復(fù)變函數(shù)第二章習(xí)題

1-6題中：1）只要不滿(mǎn)足C-R條件，必定不能導(dǎo)、不能微、不剖析2）可導(dǎo)、可微的證明：求出一階偏導(dǎo)ux,uy,vx,vy，只要一階偏導(dǎo)存在且連續(xù)，同時(shí)滿(mǎn)足C-R條件。3）剖析兩種情況：第一種函數(shù)在地域內(nèi)剖析，只要在地域內(nèi)各處可導(dǎo)，就各處剖析；第二種情況函數(shù)在某一點(diǎn)剖析，只要函數(shù)在該點(diǎn)及其鄰域內(nèi)各處可導(dǎo)則在該點(diǎn)剖析，若是只在該點(diǎn)可導(dǎo)，而在其鄰域不能導(dǎo)則在該點(diǎn)不剖析。4）剖析函數(shù)的虛部和實(shí)部是調(diào)停函數(shù)，而且實(shí)部和虛部守C-R條件的限制，證明函數(shù)地域內(nèi)剖析的另一個(gè)方法為：其實(shí)部和虛部滿(mǎn)足調(diào)停函數(shù)和C-R條件，反過(guò)來(lái)，若是函數(shù)實(shí)部也許虛部不滿(mǎn)足調(diào)停函數(shù)也許C-R條件則必定不是剖析函數(shù)。剖析函數(shù)求導(dǎo)：f(z)uxivx4、若函數(shù)f(z)在地域D上剖析，并滿(mǎn)足以下的條件，證明f(z)必為常數(shù)。（1）證明：由于f(z)在地域上剖析，所以。令f(z)u(x,y)iv(x,y)，即uv,uvf(z)uiv0。xyyxxy由復(fù)數(shù)相等的定義得：uvuv。xy0,0yx所以，u(x,y)C1(常數(shù))，v(x,y)C2(常數(shù))，即f(z)C1iC2為常數(shù)。5、證明函數(shù)在平面上剖析，并求出其導(dǎo)數(shù)。1）證明：設(shè)=則，；；滿(mǎn)足

uv,uv。xyyx即函數(shù)在平面上(x,y)可微且滿(mǎn)足C-R條件，故函數(shù)在平面上解析。8、（1）由已知條件求剖析函數(shù)ux2y2xy，f(i)1i。f(z)uiv，解：由于函數(shù)剖析，依照C-R條件得uxvy2xy于是y2v2xy(x)2其中(x)是x的待定函數(shù)，再由C—R條件的另一個(gè)方程得vx2y(x)uy2yx，所以(x)x，即(x)x2c。2于是v2xyy2x2c22又由于f(i)1i，所以當(dāng)x0,y1，時(shí)u111，vc1得c22所以22xyy2x21f(z)xyi(2xy2)。229、提示：剖析函數(shù)的實(shí)部和虛部為調(diào)停函數(shù)，只要該函數(shù)不是調(diào)停函數(shù)則它就不能夠做為剖析函數(shù)的實(shí)部或虛部。10、提示：求出實(shí)部和虛部對(duì)x，y的一階偏導(dǎo)，若不滿(mǎn)足C-R條件則必定不是剖析函數(shù)，若滿(mǎn)足C-R條件，同時(shí)滿(mǎn)足一階偏導(dǎo)存在且連續(xù)則為剖析函數(shù)。14.若zxiy，試證：（1）sinzsinxchyicosxshy。證：==18、解方程（1）ez1i3解：ez1i3i(2k)其中k0,1,2,......2e3則zi(32k)ln2i(2k)Ln[2e]3（2）lnzi。2解：即設(shè)，得，即。20、（2）3ieiLn3eiln3cos(ln3)isin(ln3)試求(1i)i,3i,ii,e2i及Ln(1i)。解：（1）(1i)ieLn[(1i)i]eiLn(1i)由于Ln(1i(2k)i(2k)i)Ln[2e4]ln24所以(1iiLn(1i)iln2(2k)2ln2(2k)i)ee4e4ek0,1,2,......（3）iieiLniLniLnei(2k)i(2k)22iieiLni(22k)ek0,1,2,......（4）e2ie2eie2(cos1isin1)（5）Ln(1i)i(2k)i(2k)Ln[2e4]ln2422，求證limsinz