數(shù)學(xué)f初中數(shù)學(xué)中位線問(wèn)題集

#/7本文為自本人珍藏版權(quán)所有僅供參考中位線問(wèn)題集i如圖，四邊形ABCD中，AB=CD,M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BA、NM、CD分別交于點(diǎn)E、F.試說(shuō)明/BEN=NNFC.在4ABD中MG〃AB,且MG=1AB,同理：NG〃CD,NG=1CD22??.N1=NBEN,N2=NCFNVAB=CD,AGM=GN,AZ1=Z2,AZBEN=ZCFN本題證明的方法很多，由于大家都比較熟悉，很多參考資料上都有，故不再例舉.2△ABC中，中線BD、CE相交于點(diǎn)O,F、G分別是OB、OC的中點(diǎn)，求證:四邊形EFGH是平行四邊形.你還能得到什么結(jié)論？證明：在AABC,ED=1BC,且ED〃BC2ffi△OBC中FG=1BC,<FG〃BC2???ED〃FG,ED=FG,???平行四邊形DEFG.3梯形ABCD中,AD〃BC,E是腰AB的中點(diǎn)，且DE^CE.求證：DE、EC分別平分/ADC和NBCD.

CB證明：取CD中點(diǎn)F,連接CB證明：取CD中點(diǎn)F,???EF〃AD,Z1=Z3,在Rt△CDE中，F(xiàn)E=FD,??.N2=N3N1=N2,即DE平分/ADC,同理，CE平分/BCD.此講義針對(duì)中位線，其他方法不再例舉，1、如圖，、分別是梯形 的對(duì)角線中點(diǎn)，求證：EF=-(BC-AD)2證明：連接DF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G,易證得：4ADF2ACGF,???FD=FG,AD=CG,在ADBG中，EF=-BG=-(BC-AD).225、分別以△ABC的AC、BC為腰，A、B為頂點(diǎn)做等腰直角△ACE、△BCD,M為DE中點(diǎn)，求證：AABM也是等腰直角三角形.證明：延長(zhǎng)到，使,連接連接EG證明：延長(zhǎng)到，使,連接連接EG,DF.易證得：△ECG^△FCD,(實(shí)際上是將4ECG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得到△FCD)..??EG=FD,在AEDF中，AM為中位線，，AM〃DF,AM=-DF,2

同理可證：BM〃EF,BM=1EF,.?.AM=BM,且AM±BM.2.△ABM也是等腰直角三角形.、任意五邊形 中，、、、分別是、、、的中點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)，求證：L且證明本題之前，我們先來(lái)看一個(gè)源自于課本，大家比較熟悉的問(wèn)題：依次連接四邊形各邊中點(diǎn)，所得到的四邊形是平行四邊形.而它的兩條對(duì)角線互相平分.也就是：任意四邊形對(duì)邊中點(diǎn)的連線一定互相平分.即兩條連線的交點(diǎn)是它們的中點(diǎn).如圖四邊形ABCD中，點(diǎn)M、P、N、R依次是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，且MN與PR相交于點(diǎn)K,則點(diǎn)K是MN和PR的中點(diǎn).現(xiàn)在我們來(lái)證明原題證明：連接AD,取AD中點(diǎn)R,連接RQ,RP.由上面的證明可知在四邊形ABCD中，PR一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)K,在4PQR中，KL〃RQ,KL=2rQ,1同理得：在ADAE中，RQ〃AE,RQ=-AE,2???KL#AE,<KL=1AE或AE=4KL.47、已知AB〃CD,ND+NC=900,E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，求證:EF=1(DC-AB).2

證明：過(guò)點(diǎn)D作口6〃80交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接AG,DC于點(diǎn)H.易證得：ABCF2△DGF,???BF=FG,在AABG中，EF=1AG,EF〃AG,2又?.?AB〃CD,???四邊形AEFH是平行四邊形.EF=AH,且EF=1AG,2???點(diǎn)H為AG的中點(diǎn).在4ADG中，：DG〃BC且BC±AD,ADG±AD,DH=1AG=EF,2而EF=DH=DF-AE=2(DC-AB).本題也有多種證法，不再例舉.8在等腰三角形的兩腰、上分別取點(diǎn)和，使,已知在證明本題之前，我們也來(lái)看一條大家比較熟悉的問(wèn)題：在^AMN中，AM=AN,點(diǎn)E是AM上一點(diǎn)，點(diǎn)F是AN延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，EF與BC相交于點(diǎn)D,且EM=FN,求證：ED=DF證明：過(guò)點(diǎn)E作EG#AF,XMN于點(diǎn)G,易證得：^EGD2△FND,???DE=DF現(xiàn)在我們來(lái)證明原題.1證明：①當(dāng)、分別為、中點(diǎn)時(shí)： 1 =2②當(dāng)、與不是、中點(diǎn)時(shí)：取AB、AC中點(diǎn)M、N,連接MN,交EF于D,???AB=AC,???AM=CN,又?.?AE=CF,???EM=FN,由前面的說(shuō)明可得：DE=DF.過(guò)點(diǎn)E作EG〃MN,交AC于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)F作FGLEG,垂足為G,連接GD、GN,在中，點(diǎn)D為EF中點(diǎn)，.,.DG=DF,在RtAFGH中，GN為斜邊FH上的中線，故NG=NH,AZNGH=Z1=Z3=Z1,??.NG〃ME,又??，EG〃MN,，四邊形EMNG是平行四邊形，，EG=MN，在^DEG中，DE+DG>EG,即：EF>MN,???EF>1,綜合①、②可得：三感覺(jué)這種方法較麻煩，不知老師們是否有更為簡(jiǎn)便的證法.(征集中)、△中，N,N的平分線，相交于，G于，，于.求證：〃若厘米，厘米，厘米，求.同理：，1在^中，〃， —，2() ,?CGH=2.5點(diǎn)評(píng)：有了角平分線，可以考慮構(gòu)造全等三角形.、如果上面問(wèn)題中，條件變成N、N的外角平分線呢？并給出具體論證

證明：延長(zhǎng)AF、AG與直線BC交于點(diǎn)D證明：延長(zhǎng)AF、AG與直線BC交于點(diǎn)D、E,易證得：△ 經(jīng)匕12i過(guò)四邊形 的邊「? =同理：，.二〃C\o"CurrentDocument"1\o"CurrentDocument"2的延長(zhǎng)線交點(diǎn)作任意直線 且求證,不論的長(zhǎng)度與位置如何，線段、的中點(diǎn)連線恒過(guò)某一定點(diǎn)A B借助于第六題前面的結(jié)論：任意四邊形對(duì)邊中點(diǎn)的連線一定互相平分.即兩條連線的交點(diǎn)是它們的中點(diǎn)如圖四邊形ABCD中，點(diǎn)M、P、N、R依次是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，且MN與PR相交于點(diǎn)K，則點(diǎn)K是MN和PR的中點(diǎn).的中點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：本題無(wú)需用四邊形ABCD來(lái)延長(zhǎng)BC、AD相交.直接用四邊形EABF來(lái)說(shuō)事即可.本題與第六題均用到了同一個(gè)基本圖例，這個(gè)基本圖例來(lái)源于課本但又高于課本的基本要求.值得大家仔細(xì)體會(huì)，體會(huì)競(jìng)賽題的難度與課本要求的關(guān)系.2等腰直角三角形中，N 等腰直角三角形 中，N為中點(diǎn)，求證:證明：以為軸將△以為軸將△證明：以為軸將△以為軸將△在^中，〃可簡(jiǎn)單證得△AE翻折，得到△，連接翻折，得到△，連接1F同理：MG2△ ,亦可理解成將△1一，2繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到也還有±即