初中數(shù)學(xué)求最值問題的方法

初中數(shù)學(xué)求最值問題的方法

求最值問題是近年來中考試題的一個(gè)熱點(diǎn)問題，也是一個(gè)難點(diǎn)。筆者根據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合自己的教學(xué)體會(huì)，對(duì)其進(jìn)行歸納和總結(jié)，以饗讀者。一、利用對(duì)稱性求最值【例1】如圖1所示，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、E分別為AB、BC上的中點(diǎn)，且AB=6，∠DAB=60°，點(diǎn)P是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值是多少？圖1解：作EG⊥AC交AD于G，連接PG交AC于P。因?yàn)椤螪AC=∠BAC，所以E、G關(guān)于AC對(duì)稱。所以G是AD的中點(diǎn)。所以FG∥AB且FG=AB=6。所以PE+PF的最小值是6。二、把立體轉(zhuǎn)化為平面求最值【例2】如圖2-1所示，圓錐的底面半徑為1，母線長為3。一只螞蟻從底面圓周上的點(diǎn)B出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬到過母線AB的軸截面上另一母線AC的中點(diǎn)D，問螞蟻沿怎樣的路線爬行，使路程最短？最短路程是多少？圖2-1圖2-2三、利用點(diǎn)到直線的距離垂線段最短求最值【例3】如圖3所示，在氣象站臺(tái)A的正西方向240km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心，該臺(tái)風(fēng)中心以每小時(shí)20km的速度沿北偏東60°的BD方向移動(dòng)，在距離臺(tái)風(fēng)中心130km內(nèi)的地方都要受到其影響。(1)臺(tái)風(fēng)中心在移動(dòng)過程中，與氣象臺(tái)A的最短距離是多少？(2)臺(tái)風(fēng)中心在移動(dòng)過程中，氣象臺(tái)將受臺(tái)風(fēng)的影響，求臺(tái)風(fēng)影響氣象臺(tái)的時(shí)間會(huì)持續(xù)多長？圖3解：作AH⊥CD，垂足為H，由題意得，∠DBA=30°，AB=340，所以AH=120，因?yàn)锳C=130，所以HC=50，DC=100，所以t=100÷20=5。答：臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)過程中距離氣象臺(tái)A的最短距離是120km，臺(tái)風(fēng)影響氣象臺(tái)的持續(xù)時(shí)間是5小時(shí)。四、利用換元法求最值五、利用根的判別式法求最值【例5】討論函數(shù)的最值。分析：用判別式求最值是初中數(shù)學(xué)最常見的方法之一，其基本思路就是化成含有所求未知數(shù)的一元二次方程，再用判別式解之。圖4八、構(gòu)造函數(shù)模型，利用函數(shù)的增減性求最值【例8】抗震救災(zāi)中，某縣糧食局為了保證庫存糧食的安全，決定將甲、乙兩個(gè)倉庫的糧食，全部轉(zhuǎn)移到具有較強(qiáng)抗震功能的A、B兩倉庫。已知甲庫有糧食100噸，乙?guī)煊屑Z食80噸，而且?guī)斓娜萘繛?0噸，B庫的容量為110噸。從甲、乙兩庫到A、B兩庫的路程和運(yùn)費(fèi)如下表（表中“元／噸·千米”表示每噸糧食運(yùn)送1千米所需人民幣）(1)若甲庫運(yùn)往A庫糧食x噸，請(qǐng)寫出將糧食運(yùn)往A、B兩庫的總運(yùn)費(fèi)y（元）與x（噸）的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)甲、乙兩庫各運(yùn)往A、B兩庫多少噸糧食時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最省，最省的總運(yùn)費(fèi)是多少？解：(1)y=-30x+39200(0≤x≤70)。(2)上述一次函數(shù)中k=-30＜0，所以y隨x的增大而減小，所以當(dāng)x=70噸時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最省。答：從甲庫運(yùn)往A庫70噸糧食，往B庫運(yùn)送30噸糧食，從乙?guī)爝\(yùn)往B庫80噸糧食時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最省為37100元。以上八種最值方法