新教材蘇教版必修第二冊第13章13.313.3.2空間圖形的體積學案

13.3.2空間圖形的體積學習任務核心素養(yǎng)1．了解柱、錐、臺和球的體積的計算公式．(重點)2．會求柱、錐、臺和球的體積．(重點、易錯點)3．會求簡單組合體的體積及表面積．(難點)1．通過對柱、錐、臺的體積公式與球的體積、表面積公式的理解，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)．2．通過利用柱、錐、臺和球的體積公式求幾何體的體積，培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng)．取一摞書或一摞紙張堆放在桌面上，將它按如圖所示的方式改變一下形狀，這時高度沒有改變，每頁紙的面積也沒有改變，因而這摞書或紙張的體積與變形前相等．這就是中國古代的“祖暅原理”，是我們研究空間圖形的體積公式的理論基礎．知識點1柱體、錐體、臺體的體積空間圖形體積柱體V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)V圓柱＝πr2h(r為底面半徑)錐體V錐體＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)V圓錐＝eq\f(π,3)r2h(r為底面半徑)臺體V臺體＝eq\f(1,3)h(S＋eq\r(SS′)＋S′)(S′，S分別為上、下底面面積，h為高)，V圓臺＝eq\f(1,3)πh(r′2＋rr′＋r2)(r′，r分別為上、下底面半徑)柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關系？[提示]V＝Sheq\o(→,\s\up10(S′＝S))V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)heq\o(→,\s\up10(S′＝0))V＝eq\f(1,3)Sh．1．若正方體的體對角線長為a，則它的體積為______．eq\f(\r(3),9)a3[設正方體的邊長為x，則eq\r(3)x＝a，故x＝eq\f(a,\r(3))，V＝eq\f(\r(3),9)a3．]知識點2球的體積和表面積若球的半徑為R，則(1)球的體積V＝eq\f(4,3)πR3．(2)球的表面積S＝4πR2．2．若球的表面積為36π，則該球的體積等于________．36π[設球的半徑為R，由題意可知4πR2＝36π，∴R＝3．∴該球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝36π．]類型1多面體的體積【例1】如圖，已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AC＝4，BC＝3，AC⊥BC，點D是AB的中點，求三棱錐A1-B1CD的體積．[解]∵AA1＝AC＝4，BC＝3，AC⊥BC，∴AB＝A1B1＝5．法一：由題意可知Veq\s\do6(A1B1C1-ABC)＝S△ABC×AA1＝eq\f(1,2)×4×3×4＝24．又Veq\s\do8(A1-ADC)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)S△ABC×AA1＝eq\f(1,6)S△ABC×AA1＝4．Veq\s\do8(B1-BDC)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)S△ABC×BB1＝eq\f(1,6)S△ABC×BB1＝4．Veq\s\do8(C-A1B1C1)＝eq\f(1,3)Seq\s\do8(△A1B1C1)×CC1＝8，∴Veq\s\do8(A1-B1CD)＝Veq\s\do8(A1B1C1-ABC)－Veq\s\do8(A1-ADC)－Veq\s\do8(B1-BDC)－Veq\s\do8(C-A1B1C1)＝24－4－4－8＝8．法二：在△ABC中，過C作CF⊥AB，垂足為F，由平面ABB1A1⊥平面ABC知，CF⊥平面A1B1BA．又Seq\s\do8(△A1B1D)＝eq\f(1,2)A1B1·AA1＝eq\f(1,2)×5×4＝10．在△ABC中，CF＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(3×4,5)＝eq\f(12,5)．∴Veq\s\do8(A1-B1CD)＝Veq\s\do8(C-A1B1D)＝eq\f(1,3)Seq\s\do8(△A1B1D)·CF＝eq\f(1,3)×10×eq\f(12,5)＝8．空間圖形的體積的求法(1)直接法：直接套用體積公式求解．(2)等體積轉化法：在三棱錐中，每一個面都可作為底面．為了求解的方便，我們經常需要換底，此法在求點到平面的距離時也常用到．(3)分割法：在求一些不規(guī)則的空間圖形的體積時，我們可以將其分割成規(guī)則的、易于求解的空間圖形．(4)補形法：對一些不規(guī)則(或難求解)的空間圖形，我們可以通過補形，將其補為規(guī)則(或易于求解)的空間圖形．[跟進訓練]1．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA＝a，AB＝AC＝2a，∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，求三棱錐P-ABC的體積．[解]∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC為正三角形，設D為BC的中點，連接AD，PD，作PO⊥平面ABC．∵∠PAB＝∠PAC且AB＝AC，∴O∈AD．作PE⊥AB于點E，連接OE，則OE⊥AB．在Rt△PAE中，PE＝asin60°＝eq\f(\r(3),2)a，AE＝eq\f(a,2)．在Rt△AEO中，OE＝eq\f(a,2)tan30°＝eq\f(\r(3),6)a．∴OP＝eq\r(PE2－OE2)＝eq\f(\r(6),3)a．又S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\r(3)a2．∴VP-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·OP＝eq\f(\r(2),3)a3．類型2旋轉體的體積【例2】圓臺上底的面積為16πcm2，下底半徑為6cm，母線長為10cm，那么圓臺的側面積和體積各是多少？[解]如圖，由題意可知，圓臺的上底圓半徑為4cm，于是S圓臺側＝π(r＋r′)l＝100π(cm2)．圓臺的高h＝BC＝eq\r(BD2－OD－AB2)＝eq\r(102－6－42)＝4eq\r(6)(cm)，V圓臺＝eq\f(1,3)h(S＋eq\r(SS′)＋S′)＝eq\f(1,3)×4eq\r(6)×(16π＋eq\r(16π×36π)＋36π)＝eq\f(304\r(6)π,3)(cm3)．求臺體的體積關鍵是求高，為此常將有關計算轉化為平面圖形三角形或特殊四邊形來計算.對于棱臺往往要構造直角梯形和直角三角形；在旋轉體中通常要過旋轉軸作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形.[跟進訓練]2．如圖，△ABC的三邊長分別是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，求所得旋轉體的表面積和體積．[解]如圖所示，所得的旋轉體是兩個底面重合的圓錐的組合體，高的和AB＝5，底面半徑DC＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(12,5)，故S表＝π·DC·(BC＋AC)＝eq\f(84,5)π，V＝eq\f(1,3)π·CD2·DA＋eq\f(1,3)π·CD2·BD＝eq\f(1,3)π·CD2·(DA＋BD)＝eq\f(48,5)π．類型3空間圖形的外接圓內切球的問題【例3】已知正四面體的棱長為a，四個頂點都在同一個球面上，試求這個球的表面積和體積．正四面體的頂點都在同一個球面上，球心和正四面體的中心什么關系？球心與正四面體各頂點的距離與球的半徑什么關系？[解]如圖所示，設正四面體P-ABC的高為PO1，球的球心為O，半徑為R，則AO1＝eq\f(\r(3),3)AB＝eq\f(\r(3),3)a．在Rt△PO1A中，PO1＝eq\r(PA2－AO\o\al(2,1))＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),3)a，在Rt△OO1A中，AO2＝AOeq\o\al(2,1)＋OOeq\o\al(2,1)，即R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)a－R))eq\s\up12(2)，解得R＝eq\f(\r(6),4)a．所以球的表面積S＝4πR2＝4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),4)a))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,2)πa2，體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),4)a))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(6),8)πa3．處理有關空間圖形外接球的問題時，要注意球心的位置與空間圖形的關系，一般情況下，由于球的對稱性，球心總是在空間圖形的特殊位置，比如中心、對角線中點等.該類問題的求解就是根據(jù)空間圖形的相關數(shù)據(jù)求球的直徑或半徑.[跟進訓練]3．已知過球面上三點A，B，C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球面面積與球的體積．[解]如圖，設球心為O，球半徑為R，作OO1⊥平面ABC于點O1，由于OA＝OB＝OC＝R，則O1是△ABC的外心，設M是AB的中點，由于AC＝BC，則O1∈CM．設O1M＝x，易知O1M⊥AB，則O1A＝eq\r(22＋x2)，O1C＝CM－O1M＝eq\r(62－22)－x．又O1A＝O1C，∴eq\r(22＋x2)＝eq\r(62－22)－x，解得x＝eq\f(7\r(2),4)．∴O1A＝O1B＝O1C＝eq\f(9\r(2),4)．在Rt△OO1A中，O1O＝eq\f(R,2)，∠OO1A＝90°，OA＝R，由勾股定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9\r(2),4)))eq\s\up12(2)＝R2，解得R＝eq\f(3\r(6),2)，則S球＝4πR2＝54π，V球＝eq\f(4,3)πR3＝27eq\r(6)π．1．已知棱長為a的正方體，甲球是正方體的內切球，乙球是正方體的外接球，丙球與正方體的各棱都相切，則甲、乙、丙三球的表面積之比為()A．1∶3∶eq\f(9,4) B．1∶3∶2C．1∶eq\r(3)∶eq\r(2) D．1∶eq\f(3,2)∶eq\r(2)B[由甲球是正方體的內切球，設甲球的半徑為R1，則2R1＝a，所以R1＝eq\f(a,2)，所以甲球的表面積S1＝4πReq\o\al(2,1)＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＝πa2．由乙球是正方體的外接球，設乙球的半徑為R2，則2R2＝eq\r(a2＋a2＋a2)＝eq\r(3)a，所以R2＝eq\f(\r(3)a,2)，所以乙球的表面積S2＝4πReq\o\al(2,2)＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,2)))eq\s\up12(2)＝3πa2．由丙球與正方體的各棱相切，設丙球的半徑為R3，則2R3＝eq\r(a2＋a2)＝eq\r(2)a，所以R3＝eq\f(\r(2)a,2)，所以丙球的表面積S3＝4πReq\o\al(2,3)＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,2)))eq\s\up12(2)＝2πa2．所以S1∶S2∶S3＝πa2∶3πa2∶2πa2＝1∶3∶2．故選B．]2．圓臺上底面半徑為2，下底面半徑為6，母線長為5，則圓臺的體積為()A．40πB．52πC．50πD．eq\f(212,3)πB[作出圓臺的軸截面如圖所示，過D作DE⊥NC于點E．由已知得上底面半徑MD＝2，下底面半徑NC＝6，則EC＝6－2＝4．由CD＝5得DE＝3，即圓臺的高為3．所以圓臺的體積V＝eq\f(1,3)×3π×(22＋2×6＋62)＝52π．故選B．]3．紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明朝正德年間．紫砂壺的壺型眾多，經典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等．其中，石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺．如圖給出了一個石瓢壺的相關數(shù)據(jù)(單位：cm)，那么該壺的容量約為()A．100cm3B．200cm3C．300cm3D．400cm3B[如圖，設小圓錐的高為xcm，則eq\f(x,x＋4)＝eq\f(3,5)，解得x＝6．所以該壺的容量為eq\f(π×52×10,3)－eq\f(π×32×6,3)＝eq\f(196π,3)≈200(cm3)，故選B．]4．如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內孔半徑為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是________cm3．12eq\r(3)－eq\f(π,2)[此六角螺帽毛壞的體積V＝V正六棱柱－V圓柱＝6×eq\f(\r(3),4)×22×2－eq\f(1,4)π×2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12\r(3)－\f(π,2)))cm3．]5．如圖，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水，若放入一個半徑為r的實心鐵球，水面高度恰好升高r，則eq\f(R,r)＝________．eq\f(2\r(3),3)[由題可知，鐵球的體積等于水面上升的體積，因此有eq\f(4,3)πr3＝πR2r，化