二面角的求法 論文

二面角的求法摘要：高中階段有關(guān)二面角求法題型有兩種：有棱二面角、無(wú)棱二面角，求解二面角一般有兩種思路：通過(guò)定位出二面角平面角來(lái)求解二面角，不須定位平面角利用二面角的等價(jià)性質(zhì)來(lái)求解.本文依據(jù)這兩種解題思路根據(jù)不同的解題類型總結(jié)出了求解二面角的13種方法.關(guān)鍵詞：二面角；平面角；棱；定位；方法

1.引言

二面角及其平面角的概念是立體幾何最重要的概念之一，在歷年高考中幾乎都要涉及.尤其是在數(shù)學(xué)新課改的大環(huán)境下，要求對(duì)二面角求法的掌握變得更加靈活.二面角的概念發(fā)展、完善了空間角的概念；而二面角的平面角不但定量描述了兩相交平面的相對(duì)位置，同時(shí)它也是空間中線線、線面、面面位置關(guān)系的一個(gè)匯集點(diǎn).研究二面角的求法，可以進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力，為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力提供了一個(gè)良好的契機(jī).在求解二面角的問(wèn)題中，通常首先要定位出二面角的平面角，而這也是學(xué)生在解題中感到最為陌生和棘手的問(wèn)題.特別是若二面角的楞隱而不露其解題的難度又會(huì)增大.本文從二面角的概念定義入手，通過(guò)分類求解二面角的題型類別，探尋二面角的解題思路，并對(duì)二面角求解方法加以總結(jié)歸類.1.1二面角的相關(guān)概念新教材[1]在二面角中給出的定義如下：ABlB從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.定義只給出二面角的定性描述，關(guān)于二面角的定量刻畫還必須放到二面角的平面角中去研究.教材如下給出了二面角圖1O

O的平面角的概念：A二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一點(diǎn)O，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作射線AO,BOl，則AOB為二面角l的平面角. 2.二面角的求解方法

對(duì)二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，從而將三維空間中的求角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二維空間并可以通過(guò)三角形的邊角問(wèn)題加以解決.定位出二面角為解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，下面就二面角求解的步驟做初步介紹：

一、“找”：找出圖形中二面角，若不能直接找到可以通過(guò)作輔助線補(bǔ)全圖形定位二面角的平面角

二、“證”：證明所找出的二面角就是該二面角的平面角

三、“算”：計(jì)算出該平面角

由于定位二面角的難度較大，對(duì)于求解二面角還有一種思路就是繞開(kāi)定位二面角這一環(huán)節(jié)，通過(guò)一些等價(jià)的結(jié)論或公式或用空間向量等方法來(lái)直接求出二面角的大小.本文將根據(jù)這兩種解題思路對(duì)二面角的解題方法做一一介紹. 2.1定位二面角的平面角，求解二面角

二面角常見(jiàn)題型中根據(jù)所求兩面是否有公共棱可分為兩類：有棱二面角、無(wú)棱二面角.對(duì)于前者的二面角的定位通常采用找點(diǎn)、連線或平移等手段來(lái)定位出二面角的平面角；而對(duì)于無(wú)棱二面角我們還必須通過(guò)構(gòu)造圖形如延展平面或找公垂面等方法使其有“無(wú)棱”而“現(xiàn)1棱”再進(jìn)一步定位二面角的平面角.

2.1.1直接法對(duì)于圖形中已有二面角的平面角，只要加以證明PE認(rèn)定，然后可直接計(jì)算求解.例1[2]如圖2，已知PA面ABC，ABBC,PC的垂直平分線DE交AC于D，交PC于E.PA=AB=1,PB=BC求二面角E-BD-C的大小.解：由PE=EC,PB=BC知PCBE,且PCDE,可ADC知PC面BDE.因BD?面BDE可得BDPC.由PA面ABC,BD面ABC知BDPA，且BDPC知BD面PAC.又因DE,DC?面PAC,故知BDDE,BDDC.于是可知∠CDE是二面角E-BD-C圖2B的平面角.由PA=AB=1得PB=BC= 2.因PA面ABC,BCAB,有BCPB,可得PC=2.在RT?PAC中，∠ACP=30,可得在RT?CDE中，∠CDE=60.所以二面角E-BD-C的大小為60 2.1.2定義法

根據(jù)二面角平面角的定義，其解題步驟一般既是：定棱，找點(diǎn)，連線，解答。即：在二面角棱上選擇恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)作出二面角的平面角，如抓住共底的等腰三角形的性質(zhì)選擇公共棱的中點(diǎn)連接得到二面角；在兩個(gè)平面為共底且對(duì)應(yīng)全等的三角形，可以選擇公共垂足連線得到二面角的平面角等。例2在如圖3所示的三棱錐P-ABC中，AB=AC=PB=PC=2,BC=22,PA=2.求二面P角P-BC-A的大小. 解：作BC中點(diǎn)D，連接PD,AD.因

PB=PC=AB=AC，知PDBC,ADBC,又有面PBC與面ABC共棱可得∠PDA為二面角.ACP-BC-A的平面角.而AB=2,BC=22,易知DAD=PD=2,在RT?PAD中，PA21圖3BcosPDAPD2AD22PDAD.2所以二面角P-BC-A的大小為6022.1.3三垂線（逆）定理法根據(jù)三垂線定理及其逆定理，如圖4所圖4P示在半平面內(nèi)找一點(diǎn)P，作PO面于O,并從垂足O作棱的垂線OA交棱于A點(diǎn)，l 連接PA,則∠PAO就是二面角l的平面角.AOl例3在正方體ABCDA1B1C1D1中，O1為面A1B1C1D1中心，求二面角O1AC1D1的大小.解：在正方體ABCDA1B1C1D1中B1D1A1C1,且A1C1B1D1,B1D1C1面A1B1C1D1,故B1D1AC1，B1D1A1C1A1D1O1又A1C1,AC1面AC1A1,可知B1B1D1AC1A1ADMC過(guò)D1作D1MAC1于M，連接O1M則由三垂線（逆）定理可知D1MO1為二面角BO1AC1D1的平面角.不妨令A(yù)A12，于是，有圖52,O1M6，D1M26,OO133可得cosDMO1O1M1所以二面角O1AC1D11D1M2的大小為60 3.1.4垂面法

如果空間中有與二面角的棱垂直的平面，則該平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為二面角的平面角. 上述結(jié)論可進(jìn)一步引申：

推論1：空間中存在分別與二面角的兩個(gè)半平面垂直的平面，則該平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為二面角的平面角.3例4如圖6，二面角l內(nèi)一點(diǎn)P到兩個(gè)半平面、的距離分別為、12.到棱的距離為l10,求二面角l的大小.B解：作PA于A,PB于B,由PA、PPB確定的平面交于C點(diǎn),記llC.C由PA,PB而l，易知l圖6APAlPBl且PA,PB可得l.則ACB是二面角l的平面角.又PA,1PB2,PC10利用和角的余弦公式可求得cosACBcos(ACPPCB)22從而，知二面角l的大小為45.評(píng)注：以上四種方法是求解二面角的常用方法，也是在解決有棱二面角的通用方法.對(duì)于方法4，下再給出解決無(wú)棱二面角的一個(gè)例子.例5如圖7,在正三棱柱ABCA1B1C1中,截面A1EC側(cè)面AC1,若AA1A1B1,A求平面A1EC與平面A1B1C1所成二面角（銳角）的大小.C解:設(shè)A1CAC1G.因?yàn)槊鍭1C1G與面BGAC1重合,由題意面A1C1G面A1EC，而1A為面A1EC與面A1B1C1相交于棱上一點(diǎn)且A1面A1C1G，所以面A1C1G為所求二面角的一垂圖7EC1面，GA1C1為所求二面角的平面角.在正三棱柱ABCA1B1C1中,AA1A1B1,可知1AB1GA1C145故所求二面角的大小為45.2.2.1法向量法4若二面角l兩個(gè)半平面,的法向量分別為 n1,n2且知道二面角l為銳角（鈍角），則cos

n1

n2(cos

n1

n2),其中為二面角l的平面角.

n1

n2

n1

n2例6如圖15,在矩形ABCD外存在一點(diǎn)P，使PA面ABCD，PA=PB=1,BC=2.求二面角B-PC-D的大小.解:由題意建立如圖空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0)P(0,0,1)B(1,0,0)C(1,2,0)D(0,2,0)，設(shè)面PAC的法向量為

n1(x1,y1,z1),arccoszCDy面PCD的法向量

n2(x2,y2,z2)P則有由

n1PBn1PC0

n1)1,0,1(0A及n2PDn2PC0n2(2,1,0)B0得x圖15cos

n1

n2105105.

n1

n2注意到B-PC-D為鈍角，故B-PC-D的大小為3.2.1向量法

在中結(jié)論1可以進(jìn)一步引用向量的方法解決定理1設(shè)二面角l為，l于E，BFl于F，則，有BLA,Al,B,Bl;AEz EAFBcos

EA

FBA5A圖19MylxFEB圖18文[5]給出另一結(jié)論： 定理2如圖19，空間任一條直線L,A,B是直線L上的兩個(gè)點(diǎn)，M是空間任一點(diǎn),MNL于N,則

NM

AM

AM

AB

AB2

AB 利用上述兩結(jié)論我們可以利用空間坐標(biāo)向量計(jì)算二面角，避免產(chǎn)生二面角的平面角與其法向量夾角的誤判，同時(shí)又避免了對(duì)垂足M,N坐標(biāo)的判斷.例6[5]如圖20,已知正方形ABCD和矩形EzNACEF坐在平面相垂直，AB2,AF1,M是線段EF中點(diǎn)，求二面角A-DF-B的大小.解:如圖建立空間直角坐標(biāo)系MFBCxyz，則A(2,20,),B(,020,),DxCAyD(20,0,),F(2,2)1,.圖20作AMDF于M,BNDF的延長(zhǎng)線于N,則

MA與

NB所成的角的大小與二面角A-DF-B的大小相等.,23)2)

MA

DA

DM

DA DADF

DF2

DF(,023

NB

MADB

DN

DB DBDF

DF2

DF(2,2,33cos

MA

NB1

MA

NB2故二面角A-DF-B的大小為60.6 小結(jié)

評(píng)注：本文給出了二面角的相關(guān)求法以及一些例題，對(duì)于二面角的解題策略按照求作二面角的平面角和無(wú)需定位二面角的平面角兩種思路來(lái)分別加以介紹.本文試圖按照這兩種思路分二面角的兩種題型加以說(shuō)明概括. 這13種方法動(dòng)用了數(shù)學(xué)上的集中解題思想：轉(zhuǎn)化思想、類比思想、建構(gòu)圖像思想、將維思想等，下對(duì)以上這些方法和思想進(jìn)一步加以歸類，以便于后來(lái)者研究和總結(jié).參考文獻(xiàn):

[1]劉紹學(xué)等.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)2[M].北京：人民教育出版社20052：75-79.[2]鄧亞軒.二面角的求解方法綜述[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2002，20（1）：007-009.[3]祁福元.例說(shuō)平面角定位的幾種途徑[J].數(shù)學(xué)大世界（高中版），2004，03（1）：004-005.[4]幕澤剛.做平面角的二面角的常見(jiàn)技巧[J].高中數(shù)理化，2004，04（1）：012-013.[5]黃耿躍.利用向量求二面角大小的又一方法[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2006，02（1）：029-030.[6]袁擁軍.從一道課本習(xí)題談二面角的求法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)參考，2004，07（1）：027-029.[7]李慧君等.立體幾何[M].北京：人民教育出版社，19903：47-49.[8]王紅芳，龍妹香等.無(wú)棱二面角求解初探[J].銅仁學(xué)院報(bào)，2008，02（2）：124-128.[9]A.V.SerovandB.M.Bolotovskii.ApplicationoftheMethodofImagesintheProblemsofTransitionRadiationinaDihedralAngle[J].JOURNALOFEXPERIMENTALANDTHEORETICALPHYSICS，2007，104（6）：867-871.[10]L.FELBERBAUM,A.ROSSOLL,A.MORTENSEN.Astereoscopicmethodfordihedralanglemeasurement[J].JOURNALOFMATERIALSSCIENCE，2005，40（1）：3121-3127.Abstract:Therearetwotypesofsolvingdihedralanglefromthemathematicalprobleminth