數(shù)控技術(shù)插補第四章

數(shù)控技術(shù)插補第四章第1頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六

自由曲面是工程中最復(fù)雜而又經(jīng)常遇到的曲面，在航空、造船、汽車、能源、國防等部門中許多零件的外形如各種葉片曲面、各種螺旋槳葉曲面、許多變距螺旋面以及模具工作面等均為空間自由曲面，其形狀復(fù)雜、材料難以加工、精度要求高，在整個部件生產(chǎn)過程中其加工質(zhì)量和加工效率的高低舉足輕重。第2頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六1963年美國波音公司佛格森將曲線曲面表示為參數(shù)矢量函數(shù)式；1964年美國麻省理工學(xué)院（MIT）孔斯用封閉曲線的四條邊界定義一塊曲面；同一年，舍恩伯格提出了參數(shù)樣條曲線、曲面的形式；1971年，法國雷諾（Renault）汽車公司的貝齊爾（Bezier）提出用控制多邊形定義曲線和曲面的方法；1972年，德布爾（deBoor）給出B樣條標準的計算方法；1974年,美國通用汽車公司戈登（Gorden)將B樣條理論用于形狀描述，提出B樣條曲線、曲面；1975年，美國人佛斯普里爾在博士論文中提出有理B樣條方法；20世紀80年代，美國人皮格爾等將有理B樣條發(fā)展成為非均勻有理B樣條（NUBRS)方法。用NUBRS方法可統(tǒng)一表示初等解析曲線和曲面，成為當今自由曲線和曲面最廣為流行的技術(shù)。第3頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六4.1基點和節(jié)點計算

機械零件由幾種不同幾何元素構(gòu)成的，如，直線、圓弧、二次曲線等?；c：各個幾何元素之間的連接點，如：直線與直線的交點，直線與圓弧的交點或切點，圓弧與圓弧的交（切）點，圓弧與一般二次曲線的交（切）點等。對于直線和圓弧組成的平面零件，由于數(shù)控系統(tǒng)都有直線和圓弧插補功能，數(shù)值計算較簡單，主要是確定基點坐標、圓弧的中心坐標。有了基點的坐標，就可編寫出這些直線和圓弧的加工程序。第4頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六4.1.1節(jié)點的計算

對于自由曲線，一般的數(shù)控系統(tǒng)不具備自由曲線的插補功能，做法是：即將這類輪廓曲線按編程允差分割成許多小段，用直線或圓弧來代替(即逼近)這些曲線小段。節(jié)點：逼近直線或圓弧小段與輪廓曲線的交點或切點稱為節(jié)點。

數(shù)值計算的任務(wù)就是求算節(jié)點的坐標。

第5頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六

在數(shù)控加工方法中所說的空間立體曲面的行切法加工，實際上是用許多平行的平面曲線來逼近空間曲面，這時需求出所有的平面曲線，面且還要計算各平面曲線上的基點或節(jié)點，然后再編寫各節(jié)點、基點之間的直線或圓弧加工程序。

第6頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六4.1.2非圓曲線的節(jié)點計算非圓曲線：除直線、與圓外，可用y=f(x)表示的平面曲線。節(jié)點的數(shù)目及其坐標值取決于曲線的特性，逼近線段的形狀及允許的迫近誤差δ允。根據(jù)這三方面的條件、可用數(shù)學(xué)方法求出各節(jié)點的坐標。是用直線還是圓弧作為逼近線段，則應(yīng)考慮在保證逼近精度的前提下，使節(jié)點數(shù)目少，計算簡單。

1）曲率半徑大的曲線用直線逼近較為有利；

2）曲線某段接近圓弧，用圓弧逼近有利；常用的逼近線段與節(jié)點計算方法有以下幾種。第7頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六1.等間距直線逼近法方法：使每一個程序段中的某一個坐標的增量相等。直角坐標系：令x坐標的增量相等；極坐標系：令轉(zhuǎn)角坐標的增量相等，也可令向徑長度的增量相等。圖中為加工一個凸輪時，x坐標按等間隔分段時節(jié)點的分布情況。間距的大小一般根據(jù)零件加工精度憑經(jīng)驗選取。第8頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六從上圖看出，不一定每一段都要驗算。只需驗算y坐標增量值最大的線段(如小A1A2段)；曲率比較大的線段(如A5A6段)；有拐點的線段(如A6A7段)。如果這些線段的逼近誤差小于允許值，其他線段一定能滿足要求。下圖中A1A2是要驗算的線段，曲線的方程距直線A1A2為δ允的直線方程式中：A=y1-y2,B=x2-x1,C=y1(x1-x2)－x1(y1-y2)第9頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六2.等弦長直線逼近法方法：使每個程序段的直線段長度相等。由于零件輪廓曲線各處的曲率不同，因此，各段的逼近誤差不相等，必須使最大誤差仍小于δ允。一般說來，零件輪廓曲線的曲率半徑最小的地方，逼近誤差最大。先確定曲率半徑最小的位置，然后在該處按照逼近誤差小于等于δ允的條件求出逼近直線段的長度，用此弦長分割零件的輪廓曲線，即可求出各節(jié)點的坐標。

第10頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六3.等誤差直線逼近法該法是使每個直線段的逼近誤差相等，并小于或等于δ允。所以上面兩種方法都合理，程序段數(shù)更少。大型、復(fù)雜的零件輪廓采用這種方法較合理。第11頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六4.圓弧逼近法

如果數(shù)控機床有圓弧插補功能，可用圓弧去逼近工件的輪廓曲線。

但需要求每段圓弧的圓心、起點、終點的坐標值及圓弧半徑。

節(jié)點的計算依據(jù)：圓弧段與工件輪廓曲線間的誤差≤δ允。第12頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六4.2三次參數(shù)樣條曲線某些零件，如機翼外形、內(nèi)燃機進排氣門的凸輪曲線等，對外形的光順性要求較高，曲線的光順性就意味著曲線的導(dǎo)數(shù)要連續(xù)。如果要求曲線的一階和二階導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的，這可用三次樣條曲線。樣條：最初是在造船業(yè)中放樣用的一根木料或塑料做成的彈性長條，放樣員利用它通過型值點畫出光滑的曲線，樣條曲線便由此而得名。下面介紹三次參數(shù)樣條曲線。第13頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六4.2.1.三次樣條曲線定義：在區(qū)間[a，b]上給定n個點：x1,x2,…xn，得到a=x1＜x2

＜…＜xn=b,稱在區(qū)間[a，b]上滿足下列條件的函數(shù)S(x）為三次樣條函數(shù)：1）在每一個子區(qū)間[xi,xi+1](i=1,2…n-1)上，S(x)都是三次函數(shù)。2）在整個區(qū)間[a,b]上，S(x)連續(xù)，且具有連續(xù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)。則稱S(x)為[a，b]上，以xi(i=1,2,…n)為節(jié)點的三次樣條函數(shù)。第14頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六1.三次參數(shù)樣條曲線方程曲線、曲面有顯式、隱式和參數(shù)表示，從計算機圖形學(xué)和計算幾何的角度看，參數(shù)表示較好。曲線上每一點的笛卡爾坐標的參數(shù)是：

x＝x(t)y＝y(tǒng)(t)曲線上一點的參數(shù)表達式為：

p(t)＝[x(t),y(t)]工程上常用以弦長t為參數(shù)的三次樣條函數(shù)。第15頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六已知兩端點，得到一條通過P1,P2點，且具有相同切矢量的三次參數(shù)樣條曲線。其中稱為三次參數(shù)樣條曲線的基函數(shù)。t為曲線起點與曲線上任一點之間的弦長，t∈[0,1]端點條件：第16頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六2.兩段曲線光滑連接的條件要構(gòu)造一條三次參數(shù)樣條曲線需要給出端點的坐標與切矢量，若要構(gòu)造一條通過多個型值點的光滑曲線，就要給出這些型值點的坐標和切矢量，使初始條件太多。事實上，只要給出各型值點的坐標和兩個端點的切矢量，就可根據(jù)曲線光滑連接條件構(gòu)造出通過各型值點的光滑曲線，中間各連結(jié)點的切矢量可由型值點坐標確定，方法為：第17頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六設(shè)曲線P1＝P1(t),P2＝P2(t),分別通過P1、P2、P3、P4，曲線在P2點光滑連接，即第18頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六可寫成矩陣形式：第19頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六3.端點條件給出兩個端點的切矢量上式為（n