2021-2022學(xué)年湖南省湘潭市重點(diǎn)高中聯(lián)考（湘潭縣一中湘鋼一中等）高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析）

2021-2022學(xué)年湖南省湘潭市重點(diǎn)高中聯(lián)考（湘潭縣一中，湘鋼一中等）高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出集合A，再與集合B求并集即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：A.2．命題“，”的否定為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】由含存在量詞的命題的否定方法寫(xiě)出命題的否定即可.【詳解】命題的否定在否定結(jié)論的同時(shí)，量詞作相應(yīng)改變，所以命題“，”的否定為，，故選：B.3．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出的定義域可排除C、D，當(dāng)時(shí)，可排除B，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】由可得且，所以的定義域?yàn)榍?，由定義域可排除C、D，當(dāng)時(shí)，，，可排除B，由排除法可知選項(xiàng)A正確；故選：A.4．已知，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】故選5．設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出、、三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】，即，且，故.故選：D.6．函數(shù)（）的最大值為（

）A． B．1 C．3 D．4【答案】C【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求出最值.【詳解】，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為3.故選：C.7．公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過(guò)研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為.若.則（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由已知、同角三角函數(shù)關(guān)系、輔助角公式及誘導(dǎo)公式可得解.【詳解】由得，∴.故選：A.8．若函數(shù)（）在有最大值無(wú)最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，根據(jù)題意結(jié)合正弦函數(shù)圖象可得答案.【詳解】∵，∴，根據(jù)題意結(jié)合正弦函數(shù)圖象可得，解得.故選：B.二、多選題9．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是奇函數(shù)B．的定義域是C．在上單調(diào)遞增D．的圖象的對(duì)稱(chēng)中心是，【答案】ACD【分析】利用奇函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式判斷A；利用正切函數(shù)的性質(zhì)判斷BCD.【詳解】對(duì)于B，令，得，可知的定義域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于A，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，故是奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于C，令，解得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，，得，即的圖象的對(duì)稱(chēng)中心是，故D正確；故選：ACD10．下列函數(shù)中，最小正周期為，且在區(qū)間上為減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)選項(xiàng)A、C可得，利用周期公式及余弦型函數(shù)單調(diào)性的求解即可判斷符合題意；對(duì)選項(xiàng)B：分析單調(diào)區(qū)間可知不符合題意；對(duì)選項(xiàng)D：切化弦化簡(jiǎn)函數(shù)解析式后分析單調(diào)區(qū)間可知不符合題意.【詳解】解：對(duì)A：，，因?yàn)?，而在上單調(diào)遞減，所以在上為減函數(shù)，故選項(xiàng)A符合題意；對(duì)B：在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)B不符合題意；對(duì)C：，以下分析同選項(xiàng)A，故選項(xiàng)C符合題意；對(duì)D：在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)D不符合題意.故選：AC.11．已知，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算及基本不等式判斷A；利用基本不等式及完全平方和的公式可判斷BC；利用基本不等式“1”的代換可判斷D.【詳解】對(duì)于A，∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確；故選：BD12．設(shè)函數(shù)則下列命題正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)數(shù)解B．當(dāng)時(shí)，方程有7個(gè)實(shí)數(shù)解C．當(dāng)時(shí)，方程有8個(gè)實(shí)數(shù)解D．當(dāng)時(shí)，方程有6個(gè)實(shí)數(shù)解【答案】ABD【分析】結(jié)合的圖象可化為可判斷A；當(dāng)時(shí)，，，，有1個(gè)解，有3個(gè)解，有3個(gè)解可判斷B；當(dāng)、結(jié)合圖象可判斷C；當(dāng)時(shí)，，結(jié)合圖象可判斷D.【詳解】的圖象如圖所示，可化為，當(dāng)時(shí)可得，在有1個(gè)解，A正確；當(dāng)可得，，，在有1個(gè)解，在有3個(gè)解，在有3個(gè)解，則有7個(gè)實(shí)數(shù)解，B正確；當(dāng)時(shí)可得，，，在有1個(gè)解，有4個(gè)解，有2個(gè)解，則有7個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)可得，，，，在時(shí)，有1個(gè)解；在時(shí)，有1個(gè)解；在時(shí)，有4個(gè)解；在時(shí)，有2個(gè)解；綜上，有8個(gè)實(shí)數(shù)解，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)可得，，在時(shí)有4個(gè)解，在時(shí)，有2個(gè)解，則有6個(gè)實(shí)數(shù)解，D正確.故選：ABD.三、填空題13．已知冪函數(shù)是奇函數(shù)，則___________.【答案】1【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義可構(gòu)造方程求得，將的值代入解析式驗(yàn)證函數(shù)奇偶性可確定結(jié)果.【詳解】由題意得，∴或1，當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù).故答案為：1.14．已知函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足.若，則___________.【答案】3【分析】，即可求出答案.【詳解】.故答案為：3.15．已知函數(shù)（）的圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，將的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位后，所得函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則的最小正值為_(kāi)__________.【答案】【分析】由相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為得到及，由的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，可得.【詳解】由題意的最小正周期，∴，，的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位后，得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴，，，，∴的最小正值為.故答案為：.16．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則___________.【答案】【分析】由輔助角公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)求出，，再根據(jù)兩角和的正切和公式，誘導(dǎo)公式求.【詳解】（其中，），當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值∴，，即，，所以，.故答案為：.四、解答題17．已知集合，.(1)求；(2)設(shè)集合，若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式可得、，再由補(bǔ)集、交集的定義即可得解；（2）轉(zhuǎn)化條件為A是C的真子集，由集合間的關(guān)系即可得解.(1)由題意，，，∴，∴；(2)由“”是“”的必要不充分條件，所以A是C的真子集，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，由A是C的真子集，知；綜上，的取值范圍是.18．計(jì)算下列各題：(1)；(2).【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用指對(duì)冪運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值；（2）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值.(1)原式.(2)原式.19．已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的最小值；(2)把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求不等式的解集.【答案】(1)(2)，【分析】（1）用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把三角函數(shù)的關(guān)系式轉(zhuǎn)換為正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的最值．（2）利用函數(shù)伸縮變換后的表達(dá)式解三角不等式．(1)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.(2)由已知可得，∴，∴，∴的解集為，.20．已知函數(shù)為偶函數(shù).(1)求a的值，并證明在（0，）上單調(diào)遞增；(2)求滿(mǎn)足的x的取值范圍.【答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用奇偶性可得，再利用單調(diào)性定義判斷可得答案；（2）由偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可得在上單調(diào)遞減，得，再解不等式可得答案.(1)由題意得，，∴對(duì)任意恒成立，∴，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)為偶函數(shù)，任取，則，∴，∴在（0，）上單調(diào)遞增.(2)由偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可得在上單調(diào)遞減，∴，∴，∴滿(mǎn)足的x的取值范圍.21．已知，，.(1)求，的值；(2)若，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）先求出，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)角的變換，再由兩角差的余弦公式求解.(1)∵，∴.∵，∴，∴，且，解得，∴，.(2)∵，，∴，∴，∴.22．已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示.(1)求的解析式；(2)若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)求實(shí)數(shù)a和正整數(shù)n，使得（）在上恰有2021個(gè)零點(diǎn).【答案】(1)(2)(3)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【分析】（1）根據(jù)圖象的特點(diǎn)，通過(guò)的周期和便可得到的解析式；（2）通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為一元二次不等式的恒成立問(wèn)題，根據(jù)二次函數(shù)的特點(diǎn)得到，然后解出不等式即可；（3）將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為的圖象與直線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，然后分析在一個(gè)周期內(nèi)與的交點(diǎn)情況，根據(jù)的取值情況分類(lèi)討論即可(1)根據(jù)圖象可知，且，的周期為：解得：，此時(shí)，，且可得：解得：故(2)當(dāng)時(shí)，令，又恒成立等價(jià)于在上恒成立令，則有：開(kāi)口向上，且，只需即可滿(mǎn)足題意故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(3)由題意可得：的圖象與