基于混合分布單因子模型的CDO定價問題

基于混合分布單因子模型的CDO定價問題

0引言債務抵押證券(CDO)，它是以抵押債務信用為基礎，通過各種資產證券化技術，對債券、貸款等資產組建資產池，重新分割投資回報和風險，以滿足不同投資者需要的衍生證券產品。投資者通過承擔資產池的違約損失，獲取CDO發(fā)起人定期支付的權利金（即CDO的公允價格）。在交易過程中，資產池抵押資產組合所發(fā)生的損失首先被股權級分券層承擔，然后依次由低級分券層、中級分券層及高級分券層承擔，分券層級別越高所承擔的風險越低（所獲得的權利金也相應降低）。舉例來說，設分券層為，當資產池累積損失比例小于這個分券層的下界時，投資者不承擔任何損失；如果累積損失大于這個分券層比例的下界但小于上界時，這個分券層的投資者需承擔損失的比例為超過的部分；一旦累積損失比例超過，則這個分券層的投資者需承擔的損失比例為，超出部分對該分券層的投資者不產生作用，且每一分券層的下界對應于前一分券層的上界。所謂CDO定價，即給出CDO不同分券層的公允價格（即權利金），其定價核心是資產池抵押資產違約損失聯合概率分布的計算，具有代表性的模型是基于半解析方法的常相關系數單因子高斯模型[1-3]。但是，在對分券層市場數據進行擬合計算時發(fā)現相關系數不是常數，而是不同的取值，存在“相關系數偏離”現象[4-5]，主要由高斯模型不能徹底解決厚尾現象及CDO發(fā)行交易過程中單個資產的分券層級別發(fā)生變化所致。于是，為解決該問題涌現了很多處理方法，主要有兩種途徑：一種是隨機相關系數的引入[6]；另一種方法是引進不同的厚尾分布[7]模型，主要有：α穩(wěn)態(tài)分布[8]，雙t分布[2]，正態(tài)逆高斯(NIG)分布[9]。近來，LaurentJ-P和GregoryJ[10]利用高斯混合分布的因子模型對CDO分券層定價，且發(fā)現基于該混合分布的因子模型比單一分布的因子模型處理數據擬合時效果更好，但是他們沒有考慮隨機相關系數問題?；诖?，結合正態(tài)逆高斯分布的厚尾特性，本文引入NIG和標準高斯的混合分布，建立了具有隨機相關系數的單因子模型，即單因子Copula混合分布模型。本文首先介紹了CDO的發(fā)展及由高斯分布和正態(tài)逆高斯分布構成的混合分布等預備知識，然后給出了CDO分券層定價的半解析方法，最后給出了基于隨機相關系數的混合分布單因子模型，進一步給出了貝努利相關和三狀態(tài)相關兩種隨機相關系數條件下的CDO抵押資產組合累積損失的聯合概率分布。1預備知識定義1.1（NIG分布）NIG分布（正態(tài)逆高斯分布—normalinverseGaussiandistribution[9,11]）是正態(tài)分布和逆高斯分布的混合分布。若隨機變量U服從參數為α，β，μ和δ的NIG（α，β，μ，δ）分布，則其密度函數為2GDO定價的半解析法CDO定價就是給CDO不同分券層賦以公允價格。下面從投資者的角度——即從投資者的損失面(DL-DefaultLeg)和收益面(PL-PremiumLeg)進行分析，損失面是當抵押資產發(fā)生違約時投資者投資相應分券層所承擔的損失金額現值，而收益面是投資者投資相應分券層所獲得的收益金額現值，在風險中性的條件下，損失面的期望值必須等于收益面的期望值，即3模型及其累積損失的聯合概率分布在考慮由標準高斯分布和NIG分布組成的混合分布的前提下，這一節(jié)主要討論基于該混合分布的單因子Copula模型的CDO資產池的累積違約損失概率分布。首先給出混合分布的單因子模型，定義如下：下一步工作將在隨機相關系數的前提下，基于型分析CDO抵押資產組合的聯合違約概率分布問題，重點討論兩種隨機相關系數的情形：貝努利相關系數和三狀態(tài)相關系數，這兩種情形適用于在CDO發(fā)行交易過程中，由于單個資產的分券層級別可能發(fā)生升級或降級的情況（同一資產的分券層級別在不同時間段上可能發(fā)生升級、降級、甚至兩者兼有），進而引起相關系數發(fā)生變化的情況。3.1貝努利相關系數Ⅰ）當，此狀態(tài)表示該資產價值僅依賴于自身異質因子而與市場共同因子無關，該資產的違約對資產池中的其他資產沒有影響。2005年福特公司信用價差升高、信用評級降低，使得資產池中資產組合的異質風險加大，并直接導致股權分券層風險溢價的提高，便是此狀態(tài)的一個明顯例證。Ⅱ）當，此狀態(tài)表示資產價值只取決于市場共同因子而與自身異質因子無關，例如當宏觀經濟