高級微觀經(jīng)濟學基於偏好的需求

高級微觀經(jīng)濟學基於偏好的需求第1頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二一、需求的決定、連續(xù)性與可微性

根據(jù)效用最大化理論，理性消費者

(X

,

)

的需求是明確的、實在的：((

p,

r))(

D(

p,

r)

=

{x

(

p,

r):(y

(

p,

r))(

y

x)}

)。這樣的需求可以通過邊際方程加以確定，即對任何(

p,

r)，都有：(xX

)(

(xD(

p,

r))(

>

0)((u(x)

=

p)(

px

=

r))

)

●需求集映

D

:

X

是上半連續(xù)的。

●二階條件決定了可微的需求函數(shù)。第2頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二(一)一階條件決定連續(xù)需求預算連續(xù)性：設消費集合是下有界非空閉凸子集，則預算集映

:

X是連續(xù)的閉對應。需求上半連續(xù)性：設消費集合

是下有界非空閉凸子集，偏好關(guān)系

連續(xù)。則需求D:

X

是上半連續(xù)的閉集值集映，并且還是對應。需求函數(shù)的連續(xù)性：在假設HC和HP下，需求映射

:

X

是連續(xù)的，從而各個需求函數(shù)

h(

p,

r)

(h

=

1,2,,)都是連續(xù)函數(shù)。需求是預算集合中最好的消費，需求的連續(xù)性以預算連續(xù)性為基礎。預算連續(xù)性通過預算集映

:

X

來表達。第3頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二例1.移動通訊需求

信息技術(shù)的發(fā)展讓移動通訊業(yè)在全球迅速興盛起來，尤其在中國，手機的使用已經(jīng)比較普遍，移動通訊需求相當旺盛，移動通訊業(yè)的競爭也迅速展開。我們來分析一下移動通訊市場的需求情況。假定市場上有兩家公司A和B(比如聯(lián)通公司和移動公司)在提供移動通訊業(yè)務，這兩家公司提供的服務相同，但話費可能不同。

p1：公司A的話費(元/分種)。

p2：公司B的話費(元/分種)。

x1：消費者使用公司A的網(wǎng)絡通話的時間(分鐘)。

x2：消費者使用公司B的網(wǎng)絡通話的時間(分鐘)。

r：消費者準備用于支付話費的收入。這樣，平面上的向量

x

=

(x1,x2)

表示著消費者的通話選擇：使用網(wǎng)絡A通話

x1分鐘，使用網(wǎng)絡B通話

x2分鐘。這樣，消費者的消費集合便為。第4頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二(1)偏好關(guān)系的確定

既然兩家提供的服務完全相同，那么在不考慮價格因素的情況下，不論是用誰的網(wǎng)絡服務，對消費者來說都是一樣的。因此，消費者移動通訊消費方案的評價可以按照通話總時間多少來確定的：(x,

yX)(

((x1,x2)

(

y1,y2))(x1+x2

y1+y2)

)即消費者認為，移動通話的總時間越多越好。這樣，無差異曲線為直線：x1+x2=U(0

U

<

)

通話向量

x

=

(x1,x2)

的話費為：

px=p1x1+

p2

x2

預算集合為：

(

p,

r)={xX

:px

r}

下面來找出

(

p,

r)中所有最好的通話向量，即確定移動通訊需求

D(

p,

r)。為此，對任何(

p,

r)，可按照p1>

p2、p1<

p2、p1=

p2三種情形分別討論。x1x2o

(

p,

r)無差異曲線第5頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二(2)移動通訊需求的確定我們通過圖示來直觀地說明移動通訊需求的確定?？梢?，在兩家公司提供的服務相同的情況下，話費價格低的公司完全占領(lǐng)市場。小靈通公司正是看到了這一特點，在2002年果斷采取降價策略，在中國移動通訊市場上一舉獲得成功。r/p2x1r/p1px

=

rD(

p,

r)(1)p1>

p2的情形(2)p1<

p2的情形(3)p1=

p2的情形通話時間越多越好

(

p,

r)

(

p,

r)通話時間越多越好通話時間越多越好D(

p,

r)D(

p,

r)x1x1x2x2x2r/p2r/p2r/p1r/p1ooo

(

p,

r)r/p2第6頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二

為此，任意給定收入r

>

0和價格，選一個開球V使得。則對包含

p的任何開集U以及U中這樣的點p

=

(

p1,p2)：p1p2，都有D(

p,

r)V

=

。故D(

p,

r)在(

p,

r)處不是下半連續(xù)的。(3)移動通訊需求的上半連續(xù)性和非下半連續(xù)性

移動通訊消費者明顯地滿足需求上半連續(xù)性定理的條件，因此移動通訊需求集映

D(

p,

r)是上半連續(xù)的。但它不是下半連續(xù)的，這一事實的證明思路是去證明在

p1=

p2>

0

的地方D(

p,

r)不下半連續(xù)。x1x2ooVpp1>

p2D(

p,

r)wD(w,

r)w1<

w2D(

p,

r)V

=

=V

D(w,

r)價格空間消費集合第7頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二例2.線性支出系統(tǒng)

消費者為了生存，需要保證每種商品的一個最低消費。假設商品

i

的最低消費量為

i

(i

=

1,2,,)，則向量

=(

1,

2,,

)

代表生活基本需要。當收入用于支付生活必需后還有剩余時，為了得到更大的滿足，需要進行更多的消費。那么，消費者如何把剩余收入用于增加各種商品消費呢？這個問題較實際，現(xiàn)實中常常會碰到。下面，我們應用消費最優(yōu)化理論來分析這一問題。這個問題中，消費集合，價格收入空間為：假定消費者具有Cobb-Douglass形式的效用函數(shù)：這種效用函數(shù)表示的消費者偏好是連續(xù)的、無滿足的、內(nèi)部嚴格凸的，并且滿足假設HU和邊界最差假設。因此，消費者均衡必然在消費集合內(nèi)部實現(xiàn)。偏好的內(nèi)部嚴格凸性還保證了消費者均衡的唯一性，從而需求映射是確定的。第8頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二其中

1+

2++

=

1，

i

0

(i

=

1,2,,)。需求完全由邊際方程唯一確定：x

=

(

p,

r)

((

p,

r))。用效用函數(shù)u(x)寫出邊際方程：

，故邊際方程為。(1)效用函數(shù)的變形

可對上述效用函數(shù)進變形以便于使用。第一步，采用與v

(x)等價的效用函數(shù)w(x)：其中

i=

i

/(

1+

2++)

(i

=

1,2,,)。第二步，既然均衡在消費集合內(nèi)部實現(xiàn)，故可不必考慮邊界消費，從而效用函數(shù)w(x)可以進一步變成為更簡單的形式：第9頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二(2)需求函數(shù)的求解

解的意義：p

是消費者必需的最小支出，pi

i

是消費者要花費在商品

i

上的最小支出。上式說明,

消費者把剩余收入

r

p

按照比例

i

用于增加商品

i

的消費量。在這個需求系統(tǒng)中,pix

i

=

pi

i

+

i

(r

p)。這表明：消費者在商品i上的支出是各種商品的價格和收入的線性函數(shù)。鑒于此,

人們把這個需求系統(tǒng)叫做線性支出系統(tǒng)，它在計量經(jīng)濟學中有重要應用。第10頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二(二)二階條件決定可微需求

現(xiàn)在，我們來考察效用最大化的二階條件。從邊際方程可以看出，假若xX

是效用最大化問題max

u(x)

s.t.

px

=

r

的解，那么

x

必是效用函數(shù)

u

在點

x

處的切平面

T(x)

上的最大值點。這里，T(x)的定義如下：根據(jù)微積分知識可知，u在該點x處的海森矩陣在切空間(x)上半負定，即對任何z(x)，都有，其中切空間(x)的定義為：。這就得到了效用最大化二階必要條件：海森矩陣u(x)在切空間(x)上半負定。第11頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二oT(x)xu(x)=

p(x)yz(二)二階條件決定可微需求第12頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二1.二階充分條件：效用函數(shù)強擬凹強擬凹性的定義

設效用函數(shù)

u(x)

二階可微。稱

u

在點

xX

處強擬凹，是指

u(x)

在切空間(x)

上負定，即對任何

z(x)，z

0，都有。稱

u

是強擬凹的效用函數(shù)，是指

u

在

X

內(nèi)部各點處都強擬凹。

強擬凹性是關(guān)于偏好的性質(zhì)，與效用函數(shù)選擇無關(guān)：若

u

和

v

是等價的二階可微效用函數(shù)，則u

強擬凹

v

強擬凹。T在假設HU下，若

xX

滿足邊際方程且u(x)

在切空間

(x)

上負定，則

x

是效用最大化問題maxu(x)s.t.px=r的局部唯一解。二階充分條件也叫做效用函數(shù)的強擬凹性，具體定義如下。第13頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二2.強擬凹效用函數(shù)的特點函數(shù)u(x)在點x處的加邊海森矩陣H(u(x))是指下述矩陣：擬凹性定理1

設消費集合X滿足假設HC，效用函數(shù)

u(x)

弱擬凹且滿足假設HU。則u(x)強擬凹當且僅當

u(x)在

X

內(nèi)部嚴格擬凹并且對任何xX

，加邊海森矩陣H(u(x))都可逆。T第14頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二2.強擬凹效用函數(shù)的特點擬凹性定理

2設效用函數(shù)

u(x)

滿足假設

HU。對任何

xX

，如果

u

在點

x

處強擬凹，則對任何實數(shù)

0，矩陣

H(u(x),

)

都是可逆的。這里，矩陣

H(u(x),

)

的定義如下：第15頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二

假設HC、HP

和

HU

保證邊際方程“u(x)

p

=

0

&

r

px

=

0”唯一確定了需求映射

x

=

(

p,

r)

并且

(

p,

r)

連續(xù)，即需求函數(shù)是邊際方程確定的隱函數(shù)。隱函數(shù)存在定理指出，需求函數(shù)的連續(xù)可微性取決于邊際方程的雅克比矩陣

J(x,

)

是否可逆。計算

J(x,

)：

3.需求函數(shù)的可微性第16頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二3.需求函數(shù)的可微性可微性定理

在假設HC、HP和HU下，如果效用函數(shù)

u

強擬凹，(

p,

r)

且

x

=

(

p,

r)X

，則需求映射

在(

p,

r)附近連續(xù)可微?！癏C、HP、HU、內(nèi)部均衡、強擬凹”需求函數(shù)連續(xù)可微。第17頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二二、價格與收入變動對需求的影響消費集合

X滿足假設HC，偏好關(guān)系

滿足假設HP；

的效用函數(shù)

u

滿足假設HU并且強擬凹；(3)均衡在消費集合內(nèi)部實現(xiàn)：((

p,

r))(

(

p,

r)X

)。

在以上假定下，消費者的需求影射x

=

(

p,

r)由邊際方程唯一確定。把

x

=

(

p,

r)代入邊際方程，即得到恒等式：其中=(p,r)為拉格朗日乘數(shù)。第18頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二(一)基本矩陣方程假定價格

p發(fā)生了微小變化，收入

r

發(fā)生了微小變化

d

r，引起需求發(fā)生變化(不帶轉(zhuǎn)置符號“T”的向量均可看成行矩陣)，同時引起拉氏乘數(shù)

發(fā)生微小變化d

。這些變化之間的關(guān)系可通過對邊際等式求微分加以確定：

第19頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二寫成矩陣形式，即用E

表示

階單位方陣，則上式又可改寫成：此式稱為需求的基本矩陣等式或基本矩陣方程。

(一)基本矩陣方程第20頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二

注意，

p

=

u(x)。因此，基本矩陣方程左邊的矩陣為：矩陣S

叫做斯勒茨基矩陣，其元素

shk

叫做斯勒茨基系數(shù)。1.

Slutsky’sMatrix效用函數(shù)擬凹性定理2表明，這個矩陣是可逆的，故可以令第21頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二于是，從而，即。

1.

Slutsky’sMatrix第22頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二

求解基本矩陣方程：2.

Slutsky’sEquation第23頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二

斯勒茨基方程表明了價格與收入變動引起的需求變動情況：此公式叫做需求變動的微分公式。3.

需求變動的微分公式與導數(shù)公式第24頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二從微分公式又可得到需求對價格和收入的導數(shù)公式：即3.

需求變動的微分公式與導數(shù)公式第25頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二(二)價格與收入變動的效應分析當商品價格不發(fā)生變化而收入發(fā)生變化時，商品的需求量明顯地會受到影響。這種純粹因收入變動而引起的需求量的變動，叫做收入效應。價格變化導致消費者實際收入水平發(fā)生變動，從而產(chǎn)生收入效應；價格變動還引起商品便宜貴賤情況發(fā)生相對變化，從而產(chǎn)生替代。在扣除收入效應(即讓實際收入水平不變)后，這種純粹因商品之間的相互替代而引起的需求變動，叫做替代效應。價格與收入變動引起的需求總變動叫做總效應，它等于替代效應與收入效應之和：總效應

=收入效應

+替代效應。第26頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二1.微分公式揭示的收入效應價格和收入變動引起的實際收入總變動值為dr

xdp。注意,x

/r表示收入增加一單位所引起的需求增加量，而實際收入變動為dr

–

xdp，故二者之積表示純粹由實際收入水平變動引起的需求變動量——收入效應。

根據(jù)

xh

/r

的含義，可把

xh

/r

叫做商品h的收入效應系數(shù)，把列向量

x

/r

叫做商品

h

的收入效應系數(shù)向量。(dr

–

xdp)x

/r

正是價格和收入變動對需求產(chǎn)生的收入效應。第27頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二2.價格變動的收入效應

在收入效應(dr

–

xdp)

x

/r

中，第一項

dr

x

/r

表示直接由收入變動所產(chǎn)生的效應，屬于直接收入效應；第二項(–

xdp)x

/r表示由價格變動引起實際收入變動，進而由實際收入變動所引起的需求變動，是一種間接收入效應，純粹反映了價格變動的收入效應?！裣禂?shù)

hk

=

xk

xh

/r

=

zh

xk

叫做商品

h

對

k

的(價格)收入效應系數(shù)。商品

h

對

k

的(價格)收入效應系數(shù)

hk表示純粹由商品

k

的價格變動對商品

h

的需求產(chǎn)生的收入效應率。第28頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二3.價格變動的替代效應●

Sdp代表價格變動的替代效應?！駜r格變動

dp

引起消費者實際收入發(fā)生變動

xdp，此時，讓收入

r

發(fā)生一個補償性的變化

dr

=

xdp，則可保證實際收入水平不變：dr

–

xdp

=

0。這樣，需求變動就為dx

=

Sdp。由此可見，Sdp表示當價格發(fā)生變動時，給消費者進行收入補償以使實際收入水平不變，而發(fā)生的商品需求量的變動量，這正是替代效應。

斯勒茨基系數(shù)

shk

表示在實際收入水平不變的條件下，商品

k

的價格上升一單位所引起的商品

h

的需求增加量。第29頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二4.替代效應系數(shù)斯勒茨基系數(shù)

s

hk表示純粹由商品

k

的價格變動對商品

h

的需求產(chǎn)生的替代效應率，故可稱為商品

h

對

k

的(價格)替代效應系數(shù)。根據(jù)xh

/pk=

shk

–

zh

xk，zh=xh

/r(

h,

k

=

1,2,,

)可知，第30頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二(三)替代矩陣與需求變動的特點鑒于斯勒茨基系數(shù)的替代效應意義，斯勒茨基矩陣

S

可稱作替代效應系數(shù)矩陣，簡稱替代矩陣。注意S的定義S

=

Z及Z的定義：我們有：。第31頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二(三)替代矩陣與需求變動的特點替代效應的實際支出不變：解釋：在商品k的價格上升一單位情況下，各種商品h的替代效應分別為shk(h

=

1,2,,)。若按變化前的價格計算(即按實際收入水平不變的價格計算)，因替代而引起的消費支出增加量為，這個量為0。所以，替代效應的實際支出不變。增加的收入等于增加的支出：解釋：收入增加一單位引起支出增加，其值為1。第32頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二

矩陣是對稱的，逆矩陣也就是對稱的，從而替代矩陣S是對稱的。1.

替代矩陣的對稱性與商品替代的相互性替代效應的對稱性商品

h

對

k

的替代效應系數(shù)等于商品

k

對

h

的替代效應系數(shù)：shk=

skh(h,

k

=

1,2,,)，即。

第33頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二

從現(xiàn)實經(jīng)濟生活看，替代效應的對稱性也是必然的，它來自于現(xiàn)實中商品替代的相互性：另一種商品能夠替代這一種，那么這一種商品也就能夠替代另一種商品；同時，另一種商品是以怎樣的程度來對這一種商品產(chǎn)生替代作用的，那么這一種商品也就以怎樣的程度來對另一種商品產(chǎn)生替代作用。因此，商品替代的相互性蘊含著替代效應的對稱性意義。從這一點上說，基于偏好的需求符合現(xiàn)實需求的特點和規(guī)律。1.

替代矩陣的對稱性與商品替代的相互性第34頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二

進一步，可以證明：替代矩陣

S

是半負定的。由此可得：需求量與價格反向變動，這是一個在正常商品之中普遍出現(xiàn)的實際現(xiàn)象。替代矩陣的半負定性說明了這一現(xiàn)象，可見基于偏好的需求能夠描述實際現(xiàn)象，符合現(xiàn)實需求的特點和規(guī)律。2.

替代矩陣的半負定與需求變動的反向性需求法則任何一種商品的價格變動對該商品自己的替代效應都非正，即

shh

0

(h

=

1,2,,)，從而正常商品的需求必然服從需求法則，即正常商品的需求量與該商品的價格反向變動，用公式表達，即xhph

=

shh

xh

xhr

<

0，其中

h

為正常商品(即xh

/r

>

0)。第35頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二例3.奇異的替代矩陣消費集合：效用函數(shù)：需求函數(shù)：3.

不可祈求替代矩陣負定計算行列式：。因此，S是奇異矩陣。第36頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二

商品h的