第二章數(shù)學(xué)模型微分方程

第二章數(shù)學(xué)模型微分方程第一頁，共100頁。

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立、分類、應(yīng)用等有關(guān)問題作一般性的（概括性）討論，為后續(xù)各章的系統(tǒng)分析奠定基礎(chǔ)。

二.控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的分類及形式分為：靜態(tài)（導(dǎo)數(shù)為零）的和動態(tài)（導(dǎo)數(shù)不為零）的模型,下面為動態(tài)的數(shù)學(xué)模型為主。1、時(shí)域模型包括：微分方程（線性，非線性），狀態(tài)空間方程（狀態(tài)空間模型），（系統(tǒng)中各個變量都是時(shí)間t的函數(shù)）2.1引言一.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型——描述系統(tǒng)中各變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式（方程、圖）。數(shù)學(xué)模型是系統(tǒng)分析過程和系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程的重要基礎(chǔ),有了數(shù)學(xué)模型才可能對系統(tǒng)特性作定量分析、評價(jià)。第二頁，共100頁。例如：微分方程例如狀態(tài)方程例RLC電路輸入:u(t)輸出:uc(t)解列方程改寫為RCL第三頁，共100頁。

2、S域模型（傳遞函數(shù)）包括：系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)（經(jīng)典控制論的核心模型）、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖(方塊圖)、信號流圖圖2－1S域模型及信號流圖3.信號流圖第四頁，共100頁。4.頻率特性（幅頻特性，相頻特性）也是一種數(shù)學(xué)模型。三.數(shù)學(xué)建模方法1分析法（解析法（機(jī)理分析法））——對系統(tǒng)各部分的運(yùn)動機(jī)理進(jìn)行分析，根據(jù)它們所依據(jù)的物理規(guī)律或化學(xué)規(guī)律分別寫相應(yīng)的運(yùn)動方程（由工作模型導(dǎo)出數(shù)學(xué)模型），即變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。2實(shí)驗(yàn)法（系統(tǒng)辨識方法）——對系統(tǒng)加入適當(dāng)?shù)臏y試（激勵）信號，記錄輸出響應(yīng)，再用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)關(guān)系模擬其特性。實(shí)驗(yàn)方法適用于復(fù)雜、非常見的系統(tǒng)。四.數(shù)學(xué)模型的簡化性和精確性第五頁，共100頁。

一個物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型不是唯一的。數(shù)學(xué)模型是在一定的條件下，根據(jù)具體問題的要求建立的，是有一定針對性和局限性的，都是有一定近似性的。因此，使用數(shù)學(xué)模型要注意其前提條件和局限性。要合理選擇和應(yīng)用不同的模型。

例

電阻模型圖2－2電阻模型第六頁，共100頁。2.2系統(tǒng)的微分方程的建立方法一、微分方程的建立的一般方法步驟：1.分析各元件的工作原理，確定系統(tǒng)輸入變量、輸出變量；2.根據(jù)基本定律列原始方程；3.消去中間變量,得輸入、輸出微分方程；4.微分方程標(biāo)準(zhǔn)化，均按微分級階次從大到小排列。

左邊（輸出變量）=右邊（輸入變量）

第七頁，共100頁。微分方程的一般形式式中

r(t)：輸入量

c(t)：輸出量

ai，bj：常量

m、n：輸入量、輸出量導(dǎo)數(shù)的最高階次第八頁，共100頁。這是一個線性定常二階微分方程?？刂葡到y(tǒng)的微分方程①②[解]：據(jù)基爾霍夫電路定理：[例1]：寫出RLC串聯(lián)電路的微分方程。由②：，代入①得：這是所謂時(shí)間常數(shù)形式的微分方程。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的建立方法舉例RCL第九頁，共100頁。2.2系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立方法二、單個部件的數(shù)學(xué)模型（輸入變量和輸出變量之間的關(guān)系）1.比較器y=v1-v22.放大器y=k*v3.電阻v=R*i4.電感

5.電容

6.電位器按長度計(jì)算,或者按旋轉(zhuǎn)角度計(jì)算7發(fā)電機(jī)第十頁，共100頁。圖2－3電樞控制直流電動機(jī)原理圖電樞控制直流電動機(jī)將輸入的電能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能，拖動負(fù)載運(yùn)動：直流電動機(jī)運(yùn)動方程滿足三個方程式：1.)電樞回路電壓平衡方程：8.電動機(jī)2-1第十一頁，共100頁。2.)電磁轉(zhuǎn)矩方程的轉(zhuǎn)矩：扭轉(zhuǎn)力矩，由電流引起3.)電動機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程:轉(zhuǎn)動角頻率導(dǎo)數(shù)由電流或電壓產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)動力矩負(fù)載力矩由以上三式消去中間變量:2-32-2第十二頁，共100頁。工程應(yīng)用中，電樞電路電感較小，通常忽略不計(jì)式中是電動機(jī)機(jī)電時(shí)間常數(shù)K1和k2是電動機(jī)傳遞系數(shù)如果電樞電阻和電動機(jī)的轉(zhuǎn)動慣量都很小，可忽略時(shí)，還可以簡化為電動機(jī)數(shù)學(xué)模型輸出變量輸入變量

可見,數(shù)學(xué)模型是由系統(tǒng)結(jié)構(gòu),元件參數(shù)以及基本運(yùn)動規(guī)律所決定的。第十三頁，共100頁。根據(jù)牛頓定理，可列出質(zhì)量塊的力平衡方程如下：mfF圖1mF圖2這也是一個二階定常微分方程。X為輸出量，F(xiàn)為輸入量。在國際單位制中，m、f和k的單位分別為：控制系統(tǒng)的微分方程[例2-2]求彈簧-質(zhì)量-阻尼器的機(jī)械位移系統(tǒng)的微分方程。設(shè)輸入量為外力F，輸出量為位移x。阻尼器是一種產(chǎn)生粘性摩擦的裝置，由活塞和充滿油液的缸體組成。活塞和缸體之間的任何相對運(yùn)動都將受到油液的阻滯。阻尼器用來吸收系統(tǒng)的能量并轉(zhuǎn)變?yōu)闊崃慷⑹У簟解]：圖1和圖2分別為系統(tǒng)原理結(jié)構(gòu)圖和質(zhì)量塊受力分析圖。圖中，m為質(zhì)量，f為粘滯阻尼系數(shù)，k為彈性系數(shù)。（思考題：上述方程中為何沒有受重力mg的影響？）三微分方程舉例第十四頁，共100頁?？刂葡到y(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例2-3：速度控制系統(tǒng)加法器設(shè)定部件微分放大器功放傳感器R1CR2第十五頁，共100頁。分析步驟：⑴該系統(tǒng)的組成和原理；

⑵該系統(tǒng)的輸出量是，輸入量是，擾動量是測速-運(yùn)放Ⅰ運(yùn)放Ⅱ功放電動機(jī)⑶速度控制系統(tǒng)方塊圖：第十六頁，共100頁。⑸消去中間變量：推出之間的關(guān)系：顯然，轉(zhuǎn)速既與輸入量有關(guān)，也與干擾有關(guān)。⑷各環(huán)節(jié)微分方程：運(yùn)放Ⅰ：，運(yùn)放Ⅱ：功率放大：，反饋環(huán)節(jié)：電動機(jī)環(huán)節(jié)：齒輪系環(huán)節(jié)：測速發(fā)電機(jī)：輸出量項(xiàng)＝輸入量項(xiàng)左右上式可以用與研究在給定電壓或有負(fù)載擾動轉(zhuǎn)矩時(shí)，速度控制系統(tǒng)的動態(tài)性能第十七頁，共100頁。[需要討論的幾個問題]：1、相似系統(tǒng)和相似量：我們注意到RLC無源網(wǎng)絡(luò)和彈簧質(zhì)量阻尼機(jī)械系統(tǒng)的微分方程形式是完全一樣的。這是因?yàn)椋喝袅睿姾桑瑒t例2-1①式的結(jié)果變?yōu)椋嚎梢?，同一物理系統(tǒng)有不同形式的數(shù)學(xué)模型，而不同類型的系統(tǒng)也可以有相同形式的數(shù)學(xué)模型。相似系統(tǒng)和相似量2.[定義]具有相同的數(shù)學(xué)模型的不同物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。例2-1和例2-2稱為力-電荷相似系統(tǒng)，在此系統(tǒng)中分別與為相似量。3.[作用]利用相似系統(tǒng)的概念可以用一個易于實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)來模擬相對復(fù)雜的系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)仿真研究。第十八頁，共100頁。四非線性微分方程的線性化在實(shí)際工程中，構(gòu)成系統(tǒng)的元件都具有不同程度的非線性，如下圖所示。第十九頁，共100頁。

于是，建立的動態(tài)方程就是非線性微分方程，對其求解有諸多困難，因此，對非線性問題做線性化處理確有必要。對弱非線性的線性化如上圖（a），當(dāng)輸入信號很小時(shí)，忽略非線性影響，近似為放大特性。對（b）和（c），當(dāng)死區(qū)或間隙很小時(shí)（相對于輸入信號）同樣忽略其影響，也近似為放大特性，如圖中虛線所示。平衡位置附近的小偏差線性化輸入和輸出關(guān)系具有如下圖所示的非線性特性。第二十頁，共100頁。

在平衡點(diǎn)A（x0，y0）處，當(dāng)系統(tǒng)受到干擾，y只在A附近變化，則可對A處的輸出—輸入關(guān)系函數(shù)按泰勒級數(shù)展開，由數(shù)學(xué)關(guān)系可知，當(dāng)很小時(shí)，可用A處的切線方程代替曲線方程（非線性），即小偏差線性化。第二十一頁，共100頁。可得，簡記為y=kx。若非線性函數(shù)由兩個自變量，如z＝f（x,y），則在平衡點(diǎn)處可展成（忽略高次項(xiàng)）

經(jīng)過上述線性化后，就把非線性關(guān)系變成了線性關(guān)系，從而使問題大大簡化。但對于如圖（d）所示為強(qiáng)非線性，只能采用第七章的非線性理論來分析。對于線性系統(tǒng)，可采用疊加原理來分析系統(tǒng)。第二十二頁，共100頁。疊加原理疊加原理含有兩重含義，即可疊加性和均勻性（或叫齊次性）。例：設(shè)線性微分方程式為若時(shí)，方程有解，而時(shí)，方程有解，分別代入上式且將兩式相加，則顯然有，當(dāng)＋時(shí)，必存在解為，即為可疊加性。第二十三頁，共100頁。

上述結(jié)果表明，兩個外作用同時(shí)加于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)等于各個外作用單獨(dú)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)之和，而且外作用增強(qiáng)若干倍，系統(tǒng)響應(yīng)也增強(qiáng)若干倍，這就是疊加原理。若時(shí)，為實(shí)數(shù)，則方程解為，這就是齊次性。第二十四頁，共100頁。

線性定常微分方程求解微分方程求解方法

第二十五頁，共100頁。

復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（1）1復(fù)數(shù)有關(guān)概念

（1）復(fù)數(shù)、復(fù)函數(shù)復(fù)數(shù)復(fù)函數(shù)例1（2）模、相角（3）復(fù)數(shù)的共軛

（4）解析

若F(s)在s點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)都存在，則F(s)在s點(diǎn)解析。模相角第二十六頁，共100頁。

復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（2）2拉氏變換的定義

（1）階躍函數(shù)像原像3常見函數(shù)的拉氏變換（2）指數(shù)函數(shù)第二十七頁，共100頁。

復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（3）（3）正弦函數(shù)第二十八頁，共100頁。

復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（4）（1）線性性質(zhì)4拉氏變換的幾個重要定理（2）微分定理證明：0初條件下有：第二十九頁，共100頁。

復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（5）例2求解.例3求解.第三十頁，共100頁。

復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（6）（3）積分定理零初始條件下有：進(jìn)一步有：

例4求L[t]=?

解.例5求解.第三十一頁，共100頁。

復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（7）（4）實(shí)位移定理(時(shí)滯定理）證明：例6解.令第三十二頁，共100頁。

復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（8）（5）復(fù)位移定理證明：令例7例8例9第三十三頁，共100頁。

復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（9）（6）初值定理證明：由微分定理例10第三十四頁，共100頁。

復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（10）（7）終值定理證明：由微分定理例11（終值確實(shí)存在時(shí)）例12第三十五頁，共100頁。

復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（11）用拉氏變換方法解微分方程L變換系統(tǒng)微分方程L-1變換第三十六頁，共100頁。

課程小結(jié)(2)1拉氏變換的定義

（2）單位階躍2常見函數(shù)L變換（5）指數(shù)函數(shù)（1）單位脈沖（3）單位斜坡（4）單位加速度（6）正弦函數(shù)（7）余弦函數(shù)第三十七頁，共100頁。

課程小結(jié)(3)（2）微分定理3L變換重要定理（5）復(fù)位移定理（1）線性性質(zhì)（3）積分定理（4）實(shí)位移定理

(時(shí)滯定理）（6）初值定理（7）終值定理第三十八頁，共100頁。

復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（12）5拉氏反變換（1）反演公式（2）查表法（分解部分分式法）試湊法系數(shù)比較法留數(shù)法例1已知，求解.第三十九頁，共100頁。復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（13）用L變換方法解線性常微分方程0初條件n>m:特征根（極點(diǎn)）:相對于的模態(tài)第四十頁，共100頁。

復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（14）用留數(shù)法分解部分分式一般有其中：設(shè)I.當(dāng)無重根時(shí)第四十一頁，共100頁。

復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（15）例2已知，求解.例3已知，求解.第四十二頁，共100頁。

復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（16）例4已知，求解一.解二：第四十三頁，共100頁。

復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（17）I.當(dāng)有重根時(shí)(設(shè)為m重根，其余為單根)第四十四頁，共100頁。

復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（18）第四十五頁，共100頁。

復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（19）例5已知，求解.第四十六頁，共100頁。①定義：如果有一個以時(shí)間t為自變量的函數(shù)f(t)，它的定義域t>0，那么下式即是拉氏變換式：,式中s為復(fù)數(shù)。記作一個函數(shù)可以進(jìn)行拉氏變換的充分條件是：⑴t<0時(shí)，f(t)=0；⑵t≥0時(shí)，f(t)分段連續(xù)；⑶。F(s)—象函數(shù)，f(t)—原函數(shù)。記為反拉氏變換。復(fù)習(xí)拉氏變換四、復(fù)習(xí)拉氏變換第四十七頁，共100頁。⑴線性性質(zhì)：⑵微分定理：⑶積分定理：（設(shè)初值為零）⑷時(shí)滯定理：⑸初值定理：復(fù)習(xí)拉氏變換②性質(zhì)：第四十八頁，共100頁。⑹終值定理：⑺卷積定理：③常用函數(shù)的拉氏變換：單位階躍函數(shù)：單位脈沖函數(shù)：單位斜坡函數(shù)：單位拋物線函數(shù)：正弦函數(shù)：其他函數(shù)可以查閱相關(guān)表格獲得。復(fù)習(xí)拉氏變換第四十九頁，共100頁。微分方程求解舉例:RLC串聯(lián)電路，已知R=1歐，L=1H,C=1F,Uc(0)=0.1v,i(0)=0.1A,Ur(t)=1V。求：電路突然接通時(shí)，電容上電壓Uc(t)的變化規(guī)律。解:微分方程:

將LC=1*1=1,RC=1*1=1代入上式，令Uc(s)=L[uc(t)],Ur(s)=L[Ur(t)],且令L[dUc(t)/dt]=SUc(s)–uc(0)=SUC(S)–0.1，

L[d2uc(t)/dt2]=S2Uc(s)-Suc(0)-u’c(0)=S2Uc(s)-S*1-0.1=S2Uc(s)-0.1S-0.1其中u’c(0)=duC(t)/dt|t=0=1/ci(t)|t=0=1/ci(0)=0.1第五十頁，共100頁。微分方程求解

整理后：UC(S)=Ur(s)/(S2+S+1)+(0.1S+0.2)/(S2+S+1)設(shè)Ur(t)=1,視為階躍輸入，則L[Ur(t)]=Ur(s)=1/s則網(wǎng)絡(luò)微分方程的解為求象函數(shù)的原函數(shù)：UC(t)=L[Uc(S)]=L[1/S*1/(S2+S+1)+(0.1S+0.2)/(S2+S+1)]=L[1/S-(S+1)/(S2+S+1)+(0.1S+0.2)/(S2+S+1)]

=1+1.15e-0.5tsin(0.886t-1200)+

0.2e-0.5tsin(0.886t+300)第五十一頁，共100頁。微分方程求解式中：前兩項(xiàng)稱謂零初始條件響應(yīng)，它與初始條件無關(guān)，由網(wǎng)絡(luò)的輸入電壓產(chǎn)生的輸出分量。后一項(xiàng)稱謂零輸入響應(yīng)，由網(wǎng)絡(luò)的初始條件產(chǎn)生的輸出分量，與輸入電壓無關(guān)。們統(tǒng)稱為網(wǎng)絡(luò)的單位階躍響應(yīng)。如果輸入電壓為單位脈沖量δ(t),Ur(s)=L[δ(t)]=1,輸出稱謂單位脈沖響應(yīng)，即為Uc(t)=1.15e-0.5tsin(0.886t-1200)

+0.2e-0.5tsin(0.886t+300)初值定理應(yīng)用;Ur(t)=1(t)時(shí)：uc(0)=LimUc(t)=Lims?Uc(s)=Lims?[1/s(s2+s+1）t0s∝s∝(=0)+(1s+0.2)/(s2+s+1)]=0.1

(=0.2)第五十二頁，共100頁。五、數(shù)學(xué)模型的求解：研究控制系統(tǒng)在一定的輸入作用下，輸出量的變化情況。方法有經(jīng)典法(可以查閱相應(yīng)資料），拉氏變換法和數(shù)字求解。經(jīng)典解中系統(tǒng)的全響應(yīng)可以分為自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)，也可以分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。在輸入信號是階躍函數(shù)或有始周期函數(shù)時(shí)，也可以分解為暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。在自動系統(tǒng)理論中主要使用拉氏變換法[拉氏變換求微分方程解的步驟]：①考慮初始條件，對微分方程兩端進(jìn)行拉氏變換，將時(shí)域方程轉(zhuǎn)換為s域的代數(shù)方程。②有代數(shù)方程式求輸出量拉氏變換函數(shù)的表達(dá)式。③求拉氏反變換，求得輸出函數(shù)的時(shí)域解。第五十三頁，共100頁。解的運(yùn)動模態(tài)1.線性系統(tǒng)的特性：疊加定理的兩層含義---可疊加性和均勻性（齊次性）。a.當(dāng)f(t)=f1(t)+f2(t)時(shí),解必為c(t)=c1(t)+c2(t).即如果有幾個外作用同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí)，則可以將它們分別處理依次求出各個外作用分別單獨(dú)加入時(shí)系統(tǒng)的輸出，然后將它們相加。b.當(dāng)f(t)=A?f(t)時(shí),解必為c(t)=A?c(t)即外作用數(shù)值增大若倍時(shí)，輸出也增加同樣的倍數(shù)。

2.線性微分方程的解由齊次方程的通解和特解組成。通解由特征根決定，具有線性組合的。即無重根時(shí)：y0(t)=C1eλ1t+C2eλ2t+C3eλ3t+????

有多重根時(shí)λ：則解為teλt+t2eλt+????

有共軛復(fù)根時(shí)：λ=σ±jω

則解的模態(tài)為e(σ±jω)

第五十四頁，共100頁。[例]求RCL控制系統(tǒng)微分方程的解。[解]速度控制系統(tǒng)微分方程為：

對上式各項(xiàng)進(jìn)行拉氏變換，得：即：當(dāng)輸入已知時(shí)，求上式的拉氏反變換，即可求得輸出的時(shí)域解。第五十五頁，共100頁。小結(jié)元部件微分方程；系統(tǒng)微分方程的列寫；相似量、相似系統(tǒng)；線性定常微分方程的求解（用拉氏變換法）；第五十六頁，共100頁。

傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學(xué)模型之一。利用傳遞函數(shù)，可以：不必求解微分方程就可以研究零初始條件系統(tǒng)在輸入作用下的動態(tài)過程。了解系統(tǒng)參數(shù)或結(jié)構(gòu)變化時(shí)系統(tǒng)動態(tài)過程的影響--分析可以對系統(tǒng)性能的要求轉(zhuǎn)化為對傳遞函數(shù)的要求---綜合2-3傳遞函數(shù)第五十七頁，共100頁。一、傳遞函數(shù)的基本概念將上式求拉氏變化，得(令初始值為零）當(dāng)傳遞函數(shù)和輸入已知時(shí)Y(s)=G(s)X(s)。通過反變換可求出時(shí)域表達(dá)式y(tǒng)(t)。1.傳遞函數(shù)的定義：線性定常系統(tǒng)在輸入、輸出初始條件均為零的條件下，輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。稱為環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)式中：x（t）—輸入，y（t）—輸出為常系數(shù)設(shè)系統(tǒng)或元件的微分方程為：第五十八頁，共100頁。這里，“初始條件為零”有兩方面含義：一指輸入作用是t＝0后才加于系統(tǒng)的，因此輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)，在t=時(shí)的值為零。二指輸入信號作用于系統(tǒng)之前系統(tǒng)是靜止的，即t=時(shí)，系統(tǒng)的輸出量及各階導(dǎo)數(shù)為零。許多情況下傳遞函數(shù)是能完全反映系統(tǒng)的動態(tài)性能的。第五十九頁，共100頁。傳遞函數(shù)的性質(zhì)：1）傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì)。M<=n,且所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)。2）傳遞函數(shù)是一種用系統(tǒng)參數(shù)表示輸出量與輸入量之間關(guān)系的表達(dá)式。只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與輸入量的形式無關(guān)，也不反映系統(tǒng)內(nèi)部的任何信息。線形系統(tǒng)的輸入量和輸出量的因果關(guān)系可用傳遞函數(shù)聯(lián)系起來。3）傳遞函數(shù)與微分方程有相通性。傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式系數(shù)和分母多項(xiàng)式系數(shù)分別與相應(yīng)微分方程式的右端及左端微分算符多項(xiàng)式系數(shù)相對應(yīng)。在零初始條件下，將微分方程的微分算符d/dt用復(fù)數(shù)s置換得到傳遞函數(shù)。反之，傳遞函數(shù)多項(xiàng)式中的變量s用d/dt置換，得到微分方程。如G(s)=(b1s+b2)/(a0s2+a1s+a2)4傳遞函數(shù)G(s)的拉氏變換式脈沖響應(yīng)g(t).脈沖響應(yīng)g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖δ(t)輸入時(shí)的輸出響應(yīng)。R(S)=￡[δ(t)]=1,故，g(t)=￡-1[c(s)]=￡-1[c(s)]=￡-1[G(s)]。第六十頁，共100頁。[關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明]傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng)，它與線性常系數(shù)微分方程一一對應(yīng)。且與系統(tǒng)的動態(tài)特性一一對應(yīng)。傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)或元件的學(xué)科屬性和物理性質(zhì)。物理性質(zhì)和學(xué)科類別截然不同的系統(tǒng)可能具有完全相同的傳遞函數(shù)。而研究某傳遞函數(shù)所得結(jié)論可適用于具有這種傳遞函數(shù)的各種系統(tǒng)。傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入無關(guān)。只反映了輸入和輸出之間的關(guān)系，不反映中間變量的關(guān)系。傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。若系統(tǒng)有多個輸入信號，在求傳遞函數(shù)時(shí)，除了一個有關(guān)的輸入外，其它的輸入量一概視為零。傳遞函數(shù)忽略了初始條件的影響。傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是s的有理分式，對實(shí)際系統(tǒng)而言分母的階次n大于分子的階次m，此時(shí)稱為n階系統(tǒng)。第六十一頁，共100頁。[傳遞函數(shù)的幾種表達(dá)形式]：1表示為有理分式形式：式中：—為實(shí)常數(shù)，一般n≥m上式稱為n階傳遞函數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。2表示成零點(diǎn)、極點(diǎn)形式：式中：稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)?！獋鬟f系數(shù)或者根軌跡增益首1標(biāo)準(zhǔn)型：

第六十二頁，共100頁。3寫成時(shí)間常數(shù)形式：分別稱為時(shí)間常數(shù)，K稱為放大系數(shù)顯然：，4.若零點(diǎn)或極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)，則一般用2階項(xiàng)來表示。若為共軛復(fù)極點(diǎn)，則：或其系數(shù)由或求得；尾1標(biāo)準(zhǔn)型：

第六十三頁，共100頁。若有零值極點(diǎn)，則傳遞函數(shù)的通式可以寫成：從上式可以看出：傳遞函數(shù)是一些基本因子的乘積。這些基本因子就是典型環(huán)節(jié)所對應(yīng)的傳遞函數(shù)，是一些最簡單、最基本的一些形式。式中：或：第六十四頁，共100頁。

例7已知將其化為首1、尾1標(biāo)準(zhǔn)型，并確定其增益。解.首1標(biāo)準(zhǔn)型尾1標(biāo)準(zhǔn)型增益第六十五頁，共100頁。例2-9電樞控制直流電動機(jī)的傳遞函數(shù)Ωm(s)/Ua(s)K1和k2：電動機(jī)的傳遞系數(shù)。

利用疊加原理：可k1Ua(t)和k2Mc(t)分別單獨(dú)作用，然后疊加。

G(S)=K1/(TmS+1）Gm(S)=-K2/(TmS+1）

第六十六頁，共100頁。二傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)對輸出的影響傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是微分方程的特征根，決定了所描述系統(tǒng)自由運(yùn)動的模態(tài)。傳遞函數(shù)的極點(diǎn)可以受輸入函數(shù)的激發(fā)，在輸出響應(yīng)中形成自由運(yùn)動的模態(tài)。傳遞函數(shù)的零點(diǎn)并不形成模態(tài)，但他們卻影響各模態(tài)響應(yīng)中所占的比重。(P33-34)例如：G1(S)=(4S+2)/(S+1)(S+2)零點(diǎn)z1=-0.5G1(S)=(1.5S+2)/(S+1)(S+2)零點(diǎn)z2=-1.33極點(diǎn)相同：P1=-1,P2=-2，模態(tài)在兩個系統(tǒng)中的比例不同

C1(t)=1+2e-1-3e-2C2(t)=1-0.5e-t-0.5e-2t

第六十七頁，共100頁。

例8已知某系統(tǒng)在0初條件下的階躍響應(yīng)為：試求：（1）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；（2）系統(tǒng)的增益；（3）系統(tǒng)的特征根及相應(yīng)的模態(tài)；（4）畫出對應(yīng)的零極點(diǎn)圖；（5）求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)；（6）求系統(tǒng)微分方程；（7）當(dāng)c(0)=-1,c’(0)=0;r(t)=1(t)時(shí)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。

解.（1）

傳遞函數(shù)的性質(zhì)(1)第六十八頁，共100頁。傳遞函數(shù)的性質(zhì)(2)(2)

(4)

如圖所示(3)

(5)

(6)

第六十九頁，共100頁。函數(shù)的性質(zhì)(3)（7）其中初條件引起的自由響應(yīng)部分第七十頁，共100頁。典型元件的傳遞函數(shù)1.單個電位器:u(t)=k1θ(t)

而(S)=U(S)/Θ(S)=K12.一對相同電位器：U(t)=u1(t)-u2(t)=k1θ(t)–k2θ(t)

=k1Δθ(t),G(S)=U(S)/Δθ(S)=K13.放大器(電阻）：UC(S)/UR(S)=K4.電感：G(S)=LS5.電容：G(S)=1/CS6.測速電機(jī)：G(S)=K1S=U(S)/Θ(S)7.電動機(jī)：G(S)=K1/(TmS+1)=Ωm(s)/Ua(s)

G(S)=K1/s(TmS+1)=Θm(s)/Ua(s)

第七十一頁，共100頁。二、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)有比例、積分、慣性、振蕩、微分和延遲環(huán)節(jié)等多種。以下分別討論典型環(huán)節(jié)的時(shí)域特征和復(fù)域（s域）特征。時(shí)域特征包括微分方程和單位階躍輸入下的輸出響應(yīng)。s域特性研究系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布。比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)。k為放大系數(shù)。實(shí)例：分壓器，放大器，無間隙無變形齒輪傳動，發(fā)電機(jī)等。（一）比例環(huán)節(jié)：時(shí)域方程：傳遞函數(shù)：發(fā)電機(jī)：特點(diǎn)：輸出量按一定比例復(fù)現(xiàn)輸入量，無滯后、失真現(xiàn)象。K——放大系數(shù)，通常都是有量綱的。第七十二頁，共100頁。例：

輸入：(t)——角度E——恒定電壓

輸出：u(t)——電壓

時(shí)域方程：u(t)=K(t)傳遞函數(shù)：K——比例系數(shù)，量綱為伏/弧度。第七十三頁，共100頁。其它一些比例環(huán)節(jié)第七十四頁，共100頁。（二）微分環(huán)節(jié)

特點(diǎn)：動態(tài)過程中，輸出量正比于輸入量的變化速度。

運(yùn)動方程：傳遞函數(shù)：

頻率特性：

第七十五頁，共100頁。例1RC電路

設(shè)：輸入——ur(t)輸出——uc(t)消去i(t)，得到：時(shí)域方程：

傳遞函數(shù)：

（Tc=RC）

當(dāng)Tc<<1時(shí)，又可表示成：頻率特性：G（j）=jTc——此時(shí)可近似為純微分環(huán)節(jié)。第七十六頁，共100頁。例：測速發(fā)電機(jī)CF的數(shù)學(xué)描述

輸入：

(t)——電動機(jī)D轉(zhuǎn)子（與測速發(fā)電機(jī)同軸）的轉(zhuǎn)角輸出：

uf(t)——測速發(fā)電機(jī)的電樞電壓運(yùn)動方程：傳遞函數(shù)：G（s）=Ks頻率特性： G（j）=jK

第七十七頁，共100頁。其他微分環(huán)節(jié)舉例

第七十八頁，共100頁。特點(diǎn)：輸出量的變化速度和輸入量成正比。

有一個0值極點(diǎn)。在圖中極點(diǎn)用“”表示，零點(diǎn)用“”表示。K表示比例系數(shù)，T稱為時(shí)間常數(shù)。（三）積分環(huán)節(jié)：時(shí)域方程：傳遞函數(shù)：0S平面j0第七十九頁，共100頁。例：如積分電路

時(shí)域方程：

傳遞函數(shù)：

（T=R1C）

頻率特性：

輸入為r(t)，輸出為c(t)第八十頁，共100頁。（四）慣性環(huán)節(jié)時(shí)域方程：傳遞函數(shù)：當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí),有，可解得： ，式中：k為放大系數(shù)，T為時(shí)間常數(shù)。當(dāng)k=1時(shí)，輸入為單位階躍函數(shù)時(shí),時(shí)域響應(yīng)曲線和零極點(diǎn)分布圖如下：通過原點(diǎn)的斜率為1/T，且只有一個極點(diǎn)（-1/T）。1yt00.632T通過原點(diǎn)切線斜率為1/TjRe0S平面第八十一頁，共100頁。求單位階躍輸入的輸出響應(yīng)：可見，y(t)是非周期單調(diào)升的，所以慣性環(huán)節(jié)又叫作非周期環(huán)節(jié)。下面介紹直流伺服電動機(jī)部件的傳遞函數(shù)（）第八十二頁，共100頁。①R2C-+R1而R②C兩個實(shí)例：特點(diǎn)：此環(huán)節(jié)中含有一個獨(dú)立的儲能元件，以致對突變的輸入來說，輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，存在時(shí)間上的延遲。第八十三頁，共100頁。（五）振蕩環(huán)節(jié)：時(shí)域方程：或：傳遞函數(shù)：上述傳遞函數(shù)有兩種情況：1.當(dāng)時(shí)，可分為兩個慣性環(huán)節(jié)相乘。即：傳遞函數(shù)有兩個實(shí)數(shù)極點(diǎn)：)(sR)(sC12122++TssTV第八十四頁，共100頁。y(t)t0單位階躍響應(yīng)曲線極點(diǎn)分布圖[分析]：y(t)的上升過程是振幅按指數(shù)曲線衰減的的正弦運(yùn)動。與有關(guān)。反映系統(tǒng)的阻尼程度，稱為阻尼系數(shù)，稱為無阻尼振蕩圓頻率。當(dāng)時(shí)，曲線單調(diào)升，無振蕩。當(dāng)時(shí)，曲線衰減振蕩。越小，振蕩越厲害。2.若，傳遞函數(shù)有一對共軛復(fù)數(shù)。還可以寫成：設(shè)輸入為：則第八十五頁，共100頁。解：當(dāng)時(shí)，有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。所以：解得：[例]：求質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的和。第八十六頁，