數(shù)字信號處理0413十三

3.3.3關(guān)于正弦信號的抽樣例：對兩個(gè)正弦信號0410十二到此對正弦信號抽樣原則（P116）：在對一個(gè)未知頻率的正弦信號抽樣時(shí)，應(yīng)先用示波器觀察一下該信號以確定其頻率；抽樣頻率應(yīng)為信號頻率的整數(shù)倍，且倍數(shù)應(yīng)不小于3；由于在用快速傅里葉變換實(shí)現(xiàn)信號的頻譜分析時(shí)，往往要求數(shù)據(jù)的長度是2的整數(shù)倍，所以建議抽樣頻率應(yīng)取信號頻率的4倍，即每個(gè)周期抽四個(gè)點(diǎn)；對抽樣后的數(shù)據(jù)截短時(shí)，應(yīng)使截短后的數(shù)據(jù)包含整周期；在截短后的數(shù)據(jù)后面不宜補(bǔ)零以避免頻譜的泄露；以上三種傅里葉變換FS、FT、DTFT都是至少有一個(gè)域連續(xù)，不適合在計(jì)算機(jī)上處理。從數(shù)字計(jì)算的角度而言，我們希望時(shí)域和頻域都是離散的，從而有下面的DFT、DFS3.4離散周期序列的傅里葉級數(shù)周期序列不是絕對可和的，所以不能用傅里葉變換來表示。

但是，與連續(xù)周期時(shí)間信號可以用傅里葉級數(shù)表示類似，周期序列也可以用離散傅里葉級數(shù)(DFS)來表示。一、定義注意：（1）對于周期為N的周期序列，其離散傅里葉級數(shù)的諧波成份只有N個(gè)是獨(dú)立成分，這是與連續(xù)傅里葉級數(shù)不同之處(后者有無窮多個(gè)諧波成分)，基波為，k次諧波序列為。（2）周期序列的頻譜也是一個(gè)以N為周期的周期序列即：周期序列的離散傅里葉級數(shù)在頻域(即其系數(shù))也是一個(gè)周期序列。

為了書寫方便，通常令符號：這樣周期序列的傅里葉變換對可改寫為：

例：解：由定義式得：

其幅度特性如下圖所示。二、性質(zhì)

和都具有周期性，在時(shí)域和頻域之間具有嚴(yán)格的對偶關(guān)系

(1)線性(2)移位性證明：(3)調(diào)制特性(頻域移位)證明：練習(xí)：可見，X2(k)是對X1(k)的插值，形狀不變后面有講結(jié)果：n=0:7;x1n=cos(pi*n/4); X8k=fft(xn)；n=0:15;x2n=cos(pi*n/4); X16k=fft(x2n)；%每個(gè)正弦周期有8個(gè)樣點(diǎn),共一個(gè)正弦周期%每個(gè)正弦周期有8個(gè)樣點(diǎn),共兩個(gè)正弦周期Matlab程序：X8k：04000004

X16k：0080000000000080

3.5離散傅里葉變換（DFT）特別注意：但凡遇到DFT,有限長序列都是作為周期序列的一個(gè)周期來表示的，即隱含有周期性的意義（離散對應(yīng)周期）（點(diǎn)數(shù)為Ｎ的有限長序列和周期為Ｎ的周期序列，都是由Ｎ個(gè)值來定義的。）實(shí)質(zhì)上DFT就是將有限長序列作為周期序列的一個(gè)周期所進(jìn)行的離散變換。例：例：請大家計(jì)算其16點(diǎn)DFTMatlab求解：xn=ones(1,4);X4k=fft(xn)；X8k=fft(xn,8)；X16k=fft(xn,16)；結(jié)果：xn=1111X4k=4000X8k=41-2.4142i01-0.4142i01+0.4142i01+2.4142iX16k=43.0137-2.0137i1-2.4142i-0.2483-1.2483i

00.8341+0.1659i1-0.4142i0.4005-0.5995i

00.4005+0.5995i1+0.4142i0.8341-0.1659i0-0.2483+1.2483i1+2.4142i3.0137+2.0137iX8k=41-2.4142i01-0.4142i01+0.4142i01+2.4142iX16k=43.0137-2.0137i

1-2.4142i-0.2483-1.2483i

00.8341+0.1659i

1-0.4142i0.4005-0.5995i

00.4005+0.5995i

1+0.4142i0.8341-0.1659i0

-0.2483+1.2483i

1+2.4142i3.0137+2.0137i請找出X(k)哪些值對應(yīng)相等？序號01234567序號0123456789101112131415問題：在序列后補(bǔ)零，再做DFT，效果：插值練習(xí)：(P148-11)若是一個(gè)12點(diǎn)有限長序列，求其離散傅里葉變換。補(bǔ)12個(gè)零后再求DFT。

解：序列的DFT為：

如圖所示：

及其DFT變換(N=12)每個(gè)正弦周期有12個(gè)樣值，T=12Ts插值P149習(xí)題12，請練習(xí)習(xí)題16，請練習(xí)3.5.4離散傅里葉變換的性質(zhì)(1)線性由離散傅里葉變換的定義可知，離散傅里葉變換(DFT)的性質(zhì)本質(zhì)上與周期序列離散傅里葉級數(shù)(DFS)是一致的。都是點(diǎn)有限長序列

注意：若序列長度不同，需對較短的序列補(bǔ)零(2)序列的循環(huán)（圓周）移位即，把有限長序列x(n)看做是周期序列的一個(gè)周期可見在頻域只引入相移，對幅頻無影響可看做從前面移出去，從后面移進(jìn)來：圓周移位以N為周