2017屆重慶市巴蜀高三三診考試數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

重慶市巴蜀2017屆高三三診考試文科數(shù)學(xué)試題一、選擇題1．，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】,選A.2．已知函數(shù)，則的值為（）A.2B.-2C.D.【答案】C【解析】,選C.點(diǎn)睛：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)求某條件下自變量的值，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】D【解析】,對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限,選D.點(diǎn)睛：本題重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念，屬于基本題.首先對于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對應(yīng)點(diǎn)為、共軛為4．完成下列兩項(xiàng)調(diào)查：①從某社區(qū)125戶高收入家庭、280戶中等收入家庭、95戶低收入家庭中選出100戶，調(diào)查社會(huì)購買能力的某項(xiàng)指標(biāo)；②從某的15名藝術(shù)特長生中選出3名調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況，宜采用的抽樣方法依次是（）A．①簡單隨機(jī)抽樣，②系統(tǒng)抽樣 B．①分層抽樣，②簡單隨機(jī)抽樣C．①系統(tǒng)抽樣，②分層抽樣 D．①②都用分層抽樣【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)題意，由于①從某社區(qū)125戶高收入家庭、280戶中等收入家庭、95戶低收入家庭中選出100戶，調(diào)查社會(huì)購買能力的某項(xiàng)指標(biāo)；個(gè)體差異比較大，故選擇分層抽樣，對于從某的15名藝術(shù)特長生中選出3名調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況，由于總體較少，則可知抽樣方法為簡單隨機(jī)抽樣，故答案為B【考點(diǎn)】抽樣方法點(diǎn)評：主要是考查了抽樣方法的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。5．在等比數(shù)列中，公比，若與的等差中項(xiàng)為5，則（

）A．3 B．2 C．1 D．-1【答案】C【解析】由題意得,選C.6．已知向量.若向量的夾角為，則實(shí)數(shù)等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意可得，解得，故選B.7．一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的體積為，那么這個(gè)正三棱柱的底面邊長是（）A.B.C.D.9【答案】C【解析】由題意得,所以,選C.8．設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）A.12B.11C.10D.9.5【答案】B【解析】可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形ABC及其內(nèi)部,其中,則直線過點(diǎn)C時(shí)取最大值11,選B.點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.9．如圖是計(jì)算的程序框圖，則圖中的①，②處分分別為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】按A則為計(jì)算;按B則為計(jì)算;按C則為計(jì)算;按D則為計(jì)算;所以選D.10．某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】幾何體為一個(gè)四棱錐去掉半個(gè)圓錐，四棱錐的高為2，底面為正方形，邊長為2；圓錐的高為2，底面半徑為1，所以體積為，選B.11．直線過拋物線的焦點(diǎn)，與該拋物線及其準(zhǔn)線的交點(diǎn)依次為，若，，則（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】設(shè)在準(zhǔn)線的射影為,則由得過作垂線，垂足為,則因此,即，選B.12．若函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】設(shè)公切線在若函數(shù)與函數(shù)的切點(diǎn)為則由得，化簡得有兩個(gè)不同的正根，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此，從而，選D.點(diǎn)睛：(1)求曲線的切線要注意“過點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異，過點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn)P為切點(diǎn).(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來進(jìn)行轉(zhuǎn)化.以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系，進(jìn)而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來求解.二、填空題13．已知，則__________．【答案】【解析】14．已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，__________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，15．圓被直線所截得的兩段弧弧長之比為1:2，則__________．【答案】【解析】，由題意得劣弧所對圓心角為，所對弦長為，所以圓心到直線距離點(diǎn)睛：涉及圓中弦長問題，一般利用垂徑定理進(jìn)行解決，具體就是利用半徑的平方等于圓心到直線距離平方與弦長一半平方的和；直線與圓位置關(guān)系，一般利用圓心到直線距離與半徑大小關(guān)系進(jìn)行判斷16．設(shè)數(shù)列中，，，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為__________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以?shù)列為以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即三、解答題17．已知函數(shù).（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在中，分別是角的對邊，若，，且的面積為，求外接圓的半徑.【答案】（1）最小正周期，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）【解析】試題分析：（1）先利用二倍角公式及配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù),再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）先代入求,再利用三角形面積公式得，根據(jù)余弦定理求，最后根據(jù)正弦定理求外接圓的半徑．試題解析：（I）函數(shù)，故最小正周期；令解得：，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．（II）由，可得，又，所以，所以，從而．由，由余弦定理有：，∴，由正弦定理有：．18．某校高二年級進(jìn)行了百科知識大賽，為了了解高二年級900名同學(xué)的比賽情況，現(xiàn)在甲、乙兩個(gè)班級各隨機(jī)抽取了10名同學(xué)的成績，比賽成績滿分為100分，80分以上可獲得二等獎(jiǎng)，90分以上可以獲得一等獎(jiǎng)，已知抽取的兩個(gè)班學(xué)生的成績（單位：分）數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖1所示:（1）比較兩組數(shù)據(jù)的分散程度（只需要給出結(jié)論），并求出甲組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖2中所示的值；（2）現(xiàn)從兩組數(shù)據(jù)中獲獎(jiǎng)的學(xué)生里分別隨機(jī)抽取一人接受采訪，求被抽中的甲班學(xué)生成績高于乙班學(xué)生成績的概率.【答案】（1）甲組數(shù)據(jù)更集中,乙組數(shù)據(jù)更分散，=0.05，=0.02，=0.01.（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)數(shù)據(jù)集中程度確定分散程度,利用頻率等于頻數(shù)除以總數(shù)得對應(yīng)區(qū)間概率,再除以組距得值；（2）甲班獲獎(jiǎng)4人，乙班獲獎(jiǎng)5人，所以總事件數(shù)為,其中甲班學(xué)生成績高于乙班學(xué)生成績的事件數(shù)有9個(gè)(枚舉法),最后根據(jù)古典概型概率求法求概率試題解析：（I）由莖葉圖可知,甲組數(shù)據(jù)更集中,乙組數(shù)據(jù)更分散=0.05，=0.02，=0.01.（II）由莖葉圖知：甲班獲獎(jiǎng)4人，乙班獲獎(jiǎng)5人，所以.19．如圖，為圓的直徑，點(diǎn)在圓上，，矩形所在平面和圓所在的平面互相垂直.已知，.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）設(shè)幾何體、的體積分別為，求的值.【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）4【解析】試題分析：（I）由于直徑所對圓周角為直角，故，由于平面，故，所以平面，由此得到平面平面.（2）過作，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知平面，由此可求得兩個(gè)幾何體的體積，進(jìn)而求得體積比.試題解析：（Ⅰ）證明：如圖，∵平面平面，,平面平面，∴平面.∵平面，∴，又∵為圓的直徑，∴，∴平面.∵平面，∴平面平面.【注】也可證明平面.（Ⅱ）解：幾何體是四棱錐、是三棱錐，過點(diǎn)作，交于.∵平面平面，∴平面.則，.因此，.20．已知點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，將曲線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，橫坐標(biāo)不變，得到曲線.（1）求曲線的方程；（2）是曲線上兩點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】（1）（2）面積的最大值為1.【解析】試題分析：（1）由直接法,即利用坐標(biāo)表示條件，并化簡可得，再根據(jù)伸縮變換得曲線E的方程為.（2）設(shè)直線方程為：，由點(diǎn)到直線距離公式可得三角形高，由三角形面積公式可得，利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程,結(jié)合韋達(dá)定理及弦長公式可得，代入消元可得一元二次函數(shù),利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值.試題解析：（I）設(shè)，由伸縮變換得：，即曲線E的方程為.（II）設(shè)，，直線方程為：，聯(lián)立得，故，由，得，故原點(diǎn)到直線的距離，∴，令，則，又，當(dāng).當(dāng)斜率不存在時(shí)，不存在，綜合上述可得面積的最大值為1.點(diǎn)睛：解析幾何中的最值是高考的熱點(diǎn)，在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類問題的一般思路為在深刻認(rèn)識運(yùn)動(dòng)變化的過程之中，抓住函數(shù)關(guān)系，將目標(biāo)量表示為一個(gè)(或者多個(gè))變量的函數(shù)，然后借助于函數(shù)最值的探求來使問題得以解決.21．已知函數(shù)，其中.（1）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)的極值；（2）是否存在常數(shù)，使得在恒成立，且在有唯一解，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）極大值，沒有極小值（2）【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)可得，再求導(dǎo)數(shù)，即得函數(shù)的極值（2）因?yàn)樵趩螠p，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得存在，，且，又在有唯一解，所以，解得，從而.試題解析：（I），在單增；在單減，極大值，沒有極小值（II）由(1)知：，且在單減，且時(shí)則必然存在，使得在單增，單減；且，即①此時(shí)：當(dāng)時(shí)，由題意知：只需要找實(shí)數(shù)使得將①式帶入知：得到，從而.22．在極坐標(biāo)系中，曲線的方程為，點(diǎn).（1）以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，把曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)；（2）設(shè)為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，以為對角線的矩形的一邊垂直于極軸，求矩形周長的最小值，及此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo).【答案】（1），；（2）矩形的最小周長為，點(diǎn).【解析】試題分析：（1）由，可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；（2）要求矩形周長的最小值，必須把周長用一個(gè)參數(shù)表示出來，為此設(shè)，則有，且，，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得最小值及值．試題解析：（1）由于則曲線的方程為，轉(zhuǎn)化成點(diǎn)的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)為：；（2）設(shè)根據(jù)題意，得到。則：，