中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講專題36 幾何最值之將軍飲馬問(wèn)題【熱點(diǎn)專題】（教師版）

專題36幾何最值之將軍飲馬問(wèn)題專題36幾何最值之將軍飲馬問(wèn)題知識(shí)導(dǎo)航知識(shí)導(dǎo)航方法技巧方法技巧“將軍飲馬”問(wèn)題主要利用構(gòu)造對(duì)稱圖形解決求兩條線段和差、三角形周長(zhǎng)、四邊形周長(zhǎng)等一類最值問(wèn)題，會(huì)與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形結(jié)合，在近年的中考和競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)，而且大多以壓軸題的形式出現(xiàn)．【抽象模型】如圖，在直線上找一點(diǎn)P使得PA+PB最??？【模型解析】作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A’，連接PA’，則PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB當(dāng)A’、P、B三點(diǎn)共線的時(shí)候，PA’+PB=A’B，此時(shí)為最小值（兩點(diǎn)之間線段最短）題型精講題型精講題型一：兩定一動(dòng)模型模型作法結(jié)論當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l異側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使PA＋PB最?。B接AB交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．PA＋PB的最小值為AB當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA＋PB最小．作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．PA＋PB的最小值為AB'當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得SKIPIF1<0最大．連接AB并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．SKIPIF1<0的最大值為AB當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l異側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得SKIPIF1<0最大．作點(diǎn)B關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．SKIPIF1<0的最大值為AB'當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得SKIPIF1<0最?。B接AB，作AB的垂直平分線交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．SKIPIF1<0的最小值為0【例1】如圖，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，y），當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最短時(shí)，求y的值．【解析】解：解：（1）作A關(guān)于x=3的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交直線x=3與點(diǎn)C．∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于x=3對(duì)稱，∴AC=A′C．∴AC+BC=A′C+BC．當(dāng)點(diǎn)B、C、A′在同一條直線上時(shí)，A′C+BC有最小值，即△ABC的周長(zhǎng)有最小值．∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于x=3對(duì)稱，∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（6，3）．設(shè)直線BA′的解析式y(tǒng)=kx+b，將點(diǎn)B和點(diǎn)A′的坐標(biāo)代入得：k＝SKIPIF1<0，b＝?SKIPIF1<0．∴y=SKIPIF1<0x-SKIPIF1<0．將x=3代入函數(shù)的解析式，∴y的值為SKIPIF1<0【例2】如圖，正方形ABCD中，AB＝7，M是DC上的一點(diǎn)，且DM＝3，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，求|DN－MN|的最小值與最大值．【解析】解：當(dāng)ND=NM時(shí)，即N點(diǎn)DM的垂直平分線與AC的交點(diǎn)，|DN-MN|=0，

因?yàn)閨DN-MN|≤DM，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)|DN-MN|=DM=3，

所以|DN-MN|的最小值為0，最大值為3【例3】如圖1（注：與圖2完全相同），在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)三點(diǎn)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．（1）求拋物線的解析式和對(duì)稱軸；（2）SKIPIF1<0是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，求滿足SKIPIF1<0的值為最小的點(diǎn)SKIPIF1<0坐標(biāo)（請(qǐng)?jiān)趫D1中探索）；（3）在第四象限的拋物線上是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使四邊形SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為對(duì)角線且面積為SKIPIF1<0的平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)SKIPIF1<0坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.（請(qǐng)?jiān)趫D2中探索）【答案】（1）SKIPIF1<0，函數(shù)的對(duì)稱軸為：SKIPIF1<0；（2）點(diǎn)SKIPIF1<0；（3）存在，點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【解析】解：SKIPIF1<0根據(jù)點(diǎn)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的坐標(biāo)設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：SKIPIF1<0，∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，拋物線的表達(dá)式為：SKIPIF1<0，函數(shù)的對(duì)稱軸為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0連接SKIPIF1<0交對(duì)稱軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0的值為最小，設(shè)BC的解析式為：SKIPIF1<0，將點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0的表達(dá)式為：SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故點(diǎn)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0存在，理由：四邊形SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為對(duì)角線且面積為SKIPIF1<0的平行四邊形，則SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在第四象限，故：則SKIPIF1<0，將該坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．題型二：一定兩動(dòng)模型模型作法結(jié)論點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點(diǎn)D，OA邊上找點(diǎn)C，使得△PCD周長(zhǎng)最?。謩e作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P′、P″，連接P′P″，交OA、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C、D即為所求．△PCD周長(zhǎng)的最小值為P′P″點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點(diǎn)D，OA邊上找點(diǎn)C，使得PD＋CD最?。鼽c(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P′，過(guò)P′作P′C⊥OA交OB于D，點(diǎn)C、點(diǎn)D即為所求．PD＋CD的最小值為P′C【例4】如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，∠AOB=30°，OP=8，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，則△PMN周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)__________．【分析】△PMN周長(zhǎng)即PM+PN+MN的最小值，此處M、N均為折點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于OB、OA對(duì)稱點(diǎn)P’、P’’，化PM+PN+MN為P’N+MN+P’’M．當(dāng)P’、N、M、P’’共線時(shí)，得△PMN周長(zhǎng)的最小值，即線段P’P’’長(zhǎng)，連接OP’、OP’’，可得△OP’P’’為等邊三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．【例5】如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，且∠AOB＝40°，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN周長(zhǎng)取最小值時(shí)，則∠MPN的度數(shù)為（）A．140° B．100° C．50° D．40°【解答】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2，連接P1P2，交OA于M，交OB于N，則OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得MP＝P1M，PN＝P2N，則△PMN的周長(zhǎng)的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故選：B．【例6】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，連接DF，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DF，垂足為H，EH的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)G．（1）猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)H作MN∥CD，分別交AD，BC于點(diǎn)M，N，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，點(diǎn)P是MN上一點(diǎn)，求△PDC周長(zhǎng)的最小值．【答案】（1）結(jié)論：CF=2DG，理由見(jiàn)解析；（2）△PCD的周長(zhǎng)的最小值為10+2SKIPIF1<0．【詳解】（1）結(jié)論：CF=2DG．理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴CF=2DG．（2）作點(diǎn)C關(guān)于NM的對(duì)稱點(diǎn)K，連接DK交MN于點(diǎn)P，連接PC，此時(shí)△PDC的周長(zhǎng)最短．周長(zhǎng)的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．由題意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=SKIPIF1<0，EG=SKIPIF1<0，DH=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴EH=2DH=2SKIPIF1<0，∴HM=SKIPIF1<0=2，∴DM=CN=NK=SKIPIF1<0=1，在Rt△DCK中，DK=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0，∴△PCD的周長(zhǎng)的最小值為10+2SKIPIF1<0．【例7】如圖，拋物線y=ax2﹣5ax+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，C，E三點(diǎn)，其中A（﹣3，0），C（0，4），點(diǎn)B在x軸上，AC=BC，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是線段CO，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且CM=BN，連接MN，AM，AN．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）當(dāng)△CMN是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）試求出AM+AN的最小值．【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣SKIPIF1<0x2+SKIPIF1<0x+4；D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，5）；（2）M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，SKIPIF1<0）或（0，SKIPIF1<0）；（3）AM+AN的最小值為SKIPIF1<0．【詳解】（1）把A（﹣3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣5ax+c得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴拋物線解析式為y=﹣SKIPIF1<0x2+SKIPIF1<0x+4；∵AC=BC，CO⊥AB，∴OB=OA=3，∴B（3，0），∵BD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，當(dāng)x=3時(shí)，y=﹣SKIPIF1<0×9+SKIPIF1<0×3+4=5，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，5）；（2）在Rt△OBC中，BC=SKIPIF1<0=5，設(shè)M（0，m），則BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，∵∠MCN=∠OCB，∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，△CMN∽△COB，則∠CMN=∠COB=90°，即SKIPIF1<0，解得m=SKIPIF1<0，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，SKIPIF1<0）；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，△CMN∽△CBO，則∠CNM=∠COB=90°，即SKIPIF1<0，解得m=SKIPIF1<0，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，SKIPIF1<0）；綜上所述，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，SKIPIF1<0）或（0，SKIPIF1<0）；（3）連接DN，AD，如圖，∵AC=BC，CO⊥AB，∴OC平分∠ACB，∴∠ACO=∠BCO，∵BD∥OC，∴∠BCO=∠DBC，∵DB=BC=AC=5，CM=BN，∴△ACM≌△DBN，∴AM=DN，∴AM+AN=DN+AN，而DN+AN≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A、N、D共線時(shí)取等號(hào)），∴DN+AN的最小值=SKIPIF1<0，∴AM+AN的最小值為SKIPIF1<0．題型三：兩定兩動(dòng)模型模型作法結(jié)論點(diǎn)P、Q在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點(diǎn)D，OA邊上找點(diǎn)C，使得四邊形PQDC周長(zhǎng)最?。甋KIPIF1<0分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P′、Q′，連接P′Q′，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C、D即為所求．PC＋CD＋DQ的最小值為P′Q′，所以四邊形PQDC周長(zhǎng)的最小值為PQ＋P′Q′【例8】如圖，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且SKIPIF1<0，若想使得四邊形SKIPIF1<0的周長(zhǎng)最小，則SKIPIF1<0的長(zhǎng)度應(yīng)為_(kāi)_________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：如圖，在AD上截取線段AF=DE=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，過(guò)G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)．

∵E為CD的中點(diǎn)，∴CE=2∴GH=DF=5，EH=2+4=6，∠H=90°，

∵BC//GH∴SKIPIF1<0,

∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0，

∴CQ=SKIPIF1<0，∴BP=CB-PQ-CQ=7-2-SKIPIF1<0．

故答案為SKIPIF1<0．【例9】如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點(diǎn)P到直線l1的距離為6，點(diǎn)Q到直線l2的距離為4，PQ=SKIPIF1<0，在直線l1上有一動(dòng)點(diǎn)A，直線l2上有一動(dòng)點(diǎn)B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時(shí)PA+BQ=______．【答案】16．【詳解】作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，連接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此時(shí)PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB∥PC，∴四邊形ABCP是平行四邊形，∴PA=BC，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案為16．題型四：兩定點(diǎn)一定長(zhǎng)模型作法結(jié)論BBAld如圖，在直線l上找M、N兩點(diǎn)(M在左)，使得AM＋MN＋NB最小，且MN＝d.BBAlMNA′A"將A向右平移d個(gè)單位到A′，作A′關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A"，連接A"B與直線l交于點(diǎn)N，將點(diǎn)N向左平移d個(gè)單位即為M，點(diǎn)M，N即為所求.AM＋MN＋NB的最小值為A"B＋dAABl2l1如圖，l1∥l2，l1、l2間距離為d，在l1、l2分別找M、N兩點(diǎn)，使得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB最?。瓵ABl2l1A′NM將A向下平移d個(gè)單位到A，連接A′B交直線l2于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作MN⊥l1，連接AM.點(diǎn)M、N即為所求．AM＋MN＋NB的最小值為A'B＋d.【例10】在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC如圖所示，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)C在y軸正半軸上，且OA＝6，OC＝4，D為OC中點(diǎn)，點(diǎn)E、F在線段OA上，點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)，EF＝2.當(dāng)四邊形BDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【解析】如圖，將點(diǎn)D向右平移2個(gè)單位得到D'(2，2)，作D'關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D"(2，－2)，連接BD"交x軸于點(diǎn)F，將點(diǎn)F向左平移2個(gè)單位到點(diǎn)E，此時(shí)點(diǎn)E和點(diǎn)F為所求作的點(diǎn)，且四邊形BDEF周長(zhǎng)最小.理由：∵四邊形BDEF的周長(zhǎng)為BD＋DE＋EF＋BF，BD與EF是定值.∴BF＋DE最小時(shí)，四邊形BDEF周長(zhǎng)最小，∵BF＋ED＝BF＋FD'＝BF＋FD"＝BD"設(shè)直線BD"的解析式為y＝kx＋b，把B(6，4)，D"(2，－2)代入，得6k＋b＝4，2k＋b＝－2，解得k＝EQ\F(3,2)，b＝－5，∴直線BD"的解析式為y＝EQ\F(3,2)x－5．令y＝0，得x＝EQ\F(10,3)，∴點(diǎn)F坐標(biāo)為(EQ\F(10,3)，0)．∴點(diǎn)E坐標(biāo)為(EQ\F(4,3)，0)．【例11】村莊A和村莊B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸彼此平行，要架設(shè)一座與河岸垂直的橋，橋址應(yīng)如何選擇，才使A與B之間的距離最短？AABl2l1【解答】設(shè)l1和l2為河岸，作BD⊥l2，取BB'等于河寬，連接AB'交l1于C1，作C1C2⊥l2于C2，則A→C1→C2→B為最短路線，即A與B之間的距離最短.提分作業(yè)提分作業(yè)1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AD上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+EF的最小值為A．3 B．4 C． D．【解析】此處E點(diǎn)為折點(diǎn)，可作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱，對(duì)稱點(diǎn)C’在AB上且在AB中點(diǎn)，化折線段CE+EF為C’E+EF，當(dāng)C’、E、F共線時(shí)得最小值，C’F為CB的一半，故選C．2．如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，M、N分別是BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是A． B．2 C． D．4【解析】此處M點(diǎn)為折點(diǎn)，作點(diǎn)N關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)，恰好在AB上，化折線CM+MN為CM+MN’．因?yàn)镸、N皆為動(dòng)點(diǎn)，所以過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，可得最小值，選C．3．如圖，在正方形ABCD中，AB=9，點(diǎn)E在CD邊上，且DE=2CE，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PD的最小值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．9 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】解：如圖，連接BE，設(shè)BE與AC交于點(diǎn)P′，∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最?。碢在AC與BE的交點(diǎn)上時(shí)，PD+PE最小，為BE的長(zhǎng)度．∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=SKIPIF1<0CD=3，∴BE=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．故選A．4．如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，BE＝2，AB＝8，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值_____．【答案】10【詳解】解：如圖：連接DE交AC于點(diǎn)P，此時(shí)PD＝PB，PB+PE＝PD+PE＝DE為其最小值，∵四邊形ABCD為正方形，且BE＝2，AB＝8，∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝8，AE＝AB-BE＝6，在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，得DE＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝10．∴PB+PE的最小值為10．故答案為10．5．如圖，∠AOB的邊OB與x軸正半軸重合，點(diǎn)P是OA上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N（3，0）是OB上的一定點(diǎn)，點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．【詳解】解：作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接N′M交OA于P，則此時(shí)，PM+PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等邊三角形，∵點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，∴N′M⊥ON，∵點(diǎn)N（3，0），∴ON=3，∵點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，∴OM=1.5，∴PM=SKIPIF1<0，∴P（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．故答案為：（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．6．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AE＝2，當(dāng)EF＋CF取得最小值時(shí)，則∠ECF的度數(shù)為多少？【答案】∠ECF＝30o【解析】過(guò)E作EM∥BC，交AD于N，如圖所示：∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，∵AD是BC邊上的中線，△ABC是等邊三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM＝AE，∴E和M關(guān)于AD對(duì)稱，連接CM交AD于F，連接EF，則此時(shí)EF＋CF的值最小，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60o，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝SKIPIF1<0∠ACB＝30o.7．在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，A(3，0)，B(0，4)，D為邊OB的中點(diǎn)．（1）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△CDE的周長(zhǎng)最小值；（2）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF＝1，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)．【解析】(1)如圖，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接CD'與x軸交于點(diǎn)E，連接DE，由模型可知△CDE的周長(zhǎng)最?。咴诰匦蜲ACB中，OA＝3，OB＝4，D為OB的中點(diǎn)，∴D(0，2)，C(3，4)，D'(0，－2).設(shè)直線CD'為y＝kx＋b，把C(3，4)，D'(0，－2)代入，得3k＋b＝4，b＝－2，解得k＝2，b＝－2，∴直線CD'為y＝2x－2.令y＝0，得x＝1，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，0).∴OE＝1，AE＝2.利用勾股定理得CD＝EQ\R(,13)，DE＝EQ\R(,5)，CE＝2EQ\R(,5)，∴△CDE周長(zhǎng)的最小值為EQ\R(,13)＋3EQ\R(,5)．(2)如圖，將點(diǎn)D向右平移1個(gè)單位得到D'(1，2)，作D'關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D″(1，－2)，連接CD″交x軸于點(diǎn)F，將點(diǎn)F向左平移1個(gè)單位到點(diǎn)E，此時(shí)點(diǎn)E和點(diǎn)F為所求作的點(diǎn)，且四邊形CDEF周長(zhǎng)最小．理由：∵四邊形CDEF的周長(zhǎng)為CD＋DE＋EF＋CF，CD與EF是定值，∴DE＋CF最小時(shí)，四邊形BDEF周長(zhǎng)最小，∴DE＋CF＝D'F＋CF＝FD″＋CF＝CD″，設(shè)直線CD″的解析式為y＝kx＋b，把C(3，4)，D(1，－2)代入，得3k＋b＝4，k＋b＝－2，解得k＝3，b＝－5．∴直線CD″的解析式為y＝3x－5，令y＝0，得x＝EQ\F(5,3)，∴點(diǎn)F坐標(biāo)為(EQ\F(5,3)，0)，∴點(diǎn)E坐標(biāo)為(EQ\F(2,3)，0)．8．如圖所示拋物線SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（1）求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸；（2）點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0的上方，求四邊形SKIPIF1<0的周長(zhǎng)的最小值；（3）點(diǎn)SKIPIF1<0為拋物線上一點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0把四邊形SKIPIF1<0的面積分為3∶5兩部分，求點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo).【答案】（1）SKIPIF1<0，對(duì)稱軸為直線SKIPIF1<0；（2）四邊形SKIPIF1<0的周長(zhǎng)最小值為SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0【詳解】（1）∵OB=OC，∴點(diǎn)B（3，0），則拋物線的表達(dá)式為：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，故-3a=3，解得：a=-1，故拋物線的表達(dá)式為：y=-x2+2x+3…①；對(duì)稱軸為：直線SKIPIF1<0（2）ACDE的周長(zhǎng)=AC+DE+CD+AE，其中AC=SKIPIF1<0、DE=1是常數(shù)，故CD+AE最小時(shí)，周長(zhǎng)最小，取點(diǎn)C關(guān)于函數(shù)對(duì)稱點(diǎn)C（2，3），則CD=C′D，取點(diǎn)A′（-1，1），則A′D=AE，故：CD+AE=A′D+DC′，則當(dāng)A′、D、C′三點(diǎn)共線時(shí)，CD+AE=A′D+DC′最小，周長(zhǎng)也最小，四邊形ACDE的周長(zhǎng)的最小值=AC+DE+CD+AE=SKIPIF1<0+1+A′D+DC′=SKIPIF1<0+1+A′C′=SKIPIF1<0+1+SKIPIF1<0；（3）如圖，設(shè)直線CP交x軸于點(diǎn)E，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，又∵S△PCB：S△PCA=SKIPIF1<0EB×（yC-yP）：SKIPIF1<0AE×（yC-yP）=BE：AE，則BE：AE，=3：5或5：3，則AE=SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即：點(diǎn)E的坐標(biāo)為（SKIPIF1<0，0）或（SKIPIF1<0，0），將點(diǎn)E、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=kx+3，解得：k=-6或-2，故直線CP的表達(dá)式為：y=-2x+3或y=-6x+3…②聯(lián)立①②并解得：x=4或8（不合題意值已舍去），故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-5）或（8，-45）．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸，反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)SKIPIF1<0的值最小時(shí)，求出點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【詳解】解：（1）∵SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0軸，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0把點(diǎn)SKIPIF1<0代入的SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0∴反比例函數(shù)的解析式為：SKIPIF1<0．答：反比例函數(shù)的解析式為：SKIPIF1<0．（2）過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂足為SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸的對(duì)稱點(diǎn)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點(diǎn)就是所求點(diǎn)SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0最小，設(shè)直線AB1的關(guān)系式為SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，代入得，SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴直線SKIPIF1<0的關(guān)系式為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴點(diǎn)SKIPIF1<0答：點(diǎn)SKIPIF1<