圓上的對應(yīng)點為此點切線斜率為：切線方程為：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例10設(shè)曲線方程為當(dāng)時所對應(yīng)的點與法線方程；解：求曲線處的切線方程看成為是如果把曲線的函數(shù)，求點的坐標(biāo)為：點切線斜率為：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束處的即切線方程為:即法線方程為:看成為是如果把曲線的函數(shù)，則例11.拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時刻t

的運動速度的大小和方向.解:

先求速度大小:速度的水平分量為垂直分量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線方向):設(shè)

為切線傾角,則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束拋射體軌跡的參數(shù)方程速度的水平分量垂直分量在剛射出(即t=0)時,傾角為達(dá)到最高點的時刻高度落地時刻拋射最遠(yuǎn)距離速度的方向機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例12

求由擺線所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。解:例13.設(shè),且求解:練習(xí):P112題8(1)解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例14

設(shè)由方程確定函數(shù)求解:

方程組兩邊對t

求導(dǎo),得故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

三、相關(guān)變化率為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對

t求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例15.一氣球從離開觀察員500m

處離地面鉛直上升,其速率為當(dāng)氣球高度為500m

時,觀察員視線的仰角增加率是多少?解:

設(shè)氣球上升t

分后其高度為h,仰角為

,則兩邊對t求導(dǎo)已知

h=500m時,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考題:當(dāng)氣球升至500m

時停住,有一觀測者以100m／min

的速率向氣球出發(fā)點走來,當(dāng)距離為500m時,仰角的增加率是多少?提示:對t求導(dǎo)已知求機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

作業(yè)：

P111—1121(3);2；

3(4)

；4（2）;

7(1);