2018年中考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)《圓的證明與計(jì)算》專項(xiàng)檢測(cè)（含答案）

專題二圓的證明與計(jì)算類型一圓基本性質(zhì)的證明與計(jì)算1.如圖，⊙O的半徑為5，點(diǎn)P在⊙O外，PB交⊙O于A、B兩點(diǎn)，PC交⊙O于D、C兩點(diǎn)．(1)求證：PA·PB＝PD·PC；(2)若PA＝eq\f(45,4)，AB＝eq\f(19,4)，PD＝DC＋2，求點(diǎn)O到PC的距離．第1題圖2.如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝AC，點(diǎn)P是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，連接PA，PB，PC.(1)如圖①，若∠BPC＝60°，求證：AC＝eq\r(3)AP；(2)如圖②，若sin∠BPC＝eq\f(24,25)，求tan∠PAB的值．第2題圖3.已知⊙O中弦AB⊥弦CD于E，tan∠ACD＝eq\f(3,2).(1)如圖①，若AB為⊙O的直徑，BE＝8，求AC的長(zhǎng)；(2)如圖②，若AB不為⊙O的直徑，BE＝4，F(xiàn)為eq\o(BC,\s\up8(︵))上一點(diǎn)，eq\o(BF,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，且CF＝7，求AC的長(zhǎng)．第3題圖4.如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點(diǎn)D，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AD、DE.(1)求證：D是BC的中點(diǎn)；(2)若DE＝3，BD－AD＝2，求⊙O的半徑；(3)在(2)的條件下，求弦AE的長(zhǎng)．第4題圖5.如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60°.(1)判斷△ABC的形狀：________；(2)試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)當(dāng)點(diǎn)P位于eq\o(AB,\s\up8(︵))的什么位置時(shí)，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積．第5題圖備用圖類型二與切線有關(guān)的證明與計(jì)算(eq\x(一、與三角函數(shù)結(jié)合)1.已知：如圖，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中點(diǎn)，BE平分∠ABD交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)O是AB上一點(diǎn)，⊙O過B、E兩點(diǎn)，交BD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F.(1)求證：AC與⊙O相切；(2)當(dāng)BD＝6，sinC＝eq\f(3,5)時(shí)，求⊙O的半徑．第1題圖2.如圖，AB為⊙O的直徑，P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC切⊙O于點(diǎn)C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足為D.(1)求證：∠PCA＝∠ABC；(2)過點(diǎn)A作AE∥PC，交⊙O于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，連接BE.若sin∠P＝eq\f(3,5)，CF＝5，求BE的長(zhǎng)．第2題圖3.如圖①，在⊙O中，直徑AB⊥CD于點(diǎn)E，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，且滿足∠PDA＝∠ADC.(1)判斷直線PD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)延長(zhǎng)DO交⊙O于M(如圖②)，當(dāng)M恰為eq\o(BC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)時(shí)，試求eq\f(DE,BE)的值；(3)若PA＝2，tan∠PDA＝eq\f(1,2)，求⊙O的半徑．第3題圖eq\x(二、與相似三角形結(jié)合)1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中點(diǎn)，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，連接DE.(1)求證：△ABC∽△CBD；(2)求證：直線DE是⊙O的切線．第1題圖2.如圖，⊙O的圓心在Rt△ABC的直角邊AC上，⊙O經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，與斜邊AB交于點(diǎn)E，連接BO、ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于G，連接DF.(1)求證：CO·CD＝DE·BO；(2)若⊙O的半徑為5，sin∠DFE＝eq\f(3,5)，求EF的長(zhǎng)．第2題圖3.如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作半圓⊙O，交BC于點(diǎn)D，連接AD，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：EF是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為5，sin∠ADE＝eq\f(4,5)，求BF的長(zhǎng)．第3題圖4.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓恰好與BC相切于點(diǎn)D，分別交AC、AB于點(diǎn)E、F.(1)若∠B＝30°，求證：以A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；(2)若AC＝6，AB＝10，連接AD，求⊙O的半徑和AD的長(zhǎng)．第4題圖5.已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜邊AC交⊙O于點(diǎn)D，且AD＝DC，延長(zhǎng)CB交⊙O于點(diǎn)E.(1)圖①的A、B、C、D、E五個(gè)點(diǎn)中，是否存在某兩點(diǎn)間的距離等于線段CE的長(zhǎng)？請(qǐng)說明理由；(2)如圖②，過點(diǎn)E作⊙O的切線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.①若CF＝CD時(shí)，求sin∠CAB的值；②若CF＝aCD(a>0)時(shí)，試猜想sin∠CAB的值．(用含a的代數(shù)式表示，直接寫出結(jié)果)第5題圖6.已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，OF⊥BC于點(diǎn)F，OF延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，AE與BC交于點(diǎn)H，點(diǎn)D為OE的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠ODB＝∠AEC.(1)求證：BD是⊙O的切線；(2)求證：CE2＝EH·EA；(3)若⊙O的半徑為5，sinA＝eq\f(3,5)，求BH的長(zhǎng)．第6題圖7.如圖①，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E(BE＞EC)，且BD＝2eq\r(3).過點(diǎn)D作DF∥BC，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：DF為⊙O的切線；(2)若∠BAC＝60°，DE＝eq\r(7)，求圖中陰影部分的面積；(3)若eq\f(AB,AC)＝eq\f(4,3)，DF＋BF＝8，如圖②，求BF的長(zhǎng)．第7題圖eq\x(三、與全等三角形結(jié)合)1.如圖，已知PC平分∠MPN，點(diǎn)O是PC上任意一點(diǎn)，PM與⊙O相切于點(diǎn)E，交PC于A、B兩點(diǎn)．(1)求證：PN與⊙O相切；(2)如果∠MPC＝30°，PE＝2eq\r(3)，求劣弧eq\o(BE,\s\up8(︵))的長(zhǎng)．第1題圖2.如圖，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一點(diǎn)，△ABC為正三角形，D為BC的中點(diǎn)，M是⊙O上一點(diǎn)，并且∠BMC＝60°.(1)求證：AB是⊙O的切線；(2)若E、F分別是邊AB、AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠EDF＝120°，⊙O的半徑為2.試問BE＋CF的值是否為定值，若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．第2題圖3.已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作⊙O的切線，交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE.(1)求證：AE與⊙O相切；(2)連接BD，若ED∶DO＝3∶1，OA＝9，求AE的長(zhǎng)和tanB的值．第3題圖4.如圖，PB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，直線PO交⊙O于點(diǎn)E、F，過點(diǎn)B作PO的垂線BA，垂足為點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)A，延長(zhǎng)AO與⊙O交于點(diǎn)C，連接BC，AF.(1)求證：直線PA為⊙O的切線；(2)試探究線段EF、OD、OP之間的等量關(guān)系，并加以證明；(3)若BC＝6，tan∠F＝eq\f(1,2)，求cos∠ACB的值和線段PE的長(zhǎng)．第4題圖5.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，∠ACB的平分線CD交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線PD，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F.(1)求證：PD∥AB；(2)求證：DE＝BF；(3)若AC＝6，tan∠CAB＝eq\f(4,3)，求線段PC的長(zhǎng)．第5題圖6.如圖，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A，AB是⊙O的直徑，連接OP，過點(diǎn)B作BC∥OP交⊙O于點(diǎn)C，連接AC交OP于點(diǎn)D.(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)若PD＝eq\f(16,3)，AC＝8，求圖中陰影部分的面積；(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)E是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，連接CE，求CE的長(zhǎng)．第6題圖7.如圖①，AB是⊙O的直徑，OC⊥AB，弦CD與半徑OB相交于點(diǎn)F，連接BD，過圓心O作OG∥BD，過點(diǎn)A作⊙O的切線，與OG相交于點(diǎn)G，連接GD，并延長(zhǎng)與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.(1)求證：GD＝GA；(2)求證：△DEF是等腰三角形；(3)如圖②，連接BC，過點(diǎn)B作BH⊥GE，垂足為點(diǎn)H，若BH＝9，⊙O的直徑是25，求△CBF的周長(zhǎng)．第7題圖專題二圓的證明與計(jì)算類型一圓基本性質(zhì)的證明與計(jì)算第1題解圖1.(1)證明：如解圖，連接AD，BC第1題解圖∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠PAD＝∠PCB，∠PDA＝∠PBC，∴△PAD∽△PCB，∴eq\f(PA,PD)＝eq\f(PC,PB)，∴PA·PB＝PD·PC；(2)解：如解圖，連接OD，過O點(diǎn)作OE⊥DC于點(diǎn)E，∵PA＝eq\f(45,4)，AB＝eq\f(19,4)，PD＝DC＋2，∴PB＝PA＋AB＝16，PC＝PD＋DC＝2DC＋2，∵PA·PB＝PD·PC，∴eq\f(45,4)×16＝(DC＋2)(2DC＋2)，解得DC＝8或DC＝－11(舍去)，∴DE＝eq\f(1,2)DC＝4，∵OD＝5，∴在Rt△ODE中，OE＝eq\r(OD2－DE2)＝3，即點(diǎn)O到PC的距離為3.2.(1)證明：∵∠BAC與∠BPC是同弧所對(duì)的圓周角，∴∠BAC＝∠BPC＝60°，又∵AB＝AC，∴△ABC為等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∵點(diǎn)P是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，∴eq\o(PA,\s\up8(︵))＝eq\o(PB,\s\up8(︵))，∴∠ACP＝∠BCP＝eq\f(1,2)∠ACB＝30°，而∠APC＝∠ABC＝60°，∴△APC為直角三角形，∴tan∠APC＝eq\f(AC,AP)，∴AC＝APtan60°＝eq\r(3)AP；(2)解：連接AO并延長(zhǎng)交PC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)G，連接OC，BO，如解圖，第2題解圖∵AB＝AC，第2題解圖∴AF⊥BC，∴BF＝CF，∵點(diǎn)P是eq\o(AB,\s\up8(︵))中點(diǎn)，∴∠ACP＝∠PCB，∴EG＝EF.∵∠BPC＝∠BAC＝eq\f(1,2)∠BOC＝∠FOC，∴sin∠FOC＝sin∠BPC＝eq\f(24,25)，設(shè)FC＝24a，則OC＝OA＝25a，∴OF＝eq\r(OC2－FC2)＝7a，AF＝25a＋7a＝32a，在Rt△AFC中，∵AC2＝AF2＋FC2，∴AC＝eq\r(（32a）2＋（24a）2)＝40a，∵∠EAG＝∠CAF，∴△AEG∽△ACF，∴eq\f(EG,CF)＝eq\f(AE,AC)，又∵EG＝EF，AE＝AF－EF，∴eq\f(EG,24a)＝eq\f(32a－EG,40a)，解得EG＝12a，在Rt△CEF中，tan∠ECF＝eq\f(EF,FC)＝eq\f(12a,24a)＝eq\f(1,2)，∵∠PAB＝∠PCB，∴tan∠PAB＝tan∠PCB＝tan∠ECF＝eq\f(1,2).第3題解圖①3.解：(1)如解圖①，連接第3題解圖①∵直徑AB⊥弦CD于點(diǎn)E，∴CE＝DE，∵∠ACD與∠ABD是同弧所對(duì)的圓周角，∴∠ACD＝∠ABD，∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝eq\f(3,2)，∴eq\f(ED,EB)＝eq\f(AE,CE)＝eq\f(3,2)，即eq\f(ED,8)＝eq\f(3,2)，∴ED＝12，∴CE＝ED＝12，又∵AE＝eq\f(3,2)CE＝18，∴AC＝eq\r(AE2＋CE2)＝6eq\r(13)；(2)連接CB，過B作BG⊥CF于G，如解圖②，第3題解圖②∵eq\o(BF,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，第3題解圖②∴∠BCE＝∠BCG，在△CEB和△CGB中eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BCE＝∠BCG,∠BEC＝∠BGC,BC＝BC))，∴△CEB≌△CGB(AAS)，∴BE＝BG＝4，∵四邊形ACFB內(nèi)接于⊙O，∴∠A＋∠CFB＝180°，又∵∠CFB＋∠BFG＝180°，∴∠BFG＝∠A，∵∠FGB＝∠AEC＝90°，∴△BFG∽△CAE，∴eq\f(FG,BG)＝eq\f(AE,CE)＝eq\f(3,2)，∴FG＝eq\f(3,2)BG＝6，∴CE＝CG＝13，∴AE＝eq\f(3,2)CE＝eq\f(39,2)，∴AC＝eq\r(AE2＋CE2)＝eq\f(13,2)eq\r(13).4.(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴等腰△ABC，AD為BC邊上的垂線，∴BD＝DC，∴D是BC的中點(diǎn)；(2)解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠ABC和∠AED是同弧所對(duì)的圓周角，∴∠ABC＝∠AED，∴∠AED＝∠C，∴CD＝DE＝3，∴BD＝CD＝3，∵BD－AD＝2，∴AD＝1，在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2＝BD2＋AD2＝32＋12＝10，∴AB＝eq\r(10)，∴⊙O的半徑＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(10),2)；第4題解圖(3)解：如解圖，連接BE第4題解圖∵AB＝eq\r(10)，∴AC＝eq\r(10)，∵∠ADC＝∠BEA＝90°，∠C＝∠C，∴△CDA∽△CEB，∴eq\f(AC,BC)＝eq\f(CD,CE)，由(2)知BC＝2BD＝6，CD＝3，∴eq\f(\r(10),6)＝eq\f(3,CE)，∴CE＝eq\f(9,5)eq\r(10)，∴AE＝CE－AC＝eq\f(9,5)eq\r(10)－eq\r(10)＝eq\f(4,5)eq\r(10).5.解：(1)等邊三角形．【解法提示】∵∠APC＝∠CPB＝60°，又∵∠BAC和∠CPB是同弧所對(duì)的圓周角，∠ABC和∠APC是同弧所對(duì)的圓周角，∴∠BAC＝∠CPB＝60°，∠ABC＝∠APC＝60°，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∴AC＝BC，又∵有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，∴△ABC是等邊三角形．(2)PA＋PB＝PC.證明如下：如解圖①，在PC上截取PD＝PA，連接AD，∵∠APC＝60°，第5題解圖①∴△PAD第5題解圖①∴PA＝AD＝PD，∠PAD＝60°，又∵∠BAC＝60°，∴∠PAB＝∠DAC，在△PAB和△DAC中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AP＝AD,∠PAB＝∠DAC，,AB＝AC))∴△PAB≌△DAC(SAS)，∴PB＝DC，∵PD＋DC＝PC，∴PA＋PB＝PC，(3)當(dāng)點(diǎn)P為eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)時(shí)，四邊形APBC的面積最大．理由如下：如解圖②，過點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，第5題解圖②過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，∵S△PAB＝eq\f(1,2)AB·PE，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CF，∴S四邊形APBC＝eq\f(1,2)AB·(PE＋CF)．當(dāng)點(diǎn)P為eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)時(shí)，PE＋CF＝PC，PC為⊙O的直徑，此時(shí)四邊形APBC的面積最大，又∵⊙O的半徑為1，∴其內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)AB＝eq\r(3)，∴四邊形APBC的最大面積為eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3).類型二與切線有關(guān)的證明與計(jì)算eq\x(一、與三角函數(shù)結(jié)合)針對(duì)演練第1題解圖1.(1)證明：連接OE，如解圖，第1題解圖∵AB＝BC且D是AC中點(diǎn)，∴BD⊥AC，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠DBE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB＝∠DBE，∴OE∥BD，∵BD⊥AC，∴OE⊥AC，∵OE為⊙O半徑，∴AC與⊙O相切；(2)解：∵BD＝6，sinC＝eq\f(3,5)，BD⊥AC，∴BC＝eq\f(BD,sinC)＝10，∴AB＝BC＝10.設(shè)⊙O的半徑為r，則AO＝10－r，∵AB＝BC，∴∠C＝∠A，∴sinA＝sinC＝eq\f(3,5)，∵AC與⊙O相切于點(diǎn)E，∴OE⊥AC，∴sinA＝eq\f(OE,OA)＝eq\f(r,10－r)＝eq\f(3,5)，∴r＝eq\f(15,4)，即⊙O的半徑是eq\f(15,4).2.(1)證明：連接OC，如解圖，第2題解圖∵PC切⊙O于點(diǎn)C，第2題解圖∴OC⊥PC，∴∠PCO＝90°，∴∠PCA＋∠OCA＝90°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠OAC＝90°，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠PCA＝∠ABC；(2)解：∵AE∥PC，∴∠PCA＝∠CAF，∵AB⊥CG，∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(AG,\s\up8(︵))，∴∠ACF＝∠ABC，∵∠PCA＝∠ABC，∴∠ACF＝∠CAF，∴CF＝AF，∵CF＝5，∴AF＝5，∵AE∥PC，∴∠FAD＝∠P，∵sin∠P＝eq\f(3,5)，∴sin∠FAD＝eq\f(3,5)，在Rt△AFD中，AF＝5，sin∠FAD＝eq\f(3,5)，∴FD＝3，AD＝4，∴CD＝CF＋FD＝8，在Rt△OCD中，設(shè)OC＝r，∴r2＝(r－4)2＋82，∴r＝10，∴AB＝2r＝20，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，sin∠EAD＝eq\f(3,5)，∴eq\f(BE,AB)＝eq\f(3,5)，∵AB＝20，∴BE＝12.3.解：(1)直線PD與⊙O相切，理由如下：如解圖①，連接DO，CO，第3題解圖①∵∠PDA＝∠ADC第3題解圖①∴∠PDC＝2∠ADC，∵∠AOC＝2∠ADC，∴∠PDC＝∠AOC，∵直徑AB⊥CD于點(diǎn)E，∴∠AOD＝∠AOC，∴∠PDC＝∠AOD，∵∠AOD＋∠ODE＝90°，∴∠PDC＋∠ODE＝90°，∴OD⊥PD，∵OD是⊙O的半徑，∴直線PD與⊙O相切；(2)如解圖②，連接BD，∵M(jìn)恰為eq\o(BC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，∴∠CDM＝∠BDM，第3題解圖②∵OD＝第3題解圖②∴∠BDM＝∠DBA，∴∠CDM＝∠DBA，∵直線PD與⊙O相切，∴∠PDA＋∠ADO＝90°，又∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即∠ADO＋∠BDM＝90°，∴∠PDA＝∠BDM，∴∠PDA＝∠DBA＝∠CDM，又∵∠PDA＝∠ADC，∴∠PDM＝3∠CDM＝90°，∴∠CDM＝30°，∴∠DBA＝30°，∴eq\f(DE,BE)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)；(3)如解圖③，第3題解圖③∵tan∠PDA＝eq\f(1,2)，∠PDA＝∠ADC，第3題解圖③∴eq\f(AE,DE)＝eq\f(1,2)，即DE＝2AE，在Rt△DEO中，設(shè)⊙O的半徑為r，DE2＋EO2＝DO2，∴(2AE)2＋(r－AE)2＝r2，解得r＝eq\f(5,2)AE，在Rt△PDE中，DE2＋PE2＝PD2，∴(2AE)2＋(2＋AE)2＝PD2，∵直線PD與⊙O相切，連接BD，由(2)知∠PDA＝∠DBA，∠P＝∠P，∴△PAD∽△PDB，∴eq\f(PD,PB)＝eq\f(PA,PD)，∴PD2＝PA·PB，即PD2＝2×(2＋2r)，∴(2AE)2＋(2＋AE)2＝2×(2＋2r)，化簡(jiǎn)得5AE2＋4AE＝4r，∵r＝eq\f(5,2)AE，解得r＝3.即⊙O的半徑為3.eq\x(二、與相似三角形結(jié)合)針對(duì)演練1.證明：(1)∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠CDB＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDB，第1題解圖又∵∠B＝∠B第1題解圖∴△ABC∽△CBD；(2)連接DO，如解圖，∵∠BDC＝90°，E為BC的中點(diǎn)，∴DE＝CE＝BE，∴∠EDC＝∠ECD，又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，而∠OCD＋∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＋∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，∴DE⊥OD，∵OD為⊙O的半徑，∴DE與⊙O相切．第2題解圖2.(1)證明：連接CE，如解圖，第2題解圖∵CD為⊙O的直徑，∴∠CED＝90°，∵∠BCA＝90°，∴∠CED＝∠BCO，∵BO∥DE，∴∠BOC＝∠CDE，∴△CBO∽△ECD，∴eq\f(CO,DE)＝eq\f(BO,CD)，∴CO·CD＝DE·BO；(2)解：∵∠DFE＝∠ECO，CD＝2·OC＝10，∴在Rt△CDE中，ED＝CD·sin∠ECO＝CD·sin∠DFE＝10×eq\f(3,5)＝6，∴CE＝eq\r(CD2－ED2)＝eq\r(102－62)＝8，在Rt△CEG中，eq\f(EG,CE)＝sin∠ECG＝eq\f(3,5)，∴EG＝eq\f(3,5)×8＝eq\f(24,5)，根據(jù)垂徑定理得：EF＝2EG＝eq\f(48,5).第3題解圖3.(1)證明：如解圖，連接OD，第3題解圖∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴AD垂直平分BC，即DC＝DB，∴OD為△BAC的中位線，∴OD∥AC.而DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線；(2)解：∵∠DAC＝∠DAB，且∠AED＝∠ADB＝90°，∴∠ADE＝∠ABD，在Rt△ADB中，sin∠ADE＝sin∠ABD＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(4,5)，而AB＝10，∴AD＝8，在Rt△ADE中，sin∠ADE＝eq\f(AE,AD)＝eq\f(4,5)，∴AE＝eq\f(32,5)，∵OD∥AE，∴△FDO∽△FEA，∴eq\f(OD,AE)＝eq\f(FO,FA)，即eq\f(5,\f(32,5))＝eq\f(BF＋5,BF＋10)，∴BF＝eq\f(90,7).4.(1)證明：如解圖①，連接OD、OE、ED.第4題解圖①∵BC與⊙O相切于點(diǎn)D第4題解圖①∴OD⊥BC，∴∠ODB＝90°＝∠C，∴OD∥AC，∵∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵OA＝OE，∴△AOE是等邊三角形，∴AE＝AO＝OD，∴四邊形AODE是平行四邊行，∵OA＝OD，∴平行四邊形AODE是菱形；(2)解：設(shè)⊙O的半徑為r.∵OD∥AC，∴△OBD∽△ABC，∴eq\f(OD,AC)＝eq\f(OB,AB)，即10r＝6(10－r)．解得r＝eq\f(15,4)，∴⊙O的半徑為eq\f(15,4).第4題解圖②如解圖②，連接OD、DF、AD第4題解圖②∵OD∥AC，∴∠DAC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO，∴∠DAC＝∠DAO，∵AF是⊙O的直徑，∴∠ADF＝90°＝∠C，∴△ADC∽△AFD，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AF,AD)，∴AD2＝AC·AF，∵AC＝6，AF＝eq\f(15,4)×2＝eq\f(15,2)，∴AD2＝eq\f(15,2)×6＝45，∴AD＝eq\r(45)＝3eq\r(5).(9分)第5題解圖①5.解：(1)存在，AE＝CE第5題解圖①理由如下：如解圖①，連接AE，ED，∵AC是△ABC的斜邊，∴∠ABC＝90°，∴AE為⊙O的直徑，∴∠ADE＝90°，又∵D是AC的中點(diǎn)，∴ED為AC的中垂線，∴AE＝CE；(2)①如解圖②，∵EF是⊙O的切線，第5題解圖②∴∠AEF第5題解圖②由(1)可知∠ADE＝90°，∴∠AED＋∠EAD＝90°，∵∠AED＋∠DEF＝90°，∴∠EAD＝∠DEF.又∵∠ADE＝∠EDF＝90°∴△AED∽△EFD，∴eq\f(AD,ED)＝eq\f(ED,FD)，∴ED2＝AD·FD.又∵AD＝DC＝CF，∴ED2＝2AD·AD＝2AD2，在Rt△AED中，∵AE2＝AD2＋ED2＝3AD2，由(1)知∠AED＝∠CED，又∵∠CED＝∠CAB，∴∠AED＝∠CAB，∴sin∠CAB＝sin∠AED＝eq\f(AD,AE)＝eq\r(\f(1,3))＝eq\f(\r(3),3).②sin∠CAB＝eq\f(\r(a＋2),a＋2).【解法提示】由(2)中的①知ED2＝AD·FD，∵CF＝aCD(a＞0)，∴CF＝aCD＝aAD，∴ED2＝AD·DF＝AD(CD＋CF)＝AD(AD＋aAD)＝(a＋1)AD2，在Rt△AED中，AE2＝AD2＋ED2＝(a＋2)AD2，∴sin∠CAB＝sin∠AED＝eq\f(AD,AE)＝eq\r(\f(1,a＋2))＝eq\f(\r(a＋2),a＋2).6.(1)證明：∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，∴∠ODB＝∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD＝90°，∴∠ODB＋∠DBF＝90°，∴∠ABC＋∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°，∴BD⊥OB，∵OB為⊙O的半徑，∴BD是⊙O的切線；(2)證明：連接AC，如解圖①所示：第6題解圖①∵OF⊥BC第6題解圖①∴eq\o(BE,\s\up8(︵))＝eq\o(CE,\s\up8(︵))，∴∠ECH＝∠CAE，∵∠HEC＝∠CEA，∴△CEH∽△AEC，∴eq\f(CE,EH)＝eq\f(EA,CE)，第6題解圖②∴CE2＝EH·第6題解圖②(3)解：連接BE，如解圖②所示：∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∵⊙O的半徑為5，sin∠BAE＝eq\f(3,5)，∴AB＝10，BE＝AB·sin∠BAE＝10×eq\f(3,5)＝6，在Rt△AEB中，EA＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\r(102－62)＝8，∵eq\o(BE,\s\up8(︵))＝eq\o(CE,\s\up8(︵))，∴BE＝CE＝6，∵CE2＝EH·EA，∴EH＝eq\f(CE2,EA)＝eq\f(62,8)＝eq\f(9,2)，在Rt△BEH中，BH＝eq\r(BE2＋EH2)＝eq\r(62＋（\f(9,2)）2)＝eq\f(15,2).7.(1)證明：連接OD，如解圖①，∵AD平分∠BAC交⊙O于D，第7題解圖①∴∠BAD＝∠CAD第7題解圖①∴eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，∴OD⊥BC，∵BC∥DF，∴OD⊥DF，∴DF為⊙O的切線；(2)解：連接OB，連接OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如解圖①，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝30°，∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，又∵OB＝OD，∴△OBD為等邊三角形，∴∠ODB＝60°，OB＝BD＝2eq\r(3)，∴∠BDF＝30°，∵BC∥DF，∴∠DBP＝30°，在Rt△DBP中，PD＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(3)，PB＝eq\r(3)PD＝3，在Rt△DEP中，∵PD＝eq\r(3)，DE＝eq\r(7)，∴PE＝eq\r(（\r(7)）2－（\r(3)）2)＝2，∵OP⊥BC，∴BP＝CP＝3，∴CE＝CP－PE＝3－2＝1，易證得△BDE∽△ACE，∴eq\f(BE,AE)＝eq\f(DE,CE)，即eq\f(5,AE)＝eq\f(\r(7),1)，∴AE＝eq\f(5\r(7),7).∵BE∥DF，∴△ABE∽△AFD，∴eq\f(BE,DF)＝eq\f(AE,AD)，即eq\f(5,DF)＝eq\f(\f(5\r(7),7),\f(12\r(7),7))，解得DF＝12，在Rt△BDH中，BH＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(3)，∴S陰影＝S△BDF－S弓形BD＝S△BDF－(S扇形BOD－S△BOD)＝eq\f(1,2)·12·eq\r(3)－eq\f(60·π·（2\r(3)）2,360)＋eq\f(\r(3),4)·(2eq\r(3))2＝9eq\r(3)－2π；(7分)(3)解：連接CD，如解圖②，第7題解圖②由eq\f(AB,AC)＝eq\f(4,3)可設(shè)AB＝4x，AC＝3x，BF＝y(tǒng)，第7題解圖②∵eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，∴CD＝BD＝2eq\r(3)，∵DF∥BC，∴∠F＝∠ABC＝∠ADC，∴∠FDB＝∠DBC＝∠DAC，∴△BFD∽△CDA，∴eq\f(BD,AC)＝eq\f(BF,CD)，即eq\f(2\r(3),3x)＝eq\f(y,2\r(3))，∴xy＝4，∵∠FDB＝∠DBC＝∠DAC＝∠FAD，而∠DFB＝∠AFD，∴△FDB∽△FAD，∴eq\f(DF,AF)＝eq\f(BF,DF)，∵DF＋BF＝8，∴DF＝8－BF＝8－y，∴eq\f(8－y,y＋4x)＝eq\f(y,8－y)，整理得：16－4y＝xy，∴16－4y＝4，解得y＝3，即BF的長(zhǎng)為3.(10分)eq\x(三、與全等三角形結(jié)合)針對(duì)演練1.(1)證明：連接OE，過點(diǎn)O作OF⊥PN，如解圖所示，第1題解圖∵PM與⊙O相切第1題解圖∴OE⊥PM，∴∠OEP＝∠OFP＝90°，∵PC平分∠MPN，∴∠EPO＝∠FPO，在△PEO和△PFO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EPO＝∠FPO,∠OEP＝∠OFP,OP＝OP))，∴△PEO≌△PFO(AAS)，∴OF＝OE，∴OF為圓O的半徑且OF⊥PN,則PN與⊙O相切；(2)解：在Rt△EPO中，∠MPC＝30°，PE＝2eq\r(3)，∴∠EOP＝60°，OE＝PE·tan30°＝2，∴∠EOB＝120°，則劣弧eq\o(BE,\s\up8(︵))的長(zhǎng)為eq\f(120π×2,180)＝eq\f(4π,3).2.(1)證明：如解圖①，連接BO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)N，連接CN，第2題解圖①∵∠BMC第2題解圖①∴∠BNC＝60°，∵∠BNC＋∠NBC＝90°，∴∠NBC＝30°，又∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABN＝30°＋60°＝90°，∴AB⊥BO，即AB為⊙O的切線．(2)解：BE＋CF＝eq\r(3)，是定值．第2題解圖②第2題解圖②如解圖②，連接D與AC的中點(diǎn)P，∵D為BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴PD＝PC＝eq\f(1,2)AC，又∵∠ACB＝60°，∴PD＝PC＝CD＝BD＝eq\f(1,2)AC，∴∠DPF＝∠PDC＝60°，∴∠PDF＋∠FDC＝60°，又∵∠EDF＝120°，∴∠BDE＋∠FDC＝60°，∴∠PDF＝∠BDE，在△BDE和△PDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EBD＝∠DPF,BD＝PD,∠BDE＝∠PDF))，∴△BDE≌△PDF(ASA)，∴BE＝PF，∴BE＋CF＝PF＋CF＝CP＝BD，∵OB⊥AB，∠ABC＝60°，∴∠OBC＝30°，又∵OB＝2，∴BD＝OB·cos30°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，即BE＋CF＝eq\r(3).第3題解圖①3.(1)證明：連接OC，如解圖第3題解圖①∵OD⊥AC，OC＝OA，∴∠AOD＝∠COD.在△AOE和△COE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OC,∠AOE＝∠COE,OE＝OE))，∴△AOE≌△COE(SAS)，∴∠EAO＝∠ECO.又∵EC是⊙O的切線，∴∠ECO＝90°，∴∠EAO＝90°.∴AE與⊙O相切；(2)解：設(shè)DO＝t，則DE＝3t，EO＝4t，在△EAO和△ADO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EOA＝∠AOD,∠EAO＝∠ADO))，∴△EAO∽△ADO，∴eq\f(AO,DO)＝eq\f(EO,AO)，即eq\f(9,t)＝eq\f(4t,9)，∴t＝eq\f(9,2)，即EO＝18.∴AE＝eq\r(EO2－AO2)＝eq\r(182－92)＝9eq\r(3)；第3題解圖②延長(zhǎng)BD交AE于點(diǎn)F，過O作OG∥AE交BD于點(diǎn)G第3題解圖②如解圖②，∵OG∥AE，∴∠FED＝∠GOD又∵∠EDF＝∠ODG，∴△EFD∽△OGD，∴eq\f(EF,OG)＝eq\f(ED,OD)＝eq\f(3,1)，即EF＝3GO.又∵O是AB的中點(diǎn)，∴AF＝2GO，∴AE＝AF＋FE＝5GO，∴5GO＝9eq\r(3)，∴GO＝eq\f(9\r(3),5)，∴AF＝eq\f(18\r(3),5)，∴tanB＝eq\f(AF,AB)＝eq\f(\r(3),5).第4題解圖4.(1)證明：如解圖，連接OB，第4題解圖∵PB是⊙O的切線，∴∠PBO＝90°，∵OA＝OB，BA⊥PO于點(diǎn)D，∴AD＝BD，∠POA＝∠POB，又∵PO＝PO，∴△PAO≌△PBO(SAS)，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∴OA⊥PA，∴直線PA為⊙O的切線；(2)解：線段EF、OD、OP之間的等量關(guān)系為EF2＝4OD·OP.證明：∵∠PAO＝∠PDA＝90°，∴∠OAD＋∠AOD＝90°，∠OPA＋∠AOP＝90°，∴∠OAD＝∠OPA，∴△OAD∽△OPA，∴eq\f(OD,OA)＝eq\f(OA,OP)，即OA2＝OD·OP，又∵EF＝2OA，∴EF2＝4OD·OP；(3)解：∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，∴OD＝eq\f(1,2)BC＝3，設(shè)AD＝x，∵tan∠F＝eq\f(1,2)，∴FD＝2x，OA＝OF＝FD－OD＝2x－3，在Rt△AOD中，由勾股定理，得(2x－3)2＝x2＋32，解之得，x1＝4，x2＝0(不合題意，舍去)，∴AD＝4，OA＝2x－3＝5，∵AC是⊙O直徑，∴∠ABC＝90°，又∵AC＝2OA＝10，BC＝6，∴cos∠ACB＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).∵OA2＝OD·OP，∴3(PE＋5)＝25，∴PE＝eq\f(10,3).第5題解圖5.(1)證明：連接OD，如解圖第5題解圖∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠DAB＝∠ABD＝45°，∴△DAB為等腰直角三角形，∴DO⊥AB，∵PD為⊙O的切線，∴OD⊥PD，∴PD∥AB；(2)證明：∵AE⊥CD于點(diǎn)E，BF⊥CD于點(diǎn)F，∴AE∥BF，∴∠FBO＝∠EAO，∵△DAB為等腰直角三角形，∴∠EDA＋∠FDB＝90°，∵∠FBD＋∠FDB＝90°，∴∠FBD＝∠EDA，在△FBD和△EDA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BFD＝∠DEA,∠FBD＝∠EDA,BD＝DA))，∴△FBD≌△EDA(AAS)，∴DE＝BF；(3)解：在Rt△ACB中，∵AC＝6，tan∠CAB＝eq\f(4,3)，∴BC＝6×eq\f(4,3)＝8，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(62＋82)＝10，∵△DAB為等腰直角三角形，∴AD＝eq\f(AB,\r(2))＝5eq\r(2)，∵AE⊥CD，∴△ACE為等腰直角三角形，∴AE＝CE＝eq\f(AC,\r(2))＝eq\f(6,\r(2))＝3eq\r(2)，在Rt△AED中，DE＝eq\r(AD2－AE2)＝eq\r(（5\r(2)）2－（3\r(2)）2)＝4eq\r(2)，∴CD＝CE＋DE＝3eq\r(2)＋4eq\r(2)＝7eq\r(2)，∵AB∥PD，∴∠PDA＝∠DAB＝45°，∴∠PDA＝∠PCD，又∵∠DPA＝∠CPD，∴△PDA∽△PCD，∴eq\f(PD,PC)＝eq\f(PA,PD)＝eq\f(AD,DC)＝eq\f(5\r(2),7\r(2))＝eq\f(5,7)，∴PA＝eq\f(5,7)PD，PC＝eq\f(7,5)PD，又∵PC＝PA＋AC，∴eq\f(5,7)PD＋6＝eq\f(7,5)PD，解得PD＝eq\f(35,4)，第6題解圖①∴PC＝eq\f(5,7)PD＋6＝eq\f(5,7)×eq\f(35,4)＋6＝eq\f(25,4)＋6＝eq\f(49,4).第6題解圖①6.(1)證明：如解圖①，連接OC，∵PA切⊙O于點(diǎn)A，∴∠PAO＝90°，∵BC∥OP，∴∠AOP＝∠OBC，∠COP＝∠OCB，∵OC