2017年高考數(shù)學(xué)真題及答案解析（全國1卷理科）

絕密★啟用前2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）.A.B.C.D.2.如圖所示，正方形內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（）.A.B.C.D.3.設(shè)有下面四個(gè)命題若復(fù)數(shù)滿足，則；若復(fù)數(shù)滿足，則；若復(fù)數(shù)滿足，則；若復(fù)數(shù)，則.其中的真命題為（）.A.B.C.D.4.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則的公差為（）.A．1 B．2 C．4 D．85．函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是（）.A． B． C． D．6.展開式中的系數(shù)為（）.A.B.C.D.7.某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為（）.A.B.C.D.8.右面程序框圖是為了求出滿足的最小偶數(shù)，那么在和兩個(gè)空白框中，可以分別填入（）.A.和B.和C.和D.和9.已知曲線，，則下面結(jié)正確的是（）.A.把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線B.把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度，得到曲線C.把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線D.把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線10.已知為拋物線的焦點(diǎn)，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于，兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）.A．B．C．D．11.設(shè)，，為正數(shù)，且，則（）.A．B．C．D．12.幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們退出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是，接下來的兩項(xiàng)是，，再接下來的三項(xiàng)是，，，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)且該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是（）.A. B. C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，的夾角為，，，則.14.設(shè)x，y滿足約束條件，則的最小值為.15.已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑做圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn).若，則的離心率為________.16.如圖所示，圓形紙片的圓心為O，半徑為，該紙片上的等邊三角形的中心為.，，為圓上的點(diǎn)，，，分別是以，，為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以，，為折痕折起，，，使得，，重合，得到三棱錐.當(dāng)?shù)倪呴L變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：）的最大值為_______.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：60分.17.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知的面積為（1）求；（2）若，，求的周長.18.如圖所示，在四棱錐中，，且(1)證明：平面平面；(2)若，，求二面角的余弦值.19.為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取個(gè)零件，并測量其尺寸（單位：）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布．（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)抽取的個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．（ⅰ）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的個(gè)零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得，，其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸，．用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和（精確到）．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．20.已知橢圓，四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上.（1）求的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于，兩點(diǎn).若直線與直線的斜率的和為，證明：過定點(diǎn).21.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22．選修4-4，坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為.（1）若，求與的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若上的點(diǎn)到的距離的最大值為，求.23.選修4—5：不等式選講已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含，求的取值范圍.

2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國I卷）理科數(shù)學(xué)1.解析，，所以，.故選A.2.解析設(shè)正方形邊長為，則圓半徑為，則正方形的面積為，圓的面積為，圖中黑色部分的概率為，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率為.故選B.3.解析設(shè)，則，得到，所以.故正確；若，滿足，而，不滿足，故不正確；若，，則，滿足，而它們實(shí)部不相等，不是共軛復(fù)數(shù)，故不正確；實(shí)數(shù)沒有虛部，所以它的共軛復(fù)數(shù)是它本身，也屬于實(shí)數(shù)，故正確.故選B.4.解析，，聯(lián)立求得，得，即，所以.故選C.5.解析因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，于是等價(jià)于又在單調(diào)遞減，所以，所以.故選D.6.解析，對的項(xiàng)系數(shù)為，對的項(xiàng)系數(shù)為，所以的系數(shù)為.故選C.7.解析由三視圖可畫出立體圖，該立體圖平面內(nèi)只有兩個(gè)相同的梯形的面，.故選B.8.解析因?yàn)橐蟠笥?000時(shí)輸出，且框圖中在“否”時(shí)輸出所以“”中不能輸入，排除A，B.又要求為偶數(shù)，且初始值為0，“”中依次加2可保證其為偶.故選D.9.解析，，首先曲線、統(tǒng)一為一三角函數(shù)名，可將用誘導(dǎo)公式處理．．橫坐標(biāo)變換需將變成，即．注意的系數(shù)，在右平移需將提到括號外面，這時(shí)平移至，根據(jù)“左加右減”原則，“”到“”需加上，即再向左平移．故選D.10.解析設(shè)傾斜角為．作垂直準(zhǔn)線，垂直軸，易知，所以，同理，，所以.又與垂直，即的傾斜角為，.而，即．所以，當(dāng)取等號，即最小值為.故選A.11.解析取對數(shù)：，，所以，，則，所以，所以.故選D.12.解析設(shè)首項(xiàng)為第1組，接下來兩項(xiàng)為第2組，再接下來三項(xiàng)為第3組，以此類推．設(shè)第組的項(xiàng)數(shù)為，則組的項(xiàng)數(shù)和為，由題意得，，令→且，即出現(xiàn)在第13組之后第組的和為，組總共的和為，若要使前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，則項(xiàng)的和應(yīng)與互為相反數(shù)，即，→，則.故選A.13.解析，所以.14.解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，由得，求的最小值，即求直線的縱截距的最大值，當(dāng)直線過圖中點(diǎn)時(shí)，縱截距最大，由解得點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí).15.解析如圖所示，，，因?yàn)?，所?所以，又因?yàn)?，所以，解?所以.16.解析由題，聯(lián)結(jié)，交與點(diǎn)，由題，，，即的長度與的長度或成正比，設(shè)，則，，三棱錐的高，，則.令，，，令，即，，則，則，所以體積最大值為.17.分析本題主要考查三角函數(shù)及其變換，正弦定理，余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用.解析（1）因?yàn)槊娣e.且，所以，所以，因?yàn)橛烧叶ɡ淼?，由?（2）由（1）得，，因?yàn)?，所以又因?yàn)椋?，?由余弦定理得①由正弦定理得，，所以②由①②得，所以，即周長為.18.解析（1）證明：因?yàn)椋裕?又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，、平面所以平面，又平面，所以平面平面?）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，，因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所?由（1）知，平面，所以平面，又、平面，所以，.又因?yàn)?，所以，所以、、兩兩垂直，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，所以，，，，所以，，設(shè)為平面的法向量，由，得.令，則，，可得平面的一個(gè)法向量.因?yàn)椋?，又知平面，平面，所以，又，所以平面，即是平面的一個(gè)法向量，所以.由圖知二面角為鈍角，所以它的余弦值為.19.解析（1）由題可知尺寸落在之內(nèi)的概率為，落在之外的概率為．，，由題可知，所以.（2）（i）尺寸落在之外的概率為，由正態(tài)分布知尺寸落在之外為小概率事件，因此上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法合理．（ii），，，因?yàn)?，所以需對?dāng)天的生產(chǎn)過程檢查．因此剔除，剔除數(shù)據(jù)之后：．.所以.20.解析（1）根據(jù)橢圓對稱性，必過，，又橫坐標(biāo)為1，橢圓必不過，所以過三點(diǎn).將代入橢圓方程得，解得，所以橢圓的方程為：．（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)，，得，此時(shí)過橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿足．當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，，聯(lián)立，整理得，，，則，又，此時(shí)，存在使得成立．所以直線的方程為.當(dāng)時(shí)，，所以過定點(diǎn)．21.解析（1）由于，故.當(dāng)時(shí)，，．從而恒成立．在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，令，從而，得．極小值綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)減，故在上至多一個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件．當(dāng)時(shí)，．令．令，則．從而在上單調(diào)增，而．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)．當(dāng)時(shí)若，則，故恒成立，從而無零點(diǎn)，不滿足條件．若，則，故僅有一個(gè)實(shí)根，不滿足條件．若，則，注意到．．故在上有一個(gè)實(shí)根，而又．且．故在上有一個(gè)實(shí)根．又在上單調(diào)減，在單調(diào)增，故在上至多兩個(gè)