燕博園聯(lián)考2020屆高三綜合能力測(cè)試（全國卷I）數(shù)學(xué)（理）試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精燕博園聯(lián)考2020屆高三綜合能力測(cè)試（全國卷I）數(shù)學(xué)（理）試題含解析燕博園聯(lián)考2020屆高三年級(jí)綜合能力測(cè)試(CAT）（一）理科數(shù)學(xué)（全國卷)詳解版一、選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1。已知全集為,集合，則(）A。 B。 C。 D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)于集合,求得函數(shù)的定義域,再求得補(bǔ)集；對(duì)于集合，解得一元二次不等式,再由交集的定義求解即可.【詳解】,，。故選：D【點(diǎn)睛】本題考查集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算,考查具體函數(shù)的定義域,考查解一元二次不等式.2。復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（)A。第一象限 B.第二象限 C。第三象限 D。第四象限【答案】B【解析】【分析】設(shè),則,可得,即可得到，進(jìn)而找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限?！驹斀狻吭O(shè),則，，，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第二象限.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限,考查復(fù)數(shù)的模，考查運(yùn)算能力.3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A。45 B。42 C。25 D.36【答案】D【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，進(jìn)而代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式即可?！驹斀狻坑深},.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和。4.函數(shù)的圖象大致為（）A。 B。C。 D。【答案】A【解析】【分析】先判斷的奇偶性,即可排除B，C；再由,即可排除D.【詳解】由題,顯然定義域?yàn)?設(shè)，則,所以函數(shù)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,排除B，C;且當(dāng)時(shí)，,排除D，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查圖象的識(shí)別，考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題。5。音樂，是用聲音來展現(xiàn)美，給人以聽覺上的享受,熔鑄人們的美學(xué)趣味．著名數(shù)學(xué)家傅立葉研究了樂聲的本質(zhì)，他證明了所有的樂聲都能用數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述，它們是一些形如的簡單正弦函數(shù)的和，其中頻率最低的一項(xiàng)是基本音，其余的為泛音．由樂聲的數(shù)學(xué)表達(dá)式可知,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱為基本音的諧波．下列函數(shù)中不能與函數(shù)構(gòu)成樂音的是(）A。 B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】由基本音的諧波的定義可得，利用可得，即可判斷選項(xiàng)?！驹斀狻坑深},所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍，稱為基本音的諧波，由,可知若，則必有,故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期與頻率,考查理解分析能力.6。已知為非零向量，“"為“”（）A.充分不必要條件 B.充分必要條件C。必要不充分條件 D。既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由數(shù)量積的定義可得,為實(shí)數(shù)，則由可得,根據(jù)共線的性質(zhì),可判斷;再根據(jù)判斷，由等價(jià)法即可判斷兩命題的關(guān)系.【詳解】若成立,則，則向量與的方向相同，且,從而,所以；若，則向量與的方向相同,且,從而,所以。所以“”為“”充分必要條件。故選:B【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件的判定，考查相等向量的判定，考查向量的模、數(shù)量積的應(yīng)用.7.把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象．給出下列四個(gè)命題①的值域?yàn)棰诘囊粋€(gè)對(duì)稱軸是③的一個(gè)對(duì)稱中心是④存在兩條互相垂直的切線其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由圖象變換的原則可得,由可求得值域；利用代入檢驗(yàn)法判斷②③;對(duì)求導(dǎo)，并得到導(dǎo)函數(shù)的值域,即可判斷④.【詳解】由題,，則向右平移個(gè)單位可得,，的值域?yàn)?①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，,所以是函數(shù)的一條對(duì)稱軸,②正確；當(dāng)時(shí)，,所以的一個(gè)對(duì)稱中心是，③正確；,則,使得，則在和處的切線互相垂直，④正確。即②③④正確，共3個(gè)。故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像變換，考查代入檢驗(yàn)法判斷余弦型函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心,考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用。8。窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙,是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一,它歷史悠久,風(fēng)格獨(dú)特，神獸人們喜愛．下圖即是一副窗花，是把一個(gè)邊長為12的大正方形在四個(gè)角處都剪去邊長為1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四個(gè)角處再剪出邊長全為1的一些小正方形．若在這個(gè)窗花內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)不落在任何一個(gè)小正方形內(nèi)的概率是(）A B. C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】由幾何概型可知,概率應(yīng)為非小正方形面積與窗花面積的比，即可求解.【詳解】由題，窗花的面積為,其中小正方形的面積為,所以所求概率,故選：D【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。9。已知三棱錐且平面，其外接球體積為(）A。 B。 C. D。【答案】A【解析】【分析】由，平面，可將三棱錐還原成長方體，則三棱錐的外接球即為長方體的外接球，進(jìn)而求解?！驹斀狻坑深}，因?yàn)?所以，設(shè)，則由,可得,解得,可將三棱錐還原成如圖所示的長方體，則三棱錐的外接球即為長方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為，則，所以,所以外接球的體積.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球體積,考查空間想象能力.10。一個(gè)盒子里有4個(gè)分別標(biāo)有號(hào)碼為1，2，3，4的小球,每次取出一個(gè)，記下它的標(biāo)號(hào)后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標(biāo)號(hào)最大值是4的取法有(）A。17種 B.27種 C。37種 D.47種【答案】C【解析】【分析】由于是放回抽取，故每次的情況有4種,共有64種；先找到最大值不是4的情況，即三次取出標(biāo)號(hào)均不為4的球的情況,進(jìn)而求解.【詳解】所有可能的情況有種，其中最大值不是4的情況有種，所以取得小球標(biāo)號(hào)最大值是4的取法有種,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查古典概型,考查補(bǔ)集思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題。11。已知雙曲線的焦距為，若的漸近線上存在點(diǎn)，使得經(jīng)過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直,則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A。 B. C。 D.【答案】B【解析】【分析】由可得；由過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直可得,又焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為,則,進(jìn)而求解。詳解】,所以離心率,又圓是以為圓心,半徑的圓,要使得經(jīng)過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直，必有，而焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為,所以,即,所以,所以雙曲線的離心率的取值范圍是.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用.12。點(diǎn)在曲線上,過作軸垂線，設(shè)與曲線交于點(diǎn)，，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)始終為0，則稱點(diǎn)為曲線上的“水平黃金點(diǎn)”，則曲線上的“水平黃金點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為（)A.0 B。1 C。2 D.3【答案】C【解析】【分析】設(shè),則,則，即可得,設(shè)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即為所求?！驹斀狻吭O(shè),則,所以,依題意可得,設(shè)，則，當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),，則單調(diào)遞增，所以，且，有兩個(gè)不同的解,所以曲線上的“水平黃金點(diǎn)"的個(gè)數(shù)為2。故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)問題,考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上．13.拋物線上到其焦點(diǎn)距離為5的點(diǎn)有_______個(gè)．【答案】2【解析】【分析】設(shè)符合條件的點(diǎn),由拋物線的定義可得，即可求解。【詳解】設(shè)符合條件的點(diǎn)，則,所以符合條件的點(diǎn)有2個(gè).故答案為:2【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義的應(yīng)用，考查拋物線的焦半徑。14.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)_______．【答案】【解析】【分析】先求得時(shí);再由可得時(shí),兩式作差可得，進(jìn)而求解?！驹斀狻慨?dāng)時(shí)，，解得；由，可知當(dāng)時(shí),,兩式相減,得,即,所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查由與的關(guān)系求通項(xiàng)公式，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用。15.對(duì)任意正整數(shù),函數(shù)，若，則的取值范圍是_________；若不等式恒成立,則的最大值為_________．【答案】（1）.(2).【解析】【分析】將代入求解即可；當(dāng)為奇數(shù)時(shí),，則轉(zhuǎn)化為,設(shè),由單調(diào)性求得的最小值;同理,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),，則轉(zhuǎn)化為，設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的最小值，進(jìn)而比較得到的最大值?！驹斀狻坑深}，,解得.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，由，得，而函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以,所以；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，,由，得,設(shè)，，單調(diào)遞增，,所以,綜上可知，若不等式恒成立,則的最大值為.故答案為:（1);(2)【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求最值,考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想.16。正方體中，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且平面，記與的軌跡構(gòu)成的平面為．①，使得；②直線與直線所成角的正切值的取值范圍是;③與平面所成銳二面角的正切值為；④正方體的各個(gè)側(cè)面中，與所成的銳二面角相等的側(cè)面共四個(gè)．其中正確命題的序號(hào)是________．（寫出所有正確命題的序號(hào))【答案】①②③④【解析】【分析】取中點(diǎn),中點(diǎn)，中點(diǎn),先利用中位線的性質(zhì)判斷點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段，平面即為平面，畫出圖形，再依次判斷:①利用等腰三角形的性質(zhì)即可判斷；②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設(shè)正方體的棱長為2，進(jìn)而求解；③由，取為中點(diǎn)，則，則即為與平面所成的銳二面角,進(jìn)而求解;④由平行的性質(zhì)及圖形判斷即可。【詳解】取中點(diǎn)，連接，則,所以,所以平面即為平面，取中點(diǎn),中點(diǎn),連接,則易證得，所以平面平面，所以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段，平面即為平面。①取為中點(diǎn),因?yàn)槭堑妊切?所以，又因?yàn)?所以，故①正確;②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設(shè)正方體的棱長為2,當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，直線與直線所成角最小,此時(shí),；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí)，直線與直線所成角最大，此時(shí),所以直線與直線所成角的正切值的取值范圍是,②正確；③與平面的交線為,且，取為中點(diǎn),則即為與平面所成的銳二面角,,所以③正確;④正方體的各個(gè)側(cè)面中，平面,平面,平面，平面與平面所成的角相等，所以④正確．故答案為:①②③④【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面的空間位置關(guān)系，考查異面直線成角,二面角，考查空間想象能力與轉(zhuǎn)化思想.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答．（一)必考題：共60分．17。在中，．（1)求的值；（2）點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），設(shè)，求的取值范圍．【答案】（1）（2)【解析】【分析】（1）先利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求得，再由求解即可；（2）在中，由正弦定理可得，則,再由求解即可?！驹斀狻拷猓海?)在中,，所以，所以（2)由(1）可知，所以,在中，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以?！军c(diǎn)睛】本題考查已知三角函數(shù)值求值，考查正弦定理的應(yīng)用.18.在四棱錐中,是等邊三角形，點(diǎn)在棱上，平面平面．（1）求證：平面平面；（2）若,求直線與平面所成角的正弦值的最大值；（3）設(shè)直線與平面相交于點(diǎn),若，求的值．【答案】（1）證明見解析(2）（3）【解析】【分析】（1)取中點(diǎn)為，連接，由等邊三角形性質(zhì)可得,再由面面垂直的性質(zhì)可得，根據(jù)平行直線的性質(zhì)可得,進(jìn)而求證;（2）以為原點(diǎn),過作的平行線,分別以,,分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè),由點(diǎn)在棱上，可設(shè)，即可得到,再求得平面的法向量，進(jìn)而利用數(shù)量積求解；（3)設(shè),，則,求得,,即可求得點(diǎn)的坐標(biāo),再由與平面的法向量垂直，進(jìn)而求解?！驹斀狻浚?）證明:取中點(diǎn)為,連接，因?yàn)槭堑冗吶切?所以，因?yàn)榍蚁嘟挥?，所以平面，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，在平面?nèi),所以,所以。（2）以為原點(diǎn),過作的平行線，分別以，,分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,，因?yàn)樵诶馍?可設(shè)，所以，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以，?令,可得，即,設(shè)直線與平面所成角為,所以,可知當(dāng)時(shí)，取最大值。(3)設(shè),則有,得,設(shè)，那么,所以,所以.因?yàn)?,所以。又因?yàn)?所以,，設(shè)平面的法向量為,則,即，,可得，即因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，所以，所以,所以，即，所以或者(舍），即.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明，考查空間向量法求線面成角，考查運(yùn)算能力與空間想象能力。19。某精密儀器生產(chǎn)車間每天生產(chǎn)個(gè)零件，質(zhì)檢員小張每天都會(huì)隨機(jī)地從中抽取50個(gè)零件進(jìn)行檢查是否合格,若較多零件不合格,則需對(duì)其余所有零件進(jìn)行檢查．根據(jù)多年的生產(chǎn)數(shù)據(jù)和經(jīng)驗(yàn)，這些零件的長度服從正態(tài)分布（單位：微米)，且相互獨(dú)立．若零件的長度滿足，則認(rèn)為該零件是合格的，否則該零件不合格．(1）假設(shè)某一天小張抽查出不合格的零件數(shù)為，求及的數(shù)學(xué)期望;（2）小張某天恰好從50個(gè)零件中檢查出2個(gè)不合格的零件，若以此頻率作為當(dāng)天生產(chǎn)零件的不合格率．已知檢查一個(gè)零件的成本為10元，而每個(gè)不合格零件流入市場(chǎng)帶來的損失為260元．假設(shè)充分大，為了使損失盡量小，小張是否需要檢查其余所有零件，試說明理由．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則．【答案】（1）見解析(2）需要，見解析【解析】【分析】（1）由零件的長度服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立，零件的長度滿足即為合格，則每一個(gè)零件的長度合格的概率為，滿足二項(xiàng)分布，利用補(bǔ)集的思想求得，再根據(jù)公式求得；（2）由題可得不合格率為,檢查的成本為，求出不檢查時(shí)損失的期望,與成本作差,再與0比較大小即可判斷?！驹斀狻浚?),由于滿足二項(xiàng)分布，故。（2）由題意可知不合格率為,若不檢查,損失的期望為；若檢查，成本為，由于,當(dāng)充分大時(shí)，,所以為了使損失盡量小，小張需要檢查其余所有零件?！军c(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用,考查二項(xiàng)分布的期望,考查補(bǔ)集思想的應(yīng)用,考查分析能力與數(shù)據(jù)處理能力。20。已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為．（1)求橢圓的方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)且斜率存在的直線交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱．連接．求證：存在實(shí)數(shù)，使得成立．【答案】(1)（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由點(diǎn)可得,由，根據(jù)即可求解;（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得,設(shè),由韋達(dá)定理可得，再根據(jù)直線的斜率公式求得;由點(diǎn)B與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,可設(shè),可求得，則,即可求證。【詳解】解：（1）由題意可知,,又，得,所以橢圓的方程為（2）證明：設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,可得,設(shè),則有,因?yàn)椋?，又因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以，即,則有，由點(diǎn)在橢圓上，得，所以,所以，即，所以存在實(shí)數(shù),使成立【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線的斜率公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力。21。已知（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2)記，若存在實(shí)數(shù),使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)，求證:．【答案】（1）沒有極值點(diǎn)；(2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)可得，再求導(dǎo)可得，則在遞增,則,從而在遞增，即可判斷；（2）轉(zhuǎn)化問題為存在且,使,可得，由（1）可知，即，則，整理可得，則，設(shè),則可整理為,設(shè)，利用導(dǎo)函數(shù)可得，即可求證?！驹斀狻浚?）當(dāng)時(shí)，,,所以在遞增，所以,所以在遞增，所以函數(shù)沒有極值點(diǎn).（2）由題,，若存在實(shí)數(shù),使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn),即存在且,使.由可得，，由（1）可知,可得．,所以,即，下面證明,只需證明：，令,則證,即．設(shè),那么,所以,所以,即【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn),