數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練 第一章 建立數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練第一章建立數(shù)學(xué)模型第1頁，共33頁，2023年，2月20日，星期六玩具、照片、房屋模型……~實(shí)物模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號模型模型：為了一定目的，對原型的主要特征進(jìn)行簡化、抽象得到的一個(gè)低代價(jià)近似替代物。你常見的模型數(shù)學(xué)模型：通過抽象和簡化，使用數(shù)學(xué)語言對實(shí)際對象的刻畫，以便于人們更深刻地了解所研究的對象,從而更有效地解決實(shí)際問題。1.1

什么是數(shù)學(xué)模型第2頁，共33頁，2023年，2月20日，星期六解：用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時(shí)20千米/小時(shí).甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問船的速度是多少?x=20y=5求解你熟悉的數(shù)學(xué)模型——“航行問題”第3頁，共33頁，2023年，2月20日，星期六作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；用符號表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；回答問題（船速每小時(shí)20千米/小時(shí)）。航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟That’sall？第4頁，共33頁，2023年，2月20日，星期六更現(xiàn)實(shí)的“航行問題”水速、船速不是常數(shù)；航行條件限制調(diào)度問題經(jīng)濟(jì)問題………第5頁，共33頁，2023年，2月20日，星期六擴(kuò)展閱讀：中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽

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=…=x0(1+r1/12)n-M[(1+r1/12)n-1+…+1]由于x0=A,xN1=0.那么A

(1+r1/12)N1-12M[(1+r1/12)N1-1]/r1=0這樣M=Ar1(1+r1/12)N1

/12/[(1+r1/12)N1-1]同理可以計(jì)算商業(yè)貸款月還款額第n月還款額公式第12頁，共33頁，2023年，2月20日，星期六等額本金情形月還本貸款本金／還款月數(shù)，利息月月清月還款額＝（貸款本金／還款月數(shù)）＋（所欠本金×當(dāng)月利率）第一個(gè)月公積金月還A/N1+Ar1/12第二個(gè)月公積金月還A/N1+(A-A/N1)r1/12….第N1個(gè)月公積金月還A/N1+A[1-(N1-1)/N1]r1/12第n月還款額公式第13頁，共33頁，2023年，2月20日，星期六后繼工作/例子收集數(shù)據(jù)，編寫軟件(界面\計(jì)算)，寫說明書。例子:80平米,單價(jià)15000元,首付30%,公積金40萬,期限20年,第一套房商業(yè)利率7.05%*0.85,公積金利率4.9%(2012年1月1日～6月7日).[T,F,M]=hmorgage2012(80,15000,0.3,400000,240,240,1)等額本息(1):5768元/月(總借84萬，約還138萬)等額本金(2):7331，7315，…,3516(約還130萬)第14頁，共33頁，2023年，2月20日，星期六習(xí)題補(bǔ)充題1:如果是第二套住房，且全部為商業(yè)貸款（基準(zhǔn)利率*1.1）,等額本息每個(gè)月要付多少?最新情況(2012年7月6日)：第一套房商業(yè)利率6.55%*0.85，公積金4.5%.補(bǔ)充題2:如果原案例（第一套）是2012年3月1日貸款買房，2013年的月還款將調(diào)整為多少？(提示：存量房貸利率每年1月1日調(diào)整一次,可假設(shè)2012年8月以后利率不再調(diào)整)第15頁，共33頁，2023年，2月20日，星期六一句話小結(jié)只要你留意，數(shù)學(xué)建模就在你身邊數(shù)學(xué)建模正在不斷更新中第16頁，共33頁，2023年，2月20日，星期六場景1.3示例：

如何施救藥物中毒兩位家長帶著孩子急匆匆來到醫(yī)院急診室.訴說兩小時(shí)前孩子一次誤吞下11片治療哮喘病、劑量100mg/片的氨茶堿片，已出現(xiàn)嘔吐、頭暈等不良癥狀.按照藥品使用說明書，氨茶堿的每次用量成人是100~200mg，兒童是3~5mg/kg.過量服用可使血藥濃度(單位血液容積中的藥量)過高，濃度100μg/ml會出現(xiàn)嚴(yán)重中毒,濃度200μg/ml可致命.醫(yī)生需要判斷：孩子的血藥濃度會不會達(dá)到100~200μg/ml；如果會達(dá)到，應(yīng)采取怎樣的緊急施救方案.第17頁，共33頁，2023年，2月20日，星期六調(diào)查與分析轉(zhuǎn)移率正比于x排除率正比于y胃腸道血液系統(tǒng)口服藥物體外認(rèn)為血液系統(tǒng)內(nèi)藥物的分布，即血藥濃度是均勻的，可以將血液系統(tǒng)看作一個(gè)房室，建立“一室模型”

.藥量x(t)藥量y(t)血液系統(tǒng)對藥物的吸收率和排除率可以由半衰期(下降一半所需時(shí)間)確定.半衰期可以從藥品說明書上查到(氨茶堿被吸收的半衰期為5h，排除的半衰期為6h)

.第18頁，共33頁，2023年，2月20日，星期六通常，血液總量約為人體體重的7%

~8%，體重50~60kg的成年人有4000ml左右的血液.目測這個(gè)孩子的體重約為成年人的一半，可認(rèn)為其血液總量約為2000ml.調(diào)查與分析血藥濃度=藥量/血液總量口服活性炭來吸附藥物，可使藥物的排除率增加到原來（人體自身）的2倍.臨床施救的辦法：體外血液透析，藥物排除率可增加到原來的6倍，但是安全性不能得到充分保證.第19頁，共33頁，2023年，2月20日，星期六模型假設(shè)

1.胃腸道中藥物向血液的轉(zhuǎn)移率與x(t)成正比，比例系數(shù)λ(>0)，總劑量1100mg藥物在t=0瞬間進(jìn)入胃腸道,x(0)=1100.2.血液系統(tǒng)中藥物的排除率與y(t)成正比，比例系數(shù)μ(>0)，t=0時(shí)血液中無藥物,y(0)=0.3.氨茶堿被吸收的半衰期為5h，排除的半衰期為6h.4.孩子的血液總量為2000ml.胃腸道中藥量x(t),血液系統(tǒng)中藥量y(t)，時(shí)間t以孩子誤服藥的時(shí)刻為起點(diǎn)（t=0）.第20頁，共33頁，2023年，2月20日，星期六模型建立轉(zhuǎn)移率正比于x排除率正比于y胃腸道血液系統(tǒng)口服藥物體外藥量x(t)藥量y(t)???注意:藥物的轉(zhuǎn)移\排除并不是勻速的!第21頁，共33頁，2023年，2月20日，星期六模型建立x(t)下降速度與x(t)成正比(比例系數(shù)λ),轉(zhuǎn)移率正比于x排除率正比于y胃腸道血液系統(tǒng)口服藥物體外藥量x(t)藥量y(t)y(t)由吸收而增長的速度是λx，由排除而減少的速度與y(t)成正比(比例系數(shù)μ).血藥濃度=藥量/血液總量x(0)=1100y(0)=0第22頁，共33頁，2023年，2月20日，星期六模型求解

藥物吸收的半衰期為5h藥物排除的半衰期為6h只考慮血液對藥物的排除第23頁，共33頁，2023年，2月20日，星期六血液總量2000ml血藥濃度200μg/ml結(jié)果及分析胃腸道藥量血液系統(tǒng)藥量血藥濃度100μg/mly(t)=200mg嚴(yán)重中毒y(t)=400mg致命t=1.62t=4.87t=7.89y=442孩子到達(dá)醫(yī)院前已嚴(yán)重中毒，如不及時(shí)施救，約3h后將有生命危險(xiǎn)！y(2)=236.5第24頁，共33頁，2023年，2月20日，星期六施救方案

口服活性炭使藥物排除率μ增至原來的2倍.

孩子到達(dá)醫(yī)院(t=2)就開始施救，血液中藥量記作z(t)λ=0.1386(不變)，μ=0.1155×2=0.2310注意：施救前的

μ與施救后的

μ不同，須分段計(jì)算！第25頁，共33頁，2023年，2月20日，星期六施救方案

t=5.26z=318施救后血液中藥量z(t)顯著低于y(t).

z(t)最大值低于致命水平.要使z(t)在施救后立即下降，可算出μ至少應(yīng)為0.4885.若采用體外血液透析，μ可增至0.1155×6=0.693，血液中藥量下降更快(習(xí)題7)；臨床上是否需要采取這種辦法，當(dāng)由醫(yī)生綜合考慮并征求病人家屬意見后確定.第26頁，共33頁，2023年，2月20日，星期六一句話小結(jié)數(shù)學(xué)建模用數(shù)學(xué)方法可以幫助我們（以較低的成本）對情況的發(fā)展做預(yù)判，從而幫助我們做出正確的決策。數(shù)學(xué)模型：通過抽象和簡化，使用數(shù)學(xué)語言對實(shí)際對象的刻畫，以便于人們更深刻地了解所研究的對象,從而更有效地解決實(shí)際問題。第27頁，共33頁，2023年，2月20日，星期六習(xí)題P21:ex6,ex7第28頁，共33頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認(rèn)識，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機(jī)理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實(shí)例研究