2021-2022學(xué)年湖南省懷化市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年湖南省懷化市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系求解.【詳解】由已知得，故直線斜率由于傾斜的范圍是，則傾斜角為.故選：B.2．在等比數(shù)列中，若，則公比（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】由題得，化簡即得解.【詳解】因為，所以，所以，解得.故選：C3．若向量則（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】先求得，然后根據(jù)空間向量模的坐標(biāo)運算求得【詳解】由于向量，，所以.故故選：D4．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點M在上，且，點N為BC中點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用空間向量運算求得正確答案.【詳解】.故選：B5．由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品，若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出的值，可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】由已知可得，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：B.6．在數(shù)列中，，則（

）A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】利用條件可得數(shù)列為周期數(shù)列，再借助周期性計算得解.【詳解】∵∴，，所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，∴，故選：A.7．設(shè)P是拋物線上的一個動點，F(xiàn)為拋物線的焦點.若，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．5【答案】C【分析】作出圖形，過點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，由拋物線的定義得，從而得出，再由、、三點共線時，取最小值得解.【詳解】，所以在拋物線的內(nèi)部，過點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，由拋物線的定義得，，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時，等號成立，因此，的最小值為.故選：C.8．方程有兩個不同的解，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】轉(zhuǎn)化為圓心在原點半徑為1的上半圓和表示恒過定點的直線始終有兩個公共點，結(jié)合圖形可得答案.【詳解】令，平方得表示圓心在原點半徑為1的上半圓，表示恒過定點的直線，方程有兩個不同的解即半圓和直線要始終有兩個公共點，如圖圓心到直線的距離為，解得，當(dāng)直線經(jīng)過時由得，當(dāng)直線經(jīng)過時由得，所以實數(shù)k的取值范圍為.故選：C.二、多選題9．下列說法中，正確的是（

）A．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是8B．過兩點的直線方程為C．過點且與直線相互平行的直線方程是D．經(jīng)過點且在兩坐標(biāo)軸上截距都相等的直線方程為【答案】AC【分析】由題意逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．【詳解】對A，直線x﹣y﹣4＝0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是×4×4＝8，故A正確；對B，當(dāng)x2＝x1或y2＝y(tǒng)1時，式子＝無意義，故B不正確；對C，與直線平行，所求直線設(shè)為，將點代入得，所以所求直線為，即，故C正確；對D，經(jīng)過點（1，2）且在兩坐標(biāo)軸上截距都相等的直線方程為x+y﹣3＝0或y＝2x，故D錯誤，故選：AC．10．如圖，在棱長為2的正方體中，E為的中點F為的中點，如圖建系，則下列說法正確的有（

）A． B．向量與所成角的余弦值為C．平面的一個法向量是 D．點D到直線的距離為【答案】BCD【分析】A選項，利用空間向量表示出，進(jìn)而求出；B選項，利用空間向量夾角公式求解；C選項，利用數(shù)量積為0進(jìn)行證明線線垂直，進(jìn)而得到答案；D選項，利用點到直線的空間向量公式進(jìn)行求解.【詳解】，，，，所以，所以，故，A錯誤；，B正確；設(shè)，則，，而，所以平面的一個法向量是，C正確；，，則，所以，故點D到直線的距離為，故D正確.故選：BCD11．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F、準(zhǔn)線為l，過點F的直線與拋物線交于兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），點P在l上的射影為P1，則（）A．若x1+x2＝6．則|PQ|＝8B．以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切C．設(shè)M（0，1），則|PM|+|PP1|≥D．過點M（0，1）與拋物線C有且只有一個公共點的直線至多有2條【答案】ABC【分析】利用拋物線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的方程和選項一一判斷得出結(jié)論．【詳解】若直線的斜率存在，設(shè)y＝k（x﹣1），由，聯(lián)立解方程組k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，，x1x2＝1，A中，若x1+x2＝6，則k2＝1，故k＝1或﹣1，|PQ|＝＝，故A正確；取PQ點中點M，M在l上的投影為N，Q在l上的投影為Q'，根據(jù)拋物線的定義，|PP1|＝|PM|，|QQ'|＝|QM|，M，N為梯形的中點，故|MN|＝（|PP1|+|QQ'|）＝|PQ|，故B成立；對于C，M（0，1），|PM|+|PP1|＝|MP|+|PF|≥|MF|＝，故C正確；過M（0，1）相切的直線有2條，與x軸平行且與拋物線相交且有一個交點的直線有一條，所以最多有三條，D錯．故選：ABC．【點睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．12．已知橢圓一點A關(guān)于原點的對稱點為點B，F(xiàn)為其右焦點，若，設(shè)，且，則該橢圓離心率e的可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)題意，用表示出，，的值，再根據(jù)橢圓的定義，從而得到用表示，再分析離心率可取的值.【詳解】因為，關(guān)于原點對稱，所以也在橢圓上，設(shè)左焦點為，根據(jù)橢圓的定義：，又因為，所以，是直角三角形斜邊的中點，所以，，，所以，所以，由于，所以.故選：BC三、填空題13．設(shè)直線的方向向量分別為，若，則實數(shù)m等于___________.【答案】2【分析】根據(jù)向量垂直與數(shù)量積的等價關(guān)系，，計算即可.【詳解】因為，則其方向向量，，解得.故答案為：2.14．方程表示雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是___________.【答案】【分析】由題可得，即求.【詳解】∵方程表示雙曲線，∴，∴.故答案為：.15．等差數(shù)列的前n項和分別為，若對任意正整數(shù)n都有，則的值為___________.【答案】0.68【分析】利用等差數(shù)列求和公式與等差中項進(jìn)行求解.【詳解】由題意得：，同理可得：，所以故答案為：四、雙空題16．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點A，B的距離之比為常數(shù)的點的軌跡是—個圓心在直線上的圓.該圓被稱為阿氏圓，如圖，在長方體中，，點E在棱上，，動點P滿足，若點P在平面內(nèi)運動，則點P對應(yīng)的軌跡的面積是___________；F為的中點，則三棱錐體積的最小值為___________.【答案】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)，可得對應(yīng)的軌跡方程；先求的面積，其是固定值，要使體積最小，只需求點到平面的距離的最小值即可.【詳解】分別以為軸建系，設(shè)，而,,，,.由,有，化簡得對應(yīng)的軌跡方程為.所以點P對應(yīng)的軌跡的面積是.易得的三個邊即是邊長為為的等邊三角形，其面積為，，設(shè)平面的一個法向量為，則有，可取平面的一個法向量為，根據(jù)點的軌跡，可設(shè)，，所以點到平面的距離，所以故答案為：；五、解答題17．已知數(shù)列為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且滿足(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)令求數(shù)列的前n項和；【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式得到，根據(jù)通項公式的求法得到結(jié)果；（2）分組求和即可.(1)設(shè)的公差為,由已知,有解得，所以的通項公式為,的通項公式為.(2)，分組求和，分別根據(jù)等比數(shù)列求和公式與等差數(shù)列求和公式得到：.18．已知圓內(nèi)有一點，過點P作直線l交圓C于A，B兩點.(1)當(dāng)P為弦的中點時，求直線l的方程；(2)若直線l與直線平行，求弦的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意，，求出直線l的斜率，利用點斜式即可求解；（2）由題意，利用點斜式求出直線l的方程，然后由點到直線的距離公式求出弦心距，最后根據(jù)弦長公式即可求解.(1)解：由題意，圓心，P為弦的中點時，由圓的性質(zhì)有，又，所以，所以直線l的方程為，即；(2)解：因為直線l與直線平行，所以，所以直線的方程為，即，因為圓心到直線的距離，又半徑，所以由弦長公式得.19．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面于點M連接.(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）連接，交于點，則為中點，再由等腰三角形三線合一可知為中點，連接，利用中位線可知，根據(jù)直線與平面平行的判定定理即可證明；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個平面的法向量，利用向量法即可求出兩平面所成角的余弦值.(1)連接，交于點，則為中點，因為，于，則為中點，連接，則，又因為平面，平面,所以平面；

(2)如圖所示，以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個法向量為，由可得，令，得，即，易知平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面所成角為，，則平面與平面所成角的余弦值為.20．己知函數(shù)，數(shù)列的前n項和為，且對一切正整數(shù)n?點都在因數(shù)的圖象上(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，數(shù)列的前n項和，求證：【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)列中和的關(guān)系，即可解出；（2）利用裂項相消法求出，即可進(jìn)一步汽車其范圍.(1)由題知，當(dāng)時，，當(dāng)時，也滿足上式，綜上，；(2)，則，由，得，所以.21．設(shè)圓的圓心為﹐直線l過點且與x軸不重合，直線l交圓于A，B兩點.過作的平行線交于點P.(1)求點P的軌跡方程；(2)設(shè)點P的軌跡為曲線E，直線l交E于M，N兩點，C在線段上運動，原點O關(guān)于C的對稱點為Q，求四邊形面積的取值范圍；【答案】(1)(2)【分析】（1）由得，，再由，可得的軌跡方程；（2）設(shè)四邊形的面積為，，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入，整理后再利用函數(shù)單調(diào)性可得答案.(1)（1）圓的圓心為，因為，所以，因為，所以，又，且，，所以的軌跡方程為.(2)設(shè)四邊形的面積為，則，可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程化簡得，>0恒成立.設(shè)，則，=，令，則，在上單調(diào)遞增，，即四邊形面積的取值范圍.22．如圖，在平面直角標(biāo)系中，已知n個圓與x軸和線均相切，且任意相鄰的兩個圓外切，其中圓.(1)求數(shù)列的通