數(shù)學(xué)教育心理學(xué)數(shù)學(xué)問題解決

數(shù)學(xué)教育心理學(xué)數(shù)學(xué)問題解決第1頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六一、什么是問題1.問題是一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)2.問題是一種刺激情景3.問題的含義第2頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六1.問題是一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)

如果對(duì)某人來說，一個(gè)系統(tǒng)的全部元素、元素的性質(zhì)和元素間的關(guān)系都是他所知道的，那么這個(gè)系統(tǒng)對(duì)于他來說就是一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng).

如果這個(gè)系統(tǒng)中的某些內(nèi)容是他所不知的，那么該系統(tǒng)對(duì)于他來說就是一個(gè)問題系統(tǒng)，即問題.如果這個(gè)問題系統(tǒng)的元素、性質(zhì)和關(guān)系都是有關(guān)數(shù)學(xué)的，那么它就是一個(gè)數(shù)學(xué)問題.

第3頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六

問題具有主觀性.一個(gè)系統(tǒng)能否成為一個(gè)問題，取決于認(rèn)識(shí)該系統(tǒng)的主體.它對(duì)于有些人而言是問題，但對(duì)于另一些人而言則不是問題.

例如：“已知直角三角形的兩條直角邊的長度，求其直角邊的長度.”

對(duì)于絕大多數(shù)小學(xué)生而言是一個(gè)問題，但對(duì)于高中生而言則不成為問題.第4頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六2.問題是一種刺激情景信息加工理論從兩個(gè)角度來認(rèn)識(shí)問題：一是問題的客觀方面；二是問題的主觀方面.問題的客觀方面是課題（task）的客觀陳述稱為課題范圍（taskdomain——任務(wù)領(lǐng)域）.第5頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六

問題的主觀方面是解題者對(duì)問題的客觀陳述的理解，稱為問題空間（problemspace）.

問題空間由任務(wù)的初始狀態(tài)（即任務(wù)的給定條件）、目標(biāo)狀態(tài)（即任務(wù)最終要達(dá)到的目標(biāo)）和中間狀態(tài)（即任務(wù)從初始狀態(tài)向目標(biāo)狀態(tài)轉(zhuǎn)化的若干可能途徑，每一個(gè)途徑又由若干步驟構(gòu)成）組成.如果我們把使問題從初始狀態(tài)向目標(biāo)狀態(tài)轉(zhuǎn)化的操作稱為算子（operator），那么問題空間是由問題的初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)和一些算子構(gòu)成的.第6頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六

例如：試求出8與5的和.

問題空間的初始狀態(tài)是已知數(shù)字8與數(shù)字5，目標(biāo)是求它們的和.兒童的算子可能是：①先將8個(gè)實(shí)物與5個(gè)實(shí)物放在一起，然后由1數(shù)到13；②“8！”，伸出5個(gè)手指，逐個(gè)數(shù)手指，“9、10、11、12、13，等于13！”；③8+5=8+（2+3）=（8+2）+3=10+3=13；④8+5=（3+5）+5=3+（5+5）

=3+10=13.第7頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六綜上所述，我們可以把問題定義為：

給定信息和目標(biāo)之間有某些障礙需要克服的刺激情景.

對(duì)解題者而言，一個(gè)刺激情景能否成為問題，關(guān)鍵是給定信息與目標(biāo)之間是否有障礙.

因此，同一個(gè)課題范圍對(duì)有的被試可能成為問題，但對(duì)另一些被試則不是問題.第8頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六3.問題的含義問題是一種狀態(tài)，在這種狀態(tài)中，主體要去完成一個(gè)任務(wù)，而對(duì)于這個(gè)任務(wù)，主體沒有完全確定的法則，沒有易于理解的方法.

問題對(duì)于主體而言表現(xiàn)出兩個(gè)基本特性：認(rèn)同性；障礙性.第9頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六（1）認(rèn)同性即主體接受并試圖去解決這個(gè)問題.例3一個(gè)不懂英文的作家看到下面的材料：

Letbeapolynomialofdegreensuchthatforeach.Find.(Singapore1988)

這個(gè)材料對(duì)他而言并沒有成為一個(gè)問題，因?yàn)樗稽c(diǎn)不知道這些符號(hào)的意義.

即使是一個(gè)英文很好的作家，如果他沒有解決這個(gè)問題的傾向，那么這個(gè)材料也不會(huì)成為他的一個(gè)問題.第10頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六（2）障礙性.即是說，主體最初的嘗試是無效的，或者說主體利用已有的模式解決不了，沒有舊模式可以利用.一個(gè)問題一旦可以輕易地用先前的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ絹斫鉀Q，那么它就不再是一個(gè)問題（Problem）.教科書上的很多習(xí)題（question），尤其是課堂練習(xí)，都可以直接用教師提供的模式去解答，這些習(xí)題不是真正意義上的問題.那些用來訓(xùn)練和鞏固教師所講的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的練習(xí)（exercises）,一般來說也不是問題.“真正”的問題則是可以用于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)發(fā)現(xiàn)的能力和創(chuàng)新的意識(shí).第11頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六我們可以從以下四個(gè)方面來理解問題:A．它是非常規(guī)的，無現(xiàn)成的模式可套;有一支探險(xiǎn)隊(duì)急需過河，雖然每個(gè)人都會(huì)劃船，可是河邊只有一條能載一個(gè)大人或兩個(gè)小孩的小船，怎么辦呢？探險(xiǎn)隊(duì)中僅有的兩個(gè)小孩想出了一個(gè)辦法，使全體隊(duì)員都過了河.請(qǐng)問他們是怎樣過河的？

這是一個(gè)非常規(guī)問題，因?yàn)閷W(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)里沒有什么現(xiàn)成的法則、原理可以直接利用.它需要?jiǎng)?chuàng)造性思維才能解決.

第12頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六B．問題提供的僅僅是一種情景，被試可以從不同的角度去理解下面四個(gè)圖形中，哪一個(gè)具有其它三個(gè)不具有的屬性？第2個(gè)也具備其它三個(gè)不具備的屬性：它是唯一一個(gè)不具備所述屬性的圖形.第13頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六C．問題具有新奇性和可探索性，能激發(fā)學(xué)生的興趣“五羊”足球隊(duì)舉行慶功晚宴，出席者兩兩碰杯一次，總共碰杯990次，問共有多少來賓出席晚宴？第14頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六D．它是開放性問題.

封閉性問題（closedproblem）:問題給出的條件往往都是用得著的，而且只用一次;問題的答案只有正確與不正確（包括不完整）兩種，并且正確的答案是唯一的.

以封閉性問題為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)教學(xué)是有缺陷的.例如，記憶性較多，思考性較少；程序化的技能性思維較多，開放性的創(chuàng)造性思維較少；教學(xué)傾向于結(jié)果，忽視思維過程；重模仿，輕創(chuàng)造.因此，只要學(xué)生記憶力好，勤學(xué)苦練，再加上細(xì)心，就能在考試中取得好成績(jī)，高分低能的現(xiàn)象便應(yīng)運(yùn)而生.第15頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)教學(xué)需要開放性問題（open-endedquestion），又稱構(gòu)造性反應(yīng)（constructedresponse），它要求被試創(chuàng)造一個(gè)反應(yīng).

而封閉性問題則要求被試回憶、選擇一個(gè)反應(yīng).第16頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六開放性問題的特點(diǎn)是：結(jié)論開放:即同一個(gè)問題可以有不同的結(jié)論；條件開放:即條件可以不充分，可以多余，也可以不夠；思路開放:即強(qiáng)調(diào)解決問題的不同思路，被試可以按自己的思路、方法去解答，不必套用固定的解題程序.

問題：如果你今天將200元存入銀行，那么6年后的今天，這筆錢的本息是多少？第17頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六二、什么是問題解決

什么是問題解決，由于理解的層面不同，至今仍然沒有統(tǒng)一的認(rèn)識(shí).1.桑代克認(rèn)為問題解決是由刺激情境與適當(dāng)反應(yīng)之間形成的聯(lián)結(jié)構(gòu)成的，這種聯(lián)結(jié)是通過試誤逐漸形成的.第18頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六

2.加涅把問題解決學(xué)習(xí)看成是八種學(xué)習(xí)類型中最高級(jí)和最復(fù)雜的一種類型，即以獨(dú)特的方式選擇多組規(guī)則，并且把它們綜合起來運(yùn)用，它將導(dǎo)致建立起學(xué)習(xí)者先前不知道的更高級(jí)的一組規(guī)則.3.頓悟?qū)W習(xí)理論認(rèn)為問題解決就是頓悟，即知覺重組.它是通過被試重新組織構(gòu)建有關(guān)事物的形式而實(shí)現(xiàn)的.

第19頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六4.現(xiàn)代信息加工心理學(xué)認(rèn)為問題解決是一種以目標(biāo)定向的搜尋問題空間的認(rèn)知過程.

5.英國學(xué)校數(shù)學(xué)教育調(diào)查委員會(huì)報(bào)告《數(shù)學(xué)算數(shù)》認(rèn)為，問題解決就是把數(shù)學(xué)應(yīng)用于各種情形的能力.第20頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六6.全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)在《行動(dòng)的議程》中對(duì)問題解決的意義作了如下說明：

1.問題解決包括將數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界，包括為現(xiàn)時(shí)和將來出現(xiàn)的科學(xué)理論與實(shí)際服務(wù)，也包括解決拓廣數(shù)學(xué)科學(xué)本身前沿的問題；

2.問題解決從本質(zhì)上說是一種創(chuàng)造性的動(dòng)；

3.問題解決能力的發(fā)展，其基礎(chǔ)是虛心、好奇和探索的態(tài)度，是進(jìn)行試驗(yàn)和猜測(cè)的意向.第21頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六

從數(shù)學(xué)的角度來看，問題解決中所指的問題包括實(shí)際問題（含數(shù)學(xué)應(yīng)用題）和純數(shù)學(xué)問題.

要順利地進(jìn)行問題解決，首先，主體要接受并試圖去解決這個(gè)問題，其態(tài)度應(yīng)該是積極的；其次，由于問題對(duì)于主體的障礙性，主體利用已有的模式解決不了，沒有舊模式可以利用，這就要求主體要?jiǎng)?chuàng)造性地綜合運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn).這里所說的創(chuàng)造性，并非僅僅是一般社會(huì)意義上的真創(chuàng)造，而主要是個(gè)人意義上的再創(chuàng)造.第22頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六

數(shù)學(xué)問題解決就是主體創(chuàng)造性地應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決問題的學(xué)習(xí)活動(dòng).

問題解決的價(jià)值：1.可以使主體充分發(fā)揮自己的潛能，創(chuàng)造性地解決新情境下的問題；2.可以使主體在實(shí)際情境中獲取和構(gòu)造數(shù)學(xué)，而不是機(jī)械地去復(fù)述數(shù)學(xué)；3.可以使主體體驗(yàn)數(shù)學(xué)的思想方法，構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)觀念；4.可以激發(fā)主體的自主性心理特征，即自尊、自信、自律和自我激勵(lì)，培養(yǎng)主體對(duì)數(shù)學(xué)的興趣.

總而言之，問題解決已不僅僅局限于解答問題，而是一種全新的數(shù)學(xué)教育觀念.第23頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六三、數(shù)學(xué)問題解決的過程（一）一般的問題解決過程1.意識(shí)到問題的存在2.表征問題3.確定問題解決的策略并嘗試某種解法4.評(píng)價(jià)與反思（二）數(shù)學(xué)問題解決的過程與策略1.波利亞模式；2.奧加涅相模式；3.舍費(fèi)爾德模式

第24頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六（一）一般的問題解決過程

1.意識(shí)到問題的存在

只有意識(shí)到問題的存在，有解決問題的需要，問題解決者才會(huì)有以后的一系列解決問題的行為，這是問題解決的先決條件.

有三種因素影響著問題解決者意識(shí)到問題的存在：1．動(dòng)機(jī)因素；2．學(xué)習(xí)方式.；3．問題解決者缺乏與問題相關(guān)的專業(yè)知識(shí).第25頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六2.表征問題美國現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)家西蒙（H.A.Simon）認(rèn)為“表征是問題解決的一個(gè)中心環(huán)節(jié).它說明問題在頭腦里是如何呈現(xiàn)，如何表現(xiàn)出來的.”要想使問題得以解決，問題解決者必須準(zhǔn)確地表征問題，因?yàn)閷?duì)問題的表征如何，極大地影響著問題解決的難易程度.

表征（representation)（何小亞，2011）：是指在實(shí)物缺席的情況下，重新指代這一實(shí)物的心理表象或符號(hào)形式.第26頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六

兩個(gè)火車站相距160千米.某個(gè)星期六下午2：00，有兩列火車分別從兩個(gè)火車站出發(fā)相向而行，當(dāng)火車駛出車站時(shí)，有一只鳥從第一列火車出發(fā)飛向第二列火車，到達(dá)第二列火車后，又飛回第一列火車，如此反復(fù)，直到兩車相遇.如果兩列火車的速度都為每小時(shí)40千米，小鳥的飛行速度為每小時(shí)50千米，那么，在兩車相遇之時(shí)，小鳥飛行了多少千米？第27頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六

如果你把這個(gè)問題表征為一個(gè)距離問題，即依次求出小鳥在兩列火車之間來回飛行的距離，再求出這些距離的總和，那么這就比較麻煩.

但是，如果你把這個(gè)問題表征為時(shí)間問題，即不必理會(huì)小鳥每次來回飛行的距離，只關(guān)注小鳥在空中飛行了多長的時(shí)間，那么由小鳥的飛行速度就很容易確定出小鳥飛行了多少千米，即50×[160÷（40+40）]=100（千米）.第28頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六有兩種表征問題的方式：

1.內(nèi)部表征（或心理表征）從現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)的角度來看，問題解決者對(duì)問題的內(nèi)部表征也就是形成問題空間.

問題空間=初始狀態(tài)+目標(biāo)狀態(tài)+算子，它取決于問題解決者把問題提供的信息和他的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的信息整合的情況.

問題解決者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)影響著問題空間的構(gòu)成.對(duì)同一問題而言，不同的問題解決者形成不同的問題空間，或同一問題解決者在不同時(shí)間也會(huì)有不同的問題空間.另外，問題的呈現(xiàn)方式也會(huì)影響問題空間的形成.

第29頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六

2.外部表征即：把問題用圖形、表格、模型等外部的形式表示出來.盡管工作記憶的容量十分有限（約5～9個(gè)信息項(xiàng)），但借助于外部表征，可以大大減輕工作記憶的負(fù)擔(dān)，有利于問題的解決.1．將內(nèi)部表征寫出來2．畫出示意圖3．列出表格4．構(gòu)造模型

(例子見教材P162～

164）第30頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六3.確定問題解決的策略并嘗試某種解法在完成了對(duì)問題的表征之后，問題解決者就要來確定解決問題的策略（即解決問題的方案、計(jì)劃或辦法）。它決定著問題解決的方向與成敗。同一個(gè)問題可以有不同的解決問題的策略，問題解決者確定以什么策略來解決問題，一方面取決于他自身相關(guān)的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，另一方面取決于他如何表征問題。對(duì)問題的表征不同，所選擇的解決方法也不同.

在確定了某種解決方案之后，接著就要執(zhí)行這一方案，嘗試解答。

第31頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六4.評(píng)價(jià)與反思

當(dāng)問題解決者確定并完成了某個(gè)解決方案之后，他還需要對(duì)結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià),

對(duì)解決問題的過程進(jìn)行反思，也就是要對(duì)結(jié)果進(jìn)行核查、驗(yàn)算，或者尋找能夠證實(shí)或反駁這一解答的證據(jù)。對(duì)解決問題的過程的評(píng)價(jià)與反思可以使我們更好地理解某一方法的實(shí)用性。仔細(xì)思考為什么一種方法在某種情境中不適用，有助于在其它情境中更好地運(yùn)用。

第32頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六（二）數(shù)學(xué)問題解決的過程與策略1.波利亞模式喬治?波利亞（G.Polya，1887-1985）是美籍匈牙利人，著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家.

他在《怎樣解題》一書中提出了著名的“怎樣解題”表，將解題過程分為：弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧這四個(gè)階段.

（見教材P166）第33頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六2.奧加涅相模式前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家奧加涅相把解題過程分為