數(shù)學(xué)教育心理學(xué)數(shù)學(xué)問題解決

數(shù)學(xué)教育心理學(xué)數(shù)學(xué)問題解決第1頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六一、什么是問題1.問題是一個不穩(wěn)定系統(tǒng)2.問題是一種刺激情景3.問題的含義第2頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六1.問題是一個不穩(wěn)定系統(tǒng)

如果對某人來說，一個系統(tǒng)的全部元素、元素的性質(zhì)和元素間的關(guān)系都是他所知道的，那么這個系統(tǒng)對于他來說就是一個穩(wěn)定系統(tǒng).

如果這個系統(tǒng)中的某些內(nèi)容是他所不知的，那么該系統(tǒng)對于他來說就是一個問題系統(tǒng)，即問題.如果這個問題系統(tǒng)的元素、性質(zhì)和關(guān)系都是有關(guān)數(shù)學(xué)的，那么它就是一個數(shù)學(xué)問題.

第3頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六

問題具有主觀性.一個系統(tǒng)能否成為一個問題，取決于認識該系統(tǒng)的主體.它對于有些人而言是問題，但對于另一些人而言則不是問題.

例如：“已知直角三角形的兩條直角邊的長度，求其直角邊的長度.”

對于絕大多數(shù)小學(xué)生而言是一個問題，但對于高中生而言則不成為問題.第4頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六2.問題是一種刺激情景信息加工理論從兩個角度來認識問題：一是問題的客觀方面；二是問題的主觀方面.問題的客觀方面是課題（task）的客觀陳述稱為課題范圍（taskdomain——任務(wù)領(lǐng)域）.第5頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六

問題的主觀方面是解題者對問題的客觀陳述的理解，稱為問題空間（problemspace）.

問題空間由任務(wù)的初始狀態(tài)（即任務(wù)的給定條件）、目標(biāo)狀態(tài)（即任務(wù)最終要達到的目標(biāo)）和中間狀態(tài)（即任務(wù)從初始狀態(tài)向目標(biāo)狀態(tài)轉(zhuǎn)化的若干可能途徑，每一個途徑又由若干步驟構(gòu)成）組成.如果我們把使問題從初始狀態(tài)向目標(biāo)狀態(tài)轉(zhuǎn)化的操作稱為算子（operator），那么問題空間是由問題的初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)和一些算子構(gòu)成的.第6頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六

例如：試求出8與5的和.

問題空間的初始狀態(tài)是已知數(shù)字8與數(shù)字5，目標(biāo)是求它們的和.兒童的算子可能是：①先將8個實物與5個實物放在一起，然后由1數(shù)到13；②“8！”，伸出5個手指，逐個數(shù)手指，“9、10、11、12、13，等于13！”；③8+5=8+（2+3）=（8+2）+3=10+3=13；④8+5=（3+5）+5=3+（5+5）

=3+10=13.第7頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六綜上所述，我們可以把問題定義為：

給定信息和目標(biāo)之間有某些障礙需要克服的刺激情景.

對解題者而言，一個刺激情景能否成為問題，關(guān)鍵是給定信息與目標(biāo)之間是否有障礙.

因此，同一個課題范圍對有的被試可能成為問題，但對另一些被試則不是問題.第8頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六3.問題的含義問題是一種狀態(tài)，在這種狀態(tài)中，主體要去完成一個任務(wù)，而對于這個任務(wù)，主體沒有完全確定的法則，沒有易于理解的方法.

問題對于主體而言表現(xiàn)出兩個基本特性：認同性；障礙性.第9頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六（1）認同性即主體接受并試圖去解決這個問題.例3一個不懂英文的作家看到下面的材料：

Letbeapolynomialofdegreensuchthatforeach.Find.(Singapore1988)

這個材料對他而言并沒有成為一個問題，因為他一點不知道這些符號的意義.

即使是一個英文很好的作家，如果他沒有解決這個問題的傾向，那么這個材料也不會成為他的一個問題.第10頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六（2）障礙性.即是說，主體最初的嘗試是無效的，或者說主體利用已有的模式解決不了，沒有舊模式可以利用.一個問題一旦可以輕易地用先前的經(jīng)驗?zāi)Ｊ絹斫鉀Q，那么它就不再是一個問題（Problem）.教科書上的很多習(xí)題（question），尤其是課堂練習(xí)，都可以直接用教師提供的模式去解答，這些習(xí)題不是真正意義上的問題.那些用來訓(xùn)練和鞏固教師所講的基礎(chǔ)知識和基本技能的練習(xí)（exercises）,一般來說也不是問題.“真正”的問題則是可以用于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)發(fā)現(xiàn)的能力和創(chuàng)新的意識.第11頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六我們可以從以下四個方面來理解問題:A．它是非常規(guī)的，無現(xiàn)成的模式可套;有一支探險隊急需過河，雖然每個人都會劃船，可是河邊只有一條能載一個大人或兩個小孩的小船，怎么辦呢？探險隊中僅有的兩個小孩想出了一個辦法，使全體隊員都過了河.請問他們是怎樣過河的？

這是一個非常規(guī)問題，因為學(xué)生的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)里沒有什么現(xiàn)成的法則、原理可以直接利用.它需要創(chuàng)造性思維才能解決.

第12頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六B．問題提供的僅僅是一種情景，被試可以從不同的角度去理解下面四個圖形中，哪一個具有其它三個不具有的屬性？第2個也具備其它三個不具備的屬性：它是唯一一個不具備所述屬性的圖形.第13頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六C．問題具有新奇性和可探索性，能激發(fā)學(xué)生的興趣“五羊”足球隊舉行慶功晚宴，出席者兩兩碰杯一次，總共碰杯990次，問共有多少來賓出席晚宴？第14頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六D．它是開放性問題.

封閉性問題（closedproblem）:問題給出的條件往往都是用得著的，而且只用一次;問題的答案只有正確與不正確（包括不完整）兩種，并且正確的答案是唯一的.

以封閉性問題為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)教學(xué)是有缺陷的.例如，記憶性較多，思考性較少；程序化的技能性思維較多，開放性的創(chuàng)造性思維較少；教學(xué)傾向于結(jié)果，忽視思維過程；重模仿，輕創(chuàng)造.因此，只要學(xué)生記憶力好，勤學(xué)苦練，再加上細心，就能在考試中取得好成績，高分低能的現(xiàn)象便應(yīng)運而生.第15頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)教學(xué)需要開放性問題（open-endedquestion），又稱構(gòu)造性反應(yīng)（constructedresponse），它要求被試創(chuàng)造一個反應(yīng).

而封閉性問題則要求被試回憶、選擇一個反應(yīng).第16頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六開放性問題的特點是：結(jié)論開放:即同一個問題可以有不同的結(jié)論；條件開放:即條件可以不充分，可以多余，也可以不夠；思路開放:即強調(diào)解決問題的不同思路，被試可以按自己的思路、方法去解答，不必套用固定的解題程序.

問題：如果你今天將200元存入銀行，那么6年后的今天，這筆錢的本息是多少？第17頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六二、什么是問題解決

什么是問題解決，由于理解的層面不同，至今仍然沒有統(tǒng)一的認識.1.桑代克認為問題解決是由刺激情境與適當(dāng)反應(yīng)之間形成的聯(lián)結(jié)構(gòu)成的，這種聯(lián)結(jié)是通過試誤逐漸形成的.第18頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六

2.加涅把問題解決學(xué)習(xí)看成是八種學(xué)習(xí)類型中最高級和最復(fù)雜的一種類型，即以獨特的方式選擇多組規(guī)則，并且把它們綜合起來運用，它將導(dǎo)致建立起學(xué)習(xí)者先前不知道的更高級的一組規(guī)則.3.頓悟?qū)W習(xí)理論認為問題解決就是頓悟，即知覺重組.它是通過被試重新組織構(gòu)建有關(guān)事物的形式而實現(xiàn)的.

第19頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六4.現(xiàn)代信息加工心理學(xué)認為問題解決是一種以目標(biāo)定向的搜尋問題空間的認知過程.

5.英國學(xué)校數(shù)學(xué)教育調(diào)查委員會報告《數(shù)學(xué)算數(shù)》認為，問題解決就是把數(shù)學(xué)應(yīng)用于各種情形的能力.第20頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六6.全美數(shù)學(xué)教師理事會在《行動的議程》中對問題解決的意義作了如下說明：

1.問題解決包括將數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)實世界，包括為現(xiàn)時和將來出現(xiàn)的科學(xué)理論與實際服務(wù)，也包括解決拓廣數(shù)學(xué)科學(xué)本身前沿的問題；

2.問題解決從本質(zhì)上說是一種創(chuàng)造性的動；

3.問題解決能力的發(fā)展，其基礎(chǔ)是虛心、好奇和探索的態(tài)度，是進行試驗和猜測的意向.第21頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六

從數(shù)學(xué)的角度來看，問題解決中所指的問題包括實際問題（含數(shù)學(xué)應(yīng)用題）和純數(shù)學(xué)問題.

要順利地進行問題解決，首先，主體要接受并試圖去解決這個問題，其態(tài)度應(yīng)該是積極的；其次，由于問題對于主體的障礙性，主體利用已有的模式解決不了，沒有舊模式可以利用，這就要求主體要創(chuàng)造性地綜合運用已有的知識和經(jīng)驗.這里所說的創(chuàng)造性，并非僅僅是一般社會意義上的真創(chuàng)造，而主要是個人意義上的再創(chuàng)造.第22頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六

數(shù)學(xué)問題解決就是主體創(chuàng)造性地應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決問題的學(xué)習(xí)活動.

問題解決的價值：1.可以使主體充分發(fā)揮自己的潛能，創(chuàng)造性地解決新情境下的問題；2.可以使主體在實際情境中獲取和構(gòu)造數(shù)學(xué)，而不是機械地去復(fù)述數(shù)學(xué)；3.可以使主體體驗數(shù)學(xué)的思想方法，構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)觀念；4.可以激發(fā)主體的自主性心理特征，即自尊、自信、自律和自我激勵，培養(yǎng)主體對數(shù)學(xué)的興趣.

總而言之，問題解決已不僅僅局限于解答問題，而是一種全新的數(shù)學(xué)教育觀念.第23頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六三、數(shù)學(xué)問題解決的過程（一）一般的問題解決過程1.意識到問題的存在2.表征問題3.確定問題解決的策略并嘗試某種解法4.評價與反思（二）數(shù)學(xué)問題解決的過程與策略1.波利亞模式；2.奧加涅相模式；3.舍費爾德模式

第24頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六（一）一般的問題解決過程

1.意識到問題的存在

只有意識到問題的存在，有解決問題的需要，問題解決者才會有以后的一系列解決問題的行為，這是問題解決的先決條件.

有三種因素影響著問題解決者意識到問題的存在：1．動機因素；2．學(xué)習(xí)方式.；3．問題解決者缺乏與問題相關(guān)的專業(yè)知識.第25頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六2.表征問題美國現(xiàn)代認知心理學(xué)家西蒙（H.A.Simon）認為“表征是問題解決的一個中心環(huán)節(jié).它說明問題在頭腦里是如何呈現(xiàn)，如何表現(xiàn)出來的.”要想使問題得以解決，問題解決者必須準(zhǔn)確地表征問題，因為對問題的表征如何，極大地影響著問題解決的難易程度.

表征（representation)（何小亞，2011）：是指在實物缺席的情況下，重新指代這一實物的心理表象或符號形式.第26頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六

兩個火車站相距160千米.某個星期六下午2：00，有兩列火車分別從兩個火車站出發(fā)相向而行，當(dāng)火車駛出車站時，有一只鳥從第一列火車出發(fā)飛向第二列火車，到達第二列火車后，又飛回第一列火車，如此反復(fù)，直到兩車相遇.如果兩列火車的速度都為每小時40千米，小鳥的飛行速度為每小時50千米，那么，在兩車相遇之時，小鳥飛行了多少千米？第27頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六

如果你把這個問題表征為一個距離問題，即依次求出小鳥在兩列火車之間來回飛行的距離，再求出這些距離的總和，那么這就比較麻煩.

但是，如果你把這個問題表征為時間問題，即不必理會小鳥每次來回飛行的距離，只關(guān)注小鳥在空中飛行了多長的時間，那么由小鳥的飛行速度就很容易確定出小鳥飛行了多少千米，即50×[160÷（40+40）]=100（千米）.第28頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六有兩種表征問題的方式：

1.內(nèi)部表征（或心理表征）從現(xiàn)代認知心理學(xué)的角度來看，問題解決者對問題的內(nèi)部表征也就是形成問題空間.

問題空間=初始狀態(tài)+目標(biāo)狀態(tài)+算子，它取決于問題解決者把問題提供的信息和他的認知結(jié)構(gòu)中的信息整合的情況.

問題解決者的認知結(jié)構(gòu)影響著問題空間的構(gòu)成.對同一問題而言，不同的問題解決者形成不同的問題空間，或同一問題解決者在不同時間也會有不同的問題空間.另外，問題的呈現(xiàn)方式也會影響問題空間的形成.

第29頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六

2.外部表征即：把問題用圖形、表格、模型等外部的形式表示出來.盡管工作記憶的容量十分有限（約5～9個信息項），但借助于外部表征，可以大大減輕工作記憶的負擔(dān)，有利于問題的解決.1．將內(nèi)部表征寫出來2．畫出示意圖3．列出表格4．構(gòu)造模型

(例子見教材P162～

164）第30頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六3.確定問題解決的策略并嘗試某種解法在完成了對問題的表征之后，問題解決者就要來確定解決問題的策略（即解決問題的方案、計劃或辦法）。它決定著問題解決的方向與成敗。同一個問題可以有不同的解決問題的策略，問題解決者確定以什么策略來解決問題，一方面取決于他自身相關(guān)的知識和經(jīng)驗，另一方面取決于他如何表征問題。對問題的表征不同，所選擇的解決方法也不同.

在確定了某種解決方案之后，接著就要執(zhí)行這一方案，嘗試解答。

第31頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六4.評價與反思

當(dāng)問題解決者確定并完成了某個解決方案之后，他還需要對結(jié)果進行評價,

對解決問題的過程進行反思，也就是要對結(jié)果進行核查、驗算，或者尋找能夠證實或反駁這一解答的證據(jù)。對解決問題的過程的評價與反思可以使我們更好地理解某一方法的實用性。仔細思考為什么一種方法在某種情境中不適用，有助于在其它情境中更好地運用。

第32頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六（二）數(shù)學(xué)問題解決的過程與策略1.波利亞模式喬治?波利亞（G.Polya，1887-1985）是美籍匈牙利人，著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家.

他在《怎樣解題》一書中提出了著名的“怎樣解題”表，將解題過程分為：弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃、回顧這四個階段.

（見教材P166）第33頁，共37頁，2023年，2月20日，星期六2.奧加涅相模式前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家奧加涅相把解題過程分為